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高等數學物理方法 版權信息
- ISBN：9787030731074
- 條形碼：9787030731074 ; 978-7-03-073107-4
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
高等數學物理方法 內容簡介
本書內容包含了曲線論、曲面論、張量分析、變分法和積分方程的理論和應用背景。作者針對電子類和應用物理類高年級學生和研究生，需要面廣、又有一定深度數學知識，而學生對于此類知識缺乏相應基礎的特點，結合專業特色深入淺出地撰寫了本書。讀者只要具有高等數學、線性代數和微分方程的基礎知識就可以順利地閱讀本書。本書介紹的內容是數學物理方法的后續，是電子類和應用物理類高年級本科生和研究生在后續課程學習和科學研究中的難點。
高等數學物理方法 目錄
目錄
前言
第1章 一元矢量函數與曲線論基礎 1
1.1 一元矢量函數的基本概念 1
1.2 矢量函數的微分與泰勒展開式 5
1.3 矢量函數的積分和微分方程 10
1.4 三個特殊的矢量函數與微分幾何的概念 12
1.5 空間曲線的自然參數方程 17
1.6 曲線自然方程的建立與曲線族的包絡 19
1.7 空間曲線的曲率 24
1.8 Frenet坐標架與撓率 27
1.9 曲線論的基本公式與基本定理 35
1.10 曲線在一點的標準展開和應用 43
1.11 平面曲線的曲率和Frenet標架 50
1.12 整體微分幾何和卵形線 58
習題1 65
第2章 曲面論基礎與應用 67
2.1 二元矢量函數和曲面的矢量表示 67
2.2 曲面的切平面和法線矢量 71
2.3 曲面的**基本形式 79
2.4 曲面的等距映射 84
2.5 曲面的保角映射 89
2.6 曲面的第二基本形式 94
2.7 曲面曲線的法曲率、主曲率和主方向 100
2.8 曲面點的鄰近結構分析 107
2.9 曲面論的基本公式、基本定理和基本方程 115
2.10 Gauss映射和曲面的第三基本形式 122
2.11 曲面的測地曲率與測地線 128
2.12 測地坐標系、短程線和Gauss-Bonnet定理 136
習題2 146
第3章 笛卡兒張量與應用 149
3.1 矢量代數 149
3.2 笛卡兒張量的概念 156
3.3 笛卡兒張量定義與性質 163
3.4 笛卡兒張量的代數運算 176
3.5 笛卡兒張量場論1：導數、梯度與散度 184
3.6 笛卡兒張量場論2：旋度與張量的積分 193
3.7 二階笛卡兒張量 203
3.8 二階對稱笛卡兒張量及其幾何表示 212
習題3 219
第4章 張量的普遍理論 221
4.1 斜角直線坐標系中的協變量及其對偶量 221
4.2 曲線坐標系矢量和基與坐標變換 228
4.3 張量的普遍定義與度規張量 236
4.4 張量的代數運算 245
4.5 基矢量的導數與Christoffel符號 253
4.6 張量場理論 259
4.7 物理標架下的張量場 269
習題4 279
第5章 變分法 281
5.1 有關變分問題的實際例子 281
5.2 變分法的基本原理及性質 283
5.3 泛函的歐拉方程 287
5.4 含有多個未知函數與高階導數的泛函 291
5.5 多元函數的泛函數極值問題 295
5.6 端點不變的自然邊界條件和自然過渡條件下的變分法 299
5.7 可動邊界的變分問題 306
5.8 條件極值的變分問題——測地線問題 314
5.9 條件極值的變分問題——等周問題 319
5.10 直接變分法及其應用 326
5.11 偏微分方程邊值問題的直接與半直接變分法 337
習題5 345
第6章 積分方程基礎 349
6.1 積分方程的起源與概念 349
6.2 積分方程與微分方程的聯系 355
6.3 逐次逼近法解Volterra方程 360
6.4 Volterra**類方程的解法 365
6.5 Volterra方程的其他解法 374
6.6 Fredholm第二類方程的解法 379
6.7 可分核的Fredholm方程解法 386
6.8 Green函數與對稱核積分方程 392
6.9 Hilbert-Schmidt理論與非齊次Fredholm方程的解法 402
6.10 諾伊曼級數與Fredholm理論 411
6.11 奇異積分方程 416
6.12 Fredholm方程的近似解法 420
習題6 430
參考文獻 433
前言
第1章 一元矢量函數與曲線論基礎 1
1.1 一元矢量函數的基本概念 1
1.2 矢量函數的微分與泰勒展開式 5
1.3 矢量函數的積分和微分方程 10
1.4 三個特殊的矢量函數與微分幾何的概念 12
1.5 空間曲線的自然參數方程 17
1.6 曲線自然方程的建立與曲線族的包絡 19
1.7 空間曲線的曲率 24
1.8 Frenet坐標架與撓率 27
1.9 曲線論的基本公式與基本定理 35
1.10 曲線在一點的標準展開和應用 43
1.11 平面曲線的曲率和Frenet標架 50
1.12 整體微分幾何和卵形線 58
習題1 65
第2章 曲面論基礎與應用 67
2.1 二元矢量函數和曲面的矢量表示 67
2.2 曲面的切平面和法線矢量 71
2.3 曲面的**基本形式 79
2.4 曲面的等距映射 84
2.5 曲面的保角映射 89
2.6 曲面的第二基本形式 94
2.7 曲面曲線的法曲率、主曲率和主方向 100
2.8 曲面點的鄰近結構分析 107
2.9 曲面論的基本公式、基本定理和基本方程 115
2.10 Gauss映射和曲面的第三基本形式 122
2.11 曲面的測地曲率與測地線 128
2.12 測地坐標系、短程線和Gauss-Bonnet定理 136
習題2 146
第3章 笛卡兒張量與應用 149
3.1 矢量代數 149
3.2 笛卡兒張量的概念 156
3.3 笛卡兒張量定義與性質 163
3.4 笛卡兒張量的代數運算 176
3.5 笛卡兒張量場論1：導數、梯度與散度 184
3.6 笛卡兒張量場論2：旋度與張量的積分 193
3.7 二階笛卡兒張量 203
3.8 二階對稱笛卡兒張量及其幾何表示 212
習題3 219
第4章 張量的普遍理論 221
4.1 斜角直線坐標系中的協變量及其對偶量 221
4.2 曲線坐標系矢量和基與坐標變換 228
4.3 張量的普遍定義與度規張量 236
4.4 張量的代數運算 245
4.5 基矢量的導數與Christoffel符號 253
4.6 張量場理論 259
4.7 物理標架下的張量場 269
習題4 279
第5章 變分法 281
5.1 有關變分問題的實際例子 281
5.2 變分法的基本原理及性質 283
5.3 泛函的歐拉方程 287
5.4 含有多個未知函數與高階導數的泛函 291
5.5 多元函數的泛函數極值問題 295
5.6 端點不變的自然邊界條件和自然過渡條件下的變分法 299
5.7 可動邊界的變分問題 306
5.8 條件極值的變分問題——測地線問題 314
5.9 條件極值的變分問題——等周問題 319
5.10 直接變分法及其應用 326
5.11 偏微分方程邊值問題的直接與半直接變分法 337
習題5 345
第6章 積分方程基礎 349
6.1 積分方程的起源與概念 349
6.2 積分方程與微分方程的聯系 355
6.3 逐次逼近法解Volterra方程 360
6.4 Volterra**類方程的解法 365
6.5 Volterra方程的其他解法 374
6.6 Fredholm第二類方程的解法 379
6.7 可分核的Fredholm方程解法 386
6.8 Green函數與對稱核積分方程 392
6.9 Hilbert-Schmidt理論與非齊次Fredholm方程的解法 402
6.10 諾伊曼級數與Fredholm理論 411
6.11 奇異積分方程 416
6.12 Fredholm方程的近似解法 420
習題6 430
參考文獻 433
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高等數學物理方法 節選
第1章 一元矢量函數與曲線論基礎 本章的主要內容是微分幾何的曲線論.首先介紹曲線論的基礎:一元矢量函數的代數運算和分析運算，根據后面曲線論的需要，以例題的形式，討論矢量常微分方程的解法;然后用定長矢量、定向矢量與定向垂直矢量引進微分幾何的概念;后續幾節討論曲線論的基本內容，包括曲線的曲率、撓率和Frenet標架.本書以應用為目標，對于微分幾何的過分復雜的定理以理解、會用為目標，證明為輔，強調定理在各種不同場景下的應用.曲線論的重點放在實際應用中非常有用的Frenet公式和曲線的內在方程上. 1.1一元矢量函數的基本概念 高等數學中已經介紹了一些矢量，但是這些矢量的模和方向在運算中都保持不變，也就是說是常矢量的運算.實際應用和更深入的理論研究中常常會遇到矢量的模和方向都在變化，或者二者至少有一個在變化，這就是本書要介紹的矢量函數.本節只討論曲線論中需要的一元矢量函數，第2章再介紹曲面論中要用到的二元矢量函數. 一元矢量函數定義:設有數性變量t和變矢量，G是t的定義域，對于G內的每一個t，矢量.有一個確定的矢量與之對應，稱.a是t的一元矢量函數，這里簡稱為矢量函數，記作. 矢量函數.a(t)除了有常矢量的所有特點，還會隨著t的改變而改變其方向和大小，它在笛卡兒坐標系中的投影分量都是變量t的函數，因此有 (1.1.1) 上式也可以用行向量表示為 (1.1.2) 根據矢量函數的表達式(1.1.1)可以定義與.相等的另一矢量函數. 如果有矢量函數，它在笛卡兒坐標系中的投影表達式是 (1.1.3) 而以下關系成立: 則稱兩個矢量函數相等，記作 (1.1.4) 矢量函數類似標量函數，也有極限與連續性，分別討論如下. 矢量函數的極限.設在t0的某一個鄰域內有定義，為常矢量，總有，當，時，有 成立，稱在時的極限是，記作 (1.1.5) 現在討論如何求解矢量函數的極限.從的極限定義可以得到 上式的等價條件是 (1.1.6) 因此，式(1.1.5)也可以寫成 (1.1.7) 式(1.1.7)表示求矢量函數的極限，可以先求其每一個分量函數的極限值，然后再把這些分量函數的極限值合成起來，就是矢量函數的極限.于是，矢量函數的極限轉化為計算其分量函數的極限.而分量函數是一元標量函數，這樣矢量函數 的極限就成為求一元函數極限. 矢量函數的極限運算法則如下: (1.1.8a) (1.1.8b) (1.1.8c) (1.1.8d) 上式中“ ”表示點乘，與普通代數乘法相同;而“×”表示叉乘，也就是矢量積. 下面僅對式(1.1.8a)加以證明，其他證明類似，不再證明.記 按極限定義得到 在時，由于，在的鄰域是有界 的，用極限夾逼定理得到 矢量函數的連續性定義如下:若矢量函數在的某個鄰域內有定義，并且有 (1.1.9) 稱在處連續.如果矢量函數在某一個區間內的每一點都連續，稱矢量函數在該區間內連續，或稱.a(t)是該區間內的連續矢量函數. 根據矢量函數極限運算性質和連續性定義可知:矢量函數和在處連續，標量函數也在處連續，那么矢量函數，和也在處連續. 矢量函數的幾何意義可以通過對于參數t變化的幾何特征得到.變量t取一系列值，這些值代入矢量函數，得到點的集合，將這些點的集合在坐標系中依照tk出現的次序連接起來，就會得到一條曲線，如圖1.1所示.曲線上點P的坐標是，點P與坐標原點O連接起來，得到矢徑 從圖中可見，矢徑.r(t)的端點反映了矢量.a(t)的變化，這條曲線因此稱為矢徑.r(t)的矢端曲線. 例1.1已知圓柱螺旋線的參數方程是 求它的矢量函數表達式和曲線圖. 解將表達式用矢量表達出來，為 取螺旋軸作為軸，設在時刻，動點在軸上，用表示沿軸的移動速度，則有.以表示繞軸旋轉的角度，是動點到軸的距離，從圖1.2可以得到 再設動點P繞Oz軸等速轉動，所以角度θ與時間t成正比.以ω表示角速度，角位移是.由于，就有.再令，*終得到.曲線的參數方程是 根據上述推導可得到螺旋線的幾何定義:一個動點繞一條定直線做等速轉動并沿著直線做等速移動，則這個動點的軌跡稱作螺旋線. 1.2矢量函數的微分與泰勒展開式 這一節有兩部分內容，首先介紹矢量函數的導數、矢量導數的幾何意義、運算法則和微分，其次討論矢量函數的泰勒展開式. 矢量函數導數的定義與數性函數類似，定義如下:如果矢量函數的極限 存在，其中G是的定義域，稱矢量函數在處可導，這個極限值稱作在的導數.由于這個極限值也是矢量，所以矢量函數的導數又稱作導矢量，記作 (1.2.1) 導矢量在微分幾何中又可以寫作 如果在t∈G中每一點都可導，稱.a(t)在區間G內是可微的. 導矢量的幾何意義可用矢端曲線表示出來，如圖1.3所示.根據矢端曲線的意義，和在圖1.3中是矢量三角形的兩邊，第3條邊是增量矢量.實際上，是矢端曲線l的割線，割線繞M點轉動，*終以點處的切線作為它的極限位置.矢量是上的一個矢量，所以它的極限位置不為零時，在點N的切線上. 現在考慮導矢量的指向.由于當時，與指向一致，對應于增大的方向;而當時，的方向如圖1.3中的虛線所示，其指向與方向相反，所以導矢量仍然指向t增大方向. 總結圖1.3中導矢量的幾何意義可知，導矢量是指向t增大方向的切線. 根據導矢量的極限定義式(1.2.1)可知，導矢量是各分量導數的矢量和，在笛卡兒坐標中可分解為 (1.2.2) 上式表明矢量的導數可以分解成一元數量函數的導數來求解. 根據極限運算法則可以得到導數運算法則如下: (1.2.3a) (1.2.3b) (1.2.3c) (1.2.3d) (1.2.3e) (1.2.3f) 復合矢量函數是，導數是 (1.2.4)
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