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數(shù)學(xué)物理方程現(xiàn)代數(shù)值方法 版權(quán)信息
- ISBN：9787030749406
- 條形碼：9787030749406 ; 978-7-03-074940-6
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數(shù)：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
數(shù)學(xué)物理方程現(xiàn)代數(shù)值方法 內(nèi)容簡介
本書的主要內(nèi)容一共有7章.**章：偏微分方程基礎(chǔ)知識；第二章：Sobolev空間基本知識；第三章：Galerkin方法；第四章：有限元方法；第五章：關(guān)于不可壓縮Navier-Stokes方程有限元方法應(yīng)用；第六章：修正的特征有限元方法；第七章：隨機(jī)不可壓縮流問題全離散有限元方法；
數(shù)學(xué)物理方程現(xiàn)代數(shù)值方法 目錄
目錄
前言
第1章 偏微分方程基礎(chǔ)知識 1
1.1 基本概念 1
1.2 偏微分方程的分類 2
1.3 多變元微積分 3
1.3.1 Gateaux 導(dǎo)數(shù) 3
1.3.2 Prechet 導(dǎo)數(shù) 6
1.4 練習(xí) 9
參考文獻(xiàn) 10
第2章 Sobolev空間基本知識 11
2.1 空間*和* 11
2.2 Lp 空間 12
2.2.1 Lp空間的定義 12
2.2.2 Lp空間的性質(zhì) 13
2.3 廣義導(dǎo)數(shù) 14
2.3.1 一階廣義導(dǎo)數(shù) 14
2.3.2 a階廣義導(dǎo)數(shù) 16
2.4 Sobolev 空間 17
2.4.1 一階 Sobolev 空間* 17
2.4.2 k 階 Sobolev 空間* 17
2.4.3 *空間 18
2.4.4 跡算子 19
參考文獻(xiàn) 20
第3章 Galerkin方法 21
3.1 背景 21
3.2 預(yù)備知識 21
3.3 變分問題 23
3.4 離散格式 23
3.5 Galerkin方法的適定性 25
3.5.1 存在唯一性 25
3.5.2 穩(wěn)定性 25
3.5.3 收斂性 25
3.6 計(jì)算實(shí)例 27
3.7 練習(xí) 29
參考文獻(xiàn) 31
第4章 有限元方法及其誤差估計(jì) 32
4.1 背景與簡介 32
4.2 拉格朗日插值基函數(shù) 33
4.2.1 網(wǎng)格剖分 33
4.2.2 線性有限元空間 34
4.2.3 基函數(shù) 34
4.3 泊松問題的有限元方法 40
4.3.1 泊松問題 40
4.3.2 計(jì)算流程 40
4.4 誤差估計(jì) 43
4.4.1 偏微分方程的正則估計(jì) 43
4.4.2 H1范數(shù)下的誤差估計(jì) 43
4.4.3 L2范數(shù)下的誤差估計(jì) 46
參考文獻(xiàn) 47
第5章 泊松問題的其他數(shù)值方法 48
5.1 非協(xié)調(diào)有限元方法 48
5.2 有限體積元方法 52
5.3 練習(xí) 55
參考文獻(xiàn) 55
第6章 不可壓縮Navier-Stokes問題有限元應(yīng)用 57
6.1 定常Stokes問題 57
6.1.1 方程的變分 57
6.1.2 解的存在唯一性定理 59
6.1.3 穩(wěn)定性 59
6.1.4 收斂性 60
6.2 Navier-Stokes問題 62
6.2.1 定常Navier-Stokes方程 62
6.2.2 非定常Navier-Stokes方程 63
6.2.3程序?qū)崿F(xiàn) 65
6.3 Freefem計(jì)算程序 66
參考文獻(xiàn) 72
第7章 修正的特征有限元方法 73
7.1 特征線方法 73
7.2 非穩(wěn)態(tài)Navier-Stokes方程的修正特征有限元方法 75
7.2.1 非穩(wěn)態(tài)Navier-Stokes方程 76
7.2.2 特征有限元離散 77
7.3 練習(xí) 78
參考文獻(xiàn) 79
第8章 隨機(jī)不可壓縮流問題全離散有限元方法 80
8.1 預(yù)備知識 80
8.2 隨機(jī)Stokes問題 87
8.3 時間半離散化 89
8.4 全離散的混合有限元方法 90
8.5 練習(xí) 91
參考文獻(xiàn) 92
索引 93
前言
第1章 偏微分方程基礎(chǔ)知識 1
1.1 基本概念 1
1.2 偏微分方程的分類 2
1.3 多變元微積分 3
1.3.1 Gateaux 導(dǎo)數(shù) 3
1.3.2 Prechet 導(dǎo)數(shù) 6
1.4 練習(xí) 9
參考文獻(xiàn) 10
第2章 Sobolev空間基本知識 11
2.1 空間*和* 11
2.2 Lp 空間 12
2.2.1 Lp空間的定義 12
2.2.2 Lp空間的性質(zhì) 13
2.3 廣義導(dǎo)數(shù) 14
2.3.1 一階廣義導(dǎo)數(shù) 14
2.3.2 a階廣義導(dǎo)數(shù) 16
2.4 Sobolev 空間 17
2.4.1 一階 Sobolev 空間* 17
2.4.2 k 階 Sobolev 空間* 17
2.4.3 *空間 18
2.4.4 跡算子 19
參考文獻(xiàn) 20
第3章 Galerkin方法 21
3.1 背景 21
3.2 預(yù)備知識 21
3.3 變分問題 23
3.4 離散格式 23
3.5 Galerkin方法的適定性 25
3.5.1 存在唯一性 25
3.5.2 穩(wěn)定性 25
3.5.3 收斂性 25
3.6 計(jì)算實(shí)例 27
3.7 練習(xí) 29
參考文獻(xiàn) 31
第4章 有限元方法及其誤差估計(jì) 32
4.1 背景與簡介 32
4.2 拉格朗日插值基函數(shù) 33
4.2.1 網(wǎng)格剖分 33
4.2.2 線性有限元空間 34
4.2.3 基函數(shù) 34
4.3 泊松問題的有限元方法 40
4.3.1 泊松問題 40
4.3.2 計(jì)算流程 40
4.4 誤差估計(jì) 43
4.4.1 偏微分方程的正則估計(jì) 43
4.4.2 H1范數(shù)下的誤差估計(jì) 43
4.4.3 L2范數(shù)下的誤差估計(jì) 46
參考文獻(xiàn) 47
第5章 泊松問題的其他數(shù)值方法 48
5.1 非協(xié)調(diào)有限元方法 48
5.2 有限體積元方法 52
5.3 練習(xí) 55
參考文獻(xiàn) 55
第6章 不可壓縮Navier-Stokes問題有限元應(yīng)用 57
6.1 定常Stokes問題 57
6.1.1 方程的變分 57
6.1.2 解的存在唯一性定理 59
6.1.3 穩(wěn)定性 59
6.1.4 收斂性 60
6.2 Navier-Stokes問題 62
6.2.1 定常Navier-Stokes方程 62
6.2.2 非定常Navier-Stokes方程 63
6.2.3程序?qū)崿F(xiàn) 65
6.3 Freefem計(jì)算程序 66
參考文獻(xiàn) 72
第7章 修正的特征有限元方法 73
7.1 特征線方法 73
7.2 非穩(wěn)態(tài)Navier-Stokes方程的修正特征有限元方法 75
7.2.1 非穩(wěn)態(tài)Navier-Stokes方程 76
7.2.2 特征有限元離散 77
7.3 練習(xí) 78
參考文獻(xiàn) 79
第8章 隨機(jī)不可壓縮流問題全離散有限元方法 80
8.1 預(yù)備知識 80
8.2 隨機(jī)Stokes問題 87
8.3 時間半離散化 89
8.4 全離散的混合有限元方法 90
8.5 練習(xí) 91
參考文獻(xiàn) 92
索引 93
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數(shù)學(xué)物理方程現(xiàn)代數(shù)值方法 節(jié)選
第1章偏微分方程基礎(chǔ)知識 1.1基本概念 本章我們簡要地給出偏微分方程的相關(guān)概念[1-5]、分類和多變元的微積分Gateaux和Frechet導(dǎo)數(shù). .微分方程是由未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)經(jīng)初等函數(shù)運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)方程. .未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程，簡稱ODE. .未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程，簡稱PDE. .方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)*高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階數(shù). .如果微分方程關(guān)于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次的，則稱該方程為線性的，否則稱為非線性的. .對線性方程，如果所有非零項(xiàng)都含有未知函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)，則稱該方程為齊次的，否則稱為非齊次的. .對非線性方程，若關(guān)于*高階導(dǎo)數(shù)是一次的，則稱該方程為擬線性的，進(jìn)一步若其系數(shù)僅依賴于自變量，則稱為半線性的. .關(guān)于未知函數(shù)在某個初始時刻的具體條件稱為初始條件. .關(guān)于未知函數(shù)在某個區(qū)域邊界的具體條件稱為邊界條件(**類邊界條件又稱Dirichlet條件:給出未知函數(shù)在邊界上的數(shù)值;第二類邊界條件又稱Neumann條件:給出未知函數(shù)在邊界外法線的方向?qū)?shù);第三類邊界條件又稱Robin條件:給出未知函數(shù)在邊界上的函數(shù)值和外法線的方向?qū)?shù)的線性組合). 關(guān)于未知函數(shù)的偏微分方程是指如下形式的方程: 這里F是x，u以及u的有限個偏導(dǎo)數(shù)的已知函數(shù).如果將u(x)代入方程后，這個方程在Ω上成為恒等式，則稱定義于Ω上的函數(shù)u=u(x)是方程在Ω上的解. 例1.1二階線性 一階擬線性 二階非線性 1.2偏微分方程的分類 關(guān)于偏微分方程的分類[6]，我們主要討論以下三個二階偏微分方程: 波動方程 (1-1) 熱傳導(dǎo)方程 (1-2) 位勢方程 (1-3) 這里a2是常數(shù). 在m維空間中，二階線性方程的一般形式為 (1-4) 這里ai，j，bi，c，f都是x的函數(shù).因此上面提到的這三個方程只是它的特例，自變量t可看作x的任一分量.我們以A表示矩陣. 對于波動方程(雙曲方程)，取，則 對于熱傳導(dǎo)方程(拋物方程)，取，則 對于位勢方程(橢圓方程)，取 從矩陣A的特征值的性質(zhì)來區(qū)別方程(1-1)—(1-3):對于波動方程，系數(shù)矩陣A除了有一個特征值是正(負(fù))的，其他全是負(fù)(正)的，即A是不定的;對于熱傳導(dǎo)方程，系數(shù)矩陣A除了有一個特征值為0，其他全是正(負(fù))的，即A是非負(fù)(非正)定的;對于位勢方程，系數(shù)矩陣A的全部特征值為正(負(fù))的，即A是正定(負(fù)定)的. 對一般二階方程(2.4)，設(shè)表示Rm中的一個點(diǎn)，A(x0)表示在x0點(diǎn)的系數(shù)矩陣. 偏微分方程分類的定義若A(x0)的m個特征值全是正(或負(fù))的，稱方程(1-4)在x0點(diǎn)是橢圓型的.若A(x0)的特征值除了有一個為0，其他m.1個全是正(或負(fù))的，稱方程(1-4)在x0點(diǎn)是拋物型的.若A(x0)的特征值除了有一個為負(fù)(或正)，其他m.1個全是正(或負(fù))的，稱方程(1-4)在x0點(diǎn)是雙曲型的. 由上定義可知，方程(1-1)—(1-3)分別為雙曲型方程、拋物型方程和橢圓型方程. 1.3多變元微積分 本節(jié)主要討論多變元微積分:Gateaux導(dǎo)數(shù)和Frechet導(dǎo)數(shù)[7-11]. 1.3.1Gateaux導(dǎo)數(shù) 考慮更一般的映射(算子) 不強(qiáng)調(diào)它的定義域和值域時，把它表示成 設(shè).由于，因此f(x)可以表示成 定義1.1對給定的，若極限 (1-5) 例1.2 例1.3 例1.4 定理1.1映射 (1-6) 證明 例1.5 1.3.2 Frechet導(dǎo)數(shù) 定義1.2 (1-7)
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