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隨機傳染病動力學建模及應用 版權信息
- ISBN：9787030738967
- 條形碼：9787030738967 ; 978-7-03-073896-7
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
隨機傳染病動力學建模及應用 內容簡介
傳染病傳播極快，嚴重威脅人類健康。眾所周知，感染人口的出生率和死亡率可能受到氣候、溫度、健康習慣、醫療質量和藥物水平等因素的影響，使得環境體制產生突然的瞬時過渡，導致流行病模型參數的不確定性。同時由于人與人之間不可避免的接觸，人類疾病的傳播本質上是隨機的。所以在傳染病模型中考慮環境擾動對疾病的影響具有現實意義。本書根據傳染病的傳播特點，建立了一系列隨機的傳染病模型，詳細介紹了干預策略下隨機傳染病模型的動力學行為及其很優控制策略，并研究了帶年齡結構傳染病模型數值解的收斂性及其閾值的數值逼近，分析了時滯系統的穩態分布，進一步對系統有限時間的穩定性和控制進行了研究。
隨機傳染病動力學建模及應用 目錄
目錄
《生物數學叢書》序
前言
第1章 預備知識 1
1.1 基本的概率論知識 1
1.2 隨機過程和Brown運動 5
1.3 隨機積分 10
1.4 It公式 12
1.5 重要不等式 15
1.5.1 初等不等式 15
1.5.2 隨機不等式 15
1.5.3 Burkholder-Davis-Gundy不等式 18
1.5.4 Gronwall不等式 21
1.6 其他相關的基本知識 23
第2章 隨機傳染病模型的動力學行為研究 31
2.1 基于信息干預隨機SIRS模型的動力學行為 31
2.1.1 引言 31
2.1.2 隨機SIRS模型基本再生數和正解的存在唯一性 32
2.1.3 基于信息干預隨機SIRS模型中疾病的滅絕與持久性分析 35
2.1.4 基于信息干預隨機SIRS模型中疾病的遍歷性和平穩分布分析 43
2.1.5 數值算例 47
2.1.6 小結 51
2.2 具有區間數隨機SIRS模型的動力學行為 52
2.2.1 引言 52
2.2.2 正解的存在唯一性 53
2.2.3 隨機SIRS模型的動力學行為 54
2.2.4 數值模擬 70
2.2.5 小結 74
2.3 帶Lévy跳不精確SIRS模型的動力學行為 75
2.3.1 引言 75
2.3.2 正解的存在唯一性 76
2.3.3 隨機滅絕性 80
2.3.4 隨機持久性 83
2.3.5 數值模擬 88
2.3.6 小結 92
2.4 干預策略下隨機HBV感染模型的動力學行為 92
2.4.1 引言 92
2.4.2 基本再生數及平衡點分析 93
2.4.3 疾病的隨機滅絕 94
2.4.4 漸近穩定與平穩分布 97
2.4.5 數值模擬 105
2.4.6 小結 109
2.5 Ornstein-Uhlenbeck過程驅動時滯年齡結構HIV模型的穩態分布 110
2.5.1 引言及模型建立 110
2.5.2 穩態分布 112
2.5.3 數值分析 127
2.5.4 小結 132
第3章 隨機傳染病模型的數值逼近 133
3.1 帶年齡結構傳染病模型基本再生數在有限區域上的θ格式逼近 133
3.1.1 引言 133
3.1.2 基本再生數的數值逼近 134
3.1.3 數值模擬 145
3.1.4 小結 147
3.2 具有Markov切換脈沖隨機年齡結構HIV模型的顯式數值逼近 148
3.2.1 引言及模型建立 148
3.2.2 解的存在唯一性 152
3.2.3 矩估計和強收斂性 160
3.2.4 數值模擬 178
3.2.5 小結 185
第4章 隨機傳染病模型的控制 186
4.1 隨機SIRS傳染病模型擬*優控制存在的充分條件和必要條件 186
4.1.1 引言 186
4.1.2 擬*優控制存在的充分條件 188
4.1.3 隨機SIRS模型擬*優控制的必要條件 196
4.1.4 數值算例 203
4.1.5 小結 206
4.2 具有Lévy噪聲和不確定參數SIRS模型的接種疫苗的*優策略 206
4.2.1 引言 206
4.2.2 易感者、感染者和恢復者的先驗估計 210
4.2.3 擬*優控制存在的充分和必要條件 221
4.2.4 數值算例 228
4.2.5 小結 232
4.3 隨機變時滯年齡結構HIV模型的有限時間穩定性及*優脈沖控制 233
4.3.1 引言 233
4.3.2 模型建立和正解的存在唯一性 234
4.3.3 有限時間穩定 247
4.3.4 *優控制策略 256
4.3.5 數值分析 260
4.3.6 小結 265
4.4 控制策略下具有Markov切換隨機變時滯年齡結構HIV模型的有限時間收縮穩定性 265
4.4.1 引言 265
4.4.2 有限時間收縮穩定 268
4.4.3 數值算例 274
4.4.4 小結 281
參考文獻 283
附錄 295
索引 303
《生物數學叢書》已出版書目 305
《生物數學叢書》序
前言
第1章 預備知識 1
1.1 基本的概率論知識 1
1.2 隨機過程和Brown運動 5
1.3 隨機積分 10
1.4 It公式 12
1.5 重要不等式 15
1.5.1 初等不等式 15
1.5.2 隨機不等式 15
1.5.3 Burkholder-Davis-Gundy不等式 18
1.5.4 Gronwall不等式 21
1.6 其他相關的基本知識 23
第2章 隨機傳染病模型的動力學行為研究 31
2.1 基于信息干預隨機SIRS模型的動力學行為 31
2.1.1 引言 31
2.1.2 隨機SIRS模型基本再生數和正解的存在唯一性 32
2.1.3 基于信息干預隨機SIRS模型中疾病的滅絕與持久性分析 35
2.1.4 基于信息干預隨機SIRS模型中疾病的遍歷性和平穩分布分析 43
2.1.5 數值算例 47
2.1.6 小結 51
2.2 具有區間數隨機SIRS模型的動力學行為 52
2.2.1 引言 52
2.2.2 正解的存在唯一性 53
2.2.3 隨機SIRS模型的動力學行為 54
2.2.4 數值模擬 70
2.2.5 小結 74
2.3 帶Lévy跳不精確SIRS模型的動力學行為 75
2.3.1 引言 75
2.3.2 正解的存在唯一性 76
2.3.3 隨機滅絕性 80
2.3.4 隨機持久性 83
2.3.5 數值模擬 88
2.3.6 小結 92
2.4 干預策略下隨機HBV感染模型的動力學行為 92
2.4.1 引言 92
2.4.2 基本再生數及平衡點分析 93
2.4.3 疾病的隨機滅絕 94
2.4.4 漸近穩定與平穩分布 97
2.4.5 數值模擬 105
2.4.6 小結 109
2.5 Ornstein-Uhlenbeck過程驅動時滯年齡結構HIV模型的穩態分布 110
2.5.1 引言及模型建立 110
2.5.2 穩態分布 112
2.5.3 數值分析 127
2.5.4 小結 132
第3章 隨機傳染病模型的數值逼近 133
3.1 帶年齡結構傳染病模型基本再生數在有限區域上的θ格式逼近 133
3.1.1 引言 133
3.1.2 基本再生數的數值逼近 134
3.1.3 數值模擬 145
3.1.4 小結 147
3.2 具有Markov切換脈沖隨機年齡結構HIV模型的顯式數值逼近 148
3.2.1 引言及模型建立 148
3.2.2 解的存在唯一性 152
3.2.3 矩估計和強收斂性 160
3.2.4 數值模擬 178
3.2.5 小結 185
第4章 隨機傳染病模型的控制 186
4.1 隨機SIRS傳染病模型擬*優控制存在的充分條件和必要條件 186
4.1.1 引言 186
4.1.2 擬*優控制存在的充分條件 188
4.1.3 隨機SIRS模型擬*優控制的必要條件 196
4.1.4 數值算例 203
4.1.5 小結 206
4.2 具有Lévy噪聲和不確定參數SIRS模型的接種疫苗的*優策略 206
4.2.1 引言 206
4.2.2 易感者、感染者和恢復者的先驗估計 210
4.2.3 擬*優控制存在的充分和必要條件 221
4.2.4 數值算例 228
4.2.5 小結 232
4.3 隨機變時滯年齡結構HIV模型的有限時間穩定性及*優脈沖控制 233
4.3.1 引言 233
4.3.2 模型建立和正解的存在唯一性 234
4.3.3 有限時間穩定 247
4.3.4 *優控制策略 256
4.3.5 數值分析 260
4.3.6 小結 265
4.4 控制策略下具有Markov切換隨機變時滯年齡結構HIV模型的有限時間收縮穩定性 265
4.4.1 引言 265
4.4.2 有限時間收縮穩定 268
4.4.3 數值算例 274
4.4.4 小結 281
參考文獻 283
附錄 295
索引 303
《生物數學叢書》已出版書目 305
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隨機傳染病動力學建模及應用 節選
第1章預備知識 本書主要是討論隨機傳染病模型的相關性質，由于分析過程所需要的知識已經超出了大學數學的范圍，并且后面章節的理論證明中需要隨機分析的基礎知識，因此，為了使讀者更好地理解和閱讀方便，盡量把那些在本書中要用到的基礎知識在本章列出.因篇幅關系，只列出重要的結論而略去大部分的證明.但盡量注明出處，以便于讀者更多的了解和查證.這些知識主要包括:理論概率論的有關概念和結論;隨機過程，特別是Brown運動的概念和相關結論;連續時間的Markov鏈的相關結論;隨機積分，主要是It.積分的定義和相關知識;隨機微分方程的概念和主要結論;公式;一些要用到的重要不等式;其他的相關基本知識，主要是分數階微分、積分和模糊隨機理論等.一些更專業的知識在以后用到時臨時介紹.本章在材料選取時，以“夠用、方便”為原則，不追求所引結論的深刻和廣泛，更多地考慮簡潔、易用的因素，希望能給讀者帶來方便. 1.1基本的概率論知識 概率論，通俗地說，就是用數學方法來研究隨機事件發生的“機會”或“可能性”大小的學科.但要在數學上對其加以精確的描述，則遠非易事.下面由*基本的概念開始. 某個隨機試驗的所有可能的基本結果或基本隨機事件所構成的集合記為，稱為樣本空間.滿足下面三個條件的子集族稱為樣本空間的一個代數: （1） （2） （3） F中的元素稱為的可測集或隨機事件.若是樣本空間的一個子集族，則存在一個的包含的*小的代數，記為.稱為由生成的代數.由的所有開集所生成的代數稱為Borel代數，記為，其中的元素稱為中的Borel集.定義在樣本空間上的可測的實值函數稱為隨機變量.類似地，定義在樣本空間上的維可測的向量值函數稱為維隨機向量，或值隨機變量. 設X是值隨機變量，則由集合族所生成的*小代數，稱為X生成的代數，記為. 定義在F上的函數稱為可測空間上的概率測度，如果 它滿足: （1） （2） 三元組為概率空間.若一個概率空間的F包含Ω的所有P零外測集.也就是說，如果 則，此概率空間稱為完備的.任何一個概率空間都可以通過把其所有P零外測集加入F中，并重新定義概率測度來完備化.在本書中我們假設所涉及的概率空間為完備的. 如果隨機變量X關于概率測度P可積，則積分 稱為隨機變量的均值或數學期望，記為.此時，該隨機變量稱為可積的.對隨機變量，如果積分存在，則稱之為隨機變量的方差，記為或稱為隨機變量的階矩.所有階矩有限的維隨機變量所構成的空間記為.如果也是實值隨機變量，則積分稱為和的協方差，記為. 若是值的隨機變量，則在Borel可測空間上，按如下方 式誘導出一個概率測度: 此概率測度稱為的分布或概率分布. 如果存在定義在上的非負函數，使得對任意的有 則稱為隨機變量X的密度函數（或密度）.一個隨機變量未必存在密度函數，但是一定存在分布函數. 當n=1時，實值隨機變量X的分布函數可以表示為 X的均值也可表示為 更一般地，若是Borel可測的，則有 隨機事件族（其中是指標集）稱為獨立的，如果對任意有限個不同的指標. 代數族（是指標集）稱為獨立的，如果對任意有限個不同的指標;和任意的. 定義1.1.1如果隨機變量族所生成的代數族是獨立的，則稱隨機變量族是獨立的. 根據隨機變量族獨立的定義可得到如下性質: 如果隨機變量族是獨立的且它們的均值都存在，則有 若它們的方差都存在，則有 若，定義條件概率 引理1.1.1（全概率公式） 引理1.1.2（Bore-Cantelli引理） 也就是說，若 則對幾乎所有的都存在一個隨機整數，使得當時，所有的隨機事件Bk都不會發生. 設X是一個隨機變量且其均值存在，是的一個子代數，一般來說，未必是可測的.由Radon-Nikodym定理，存在唯一的可測的隨機變量Y，使得隨機變量Y稱為在條件G之下X的條件均值（或條件數學期望）. 若Z是隨機變量且，則通常寫成. 定義，其中表示隨機事件的指標函數.條件均值有如下重要性質: （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 1.2隨機過程和Brown運動 設是一個概率空間.一個關于遞增的代數族稱 為濾子.也就是說，若，則.在一個完備的概率空間里，若一個濾子Ft滿足 且F0包含所有的P零集，則此濾子稱為滿足通常條件.一個值的隨機變量族，稱為是一個隨機過程，稱為其參數集或指標集.稱為其狀態空間.在本書中，總是取為或非負整數族. 對每個給定的是一個隨機變量，所以隨機過程可以看成是一個定義在I上的隨機變量值的函數. 對每個給定的可以看作是一個定義在I上的確定性R值函數，稱該隨機過程對應于的樣本軌道.隨機過程又可以看成是它的所有樣本軌道的集合.同時，一個隨機過程也可以看成是定義在上的的二元函數. 給定n維向量值隨機過程，定義在上的概率測度族 稱為隨機過程Xt的有限維分布族（或分布），其中. 若兩個定義在相同概率空間上的隨機過程有相同的有限維分布族，則這兩個隨機過程就大致相同. 若對任意的，隨機過程和隨機過程有相同的有限維分布族，則隨機過程稱為嚴平穩的. 若隨機過程滿足為常值函數，并且協方差只與有關，則稱為寬平穩的. 如果對幾乎所有的，隨機過程的樣本軌道都是確定性的連續函數，則稱是連續的隨機過程. 如果對所有的是可積的隨機變量，則隨機過程稱為可積的隨機過程. 如果對所有的是可測的，則隨機過程稱適應的. 如果對所有的，隨機過程和隨機過程滿足，則稱為的一個版本或修正. 兩個隨機過程和稱為不可區分的，如果 一個可能取值為的隨機變量稱為一個停時，如果對.粗略地說，停時是一個不依賴于將來的隨機時間. 設和是兩個停時，并且滿足，定義如下的隨機區間: 類似地，還可以定義隨機區間. 下面的定理是重要的，并且在后面的章節中要用到. 定理1.2.1 定義1.2.1 它的實際意義，我們可想象一個賭徒，假設知道他由一開始（0時刻）到現在的有關賭博的所有信息.去預測他在將來某個時刻手里賭資的數學期望.如果賭博是公平的，則這個期望值應該就等于他現在所擁有的賭資.也就是說，賭博每一把都有輸贏，若賭博是公平的，則輸贏的機會會相抵. 定義1.2.2一個隨機過程稱為是平方可積的，如果對任意的有.如果是一個實值平方可積連續鞅，則存在一個唯一的連續可積適應的增過程，記為，使得是一個在時等于零的連續鞅.過程稱為二次變分. 定義1.2.3一個右連續的適應過程稱為局部鞅，如果存在一個非減的停時序列，滿足，使得每一個是鞅（此后，總是使用記號）.
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