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現(xiàn)代信息處理技術(shù)在地球物理中的應(yīng)用 版權(quán)信息
- ISBN：9787030712080
- 條形碼：9787030712080 ; 978-7-03-071208-0
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數(shù)：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
現(xiàn)代信息處理技術(shù)在地球物理中的應(yīng)用 內(nèi)容簡介
本書介紹現(xiàn)代信息處理方法在重力、磁力、電磁、地震等地球物理信號信息提取中的應(yīng)用，主要包括地球物理資料濾波、位場邊界識別、譜矩分析位場幾何特征提取、地球天然脈沖電磁場信號特征分析、地球天然脈沖電磁場時頻分析、地球物理信號混沌-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測、低秩逼近地震數(shù)據(jù)重建，以及深度學(xué)習(xí)地震數(shù)據(jù)重建等方法與技術(shù)。
現(xiàn)代信息處理技術(shù)在地球物理中的應(yīng)用 目錄
目錄
第1章 地球物理資料濾波方法 1
1.1 小波變換與小波域濾波 1
1.1.1 小波變換原理 1
1.1.2 小波域濾波實現(xiàn) 3
1.2 高階統(tǒng)計量濾波 5
1.2.1 高階累積量及高階累積量譜的概念 5
1.2.2 高階累積量及高階累積量譜的估計 7
1.2.3 基于三階譜的傅里葉振幅與相位重構(gòu) 9
1.2.4 基于三階譜的位場濾波算法 13
1.3 Curvelet域濾波 13
1.3.1 Curvelet變換原理 13
1.3.2 基于高階統(tǒng)計量的Curvelet域濾波 15
1.4 基于L2范數(shù)的濾波方法 17
1.4.1 原理及數(shù)學(xué)形式 17
1.4.2 參數(shù)選擇與方法的物理意義 19
1.5 模型數(shù)值實驗 20
1.6 實際資料濾波案例 25
第2章 位場異常識別與邊界探測 29
2.1 位場異常導(dǎo)數(shù)換算及應(yīng)用前提 29
2.1.1 位場異常導(dǎo)數(shù)的物理意義 30
2.1.2 磁異常化極與磁源重力異常計算 31
2.2 垂向?qū)?shù) 32
2.3 水平總梯度模 35
2.4 解析信號振幅 36
2.5 Theta圖 37
2.6 Tilt梯度及其水平導(dǎo)數(shù) 38
2.6.1 Tilt梯度 38
2.6.2 Tilt梯度的水平導(dǎo)數(shù) 38
2.6.3 模型實驗 39
2.7 歸一化標(biāo)準(zhǔn)差 40
2.8 Tilt梯度的改進算法 40
2.8.1 模型實驗 42
2.8.2 韋崗鐵礦區(qū)磁異常邊界探測 45
2.9 斜磁化磁異常處理 51
第3章 基于各向異性標(biāo)準(zhǔn)化方差的重磁源邊界分析 56
3.1 各向異性標(biāo)準(zhǔn)化方差算法 56
3.1.1 算法原理 56
3.1.2 算法的物理意義與計算流程 57
3.1.3 理論模型 59
3.2 改進的各向異性標(biāo)準(zhǔn)化方差算法 60
3.2.1 算法原理 60
3.2.2 計算流程 62
3.2.3 理論模型 63
3.3 各向異性標(biāo)準(zhǔn)化方差算法性質(zhì) 65
3.4 復(fù)雜模型計算對比 66
3.4.1 理論模型 67
3.4.2 含噪聲模型 69
3.5 各種方法處理效果對比 76
第4章 基于譜矩分析技術(shù)的位場幾何特征 78
4.1 譜矩基礎(chǔ)知識 78
4.1.1 譜矩的定義 78
4.1.2 離散數(shù)據(jù)的各階譜矩計算 79
4.2 基于譜矩的地學(xué)特征因子提取方法及應(yīng)用 81
4.2.1 表面統(tǒng)計不變量與均方根斜率方差因子 81
4.2.2 自由空氣重力異常數(shù)據(jù)的山脈和盆地識別 82
4.3 譜矩方法在磁源體深度反演中的應(yīng)用 84
4.3.1 算術(shù)平均頂點曲率 85
4.3.2 球狀磁源體埋深估計 86
4.3.3 板狀磁源體埋深估計 88
4.3.4 塔里木盆地地區(qū)的應(yīng)用效果 90
4.4 基于地殼弧形構(gòu)造信息提取的四階譜矩分析 93
4.4.1 基于譜矩的邊界識別方法 93
4.4.2 理論模型實驗 94
4.4.3 應(yīng)用案例 99
第5章 震前地球天然脈沖電磁場信號采集與特征分析 101
5.1 地球天然脈沖電磁場場源機理 101
5.2 地球天然脈沖電磁場信號采集 102
5.3 地球天然脈沖電磁場信號的震前特征 103
5.3.1 震前ENPEMF信號的時頻譜分解 103
5.3.2 震前ENPEMF信號時頻參數(shù)的孕震信息特點 110
5.3.3 時頻幅度譜二維圖的孕震信息特點 115
5.3.4 時頻幅度譜三維圖的孕震信息特點 120
第6章 時頻分析在地球天然脈沖電磁場數(shù)據(jù)信息提取中的應(yīng)用 124
6.1 時頻分析方法 124
6.1.1 Hilbert變換與譜 124
6.1.2 自適應(yīng)時頻 127
6.1.3 WVD的改進算法 129
6.2 NSTFT-WVD變換在震前地球天然脈沖電磁場信號時頻與能量分析中的應(yīng)用 132
6.2.1 NSTFT-WVD方法原理 132
6.2.2 基于NSTFT-WVD變換的震前ENPEMF信號的時頻特點 136
6.3 BSWT-DDTFA方法在震前地球天然脈沖電磁場信號時頻分析中的應(yīng)用 140
6.3.1 BSWT-DDTFA方法原理 140
6.3.2 BSWT-DDTFA方法仿真 141
6.3.3 基于BSWT-DDTFA的震前ENPEMF信號的時頻特點 143
6.4 EEMD-WVD方法在震前地球天然脈沖電磁場時頻特性中的應(yīng)用 146
6.4.1 ENPEMF數(shù)據(jù)的二維時頻分解 146
6.4.2 EEMD-WVD分解 148
6.5 DE-DDTFA方法在震前地球天然脈沖電磁場信號時頻特性中的應(yīng)用 150
6.5.1 DE-DDTFA方法原理 151
6.5.2 DE-DDTFA方法仿真 152
6.5.3 基于DE-DDTFA的震前ENPEMF信號的時頻特點 153
第7章 混沌-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在地球物理信號強度預(yù)測中的應(yīng)用 157
7.1 混沌理論 157
7.1.1 假鄰近法 158
7.1.2 自相關(guān)函數(shù)法 159
7.2 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 160
7.3 基于混沌-徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的震前地球天然脈沖電磁場強度預(yù)測 162
第8章 低秩逼近在地震數(shù)據(jù)重建中的應(yīng)用 167
8.1 基礎(chǔ)知識 167
8.1.1 地震數(shù)據(jù)重建模型 167
8.1.2 矩陣的秩 167
8.1.3 張量的秩 168
8.2 基于低秩逼近的地震數(shù)據(jù)重建原理 169
8.2.1 Hankel矩陣預(yù)變換 169
8.2.2 紋理塊矩陣預(yù)變換 170
8.2.3 地震數(shù)據(jù)的低秩性 171
8.3 基于紋理塊張量預(yù)變換的地震重建 171
8.3.1 紋理塊張量預(yù)變換 171
8.3.2 紋理塊張量預(yù)變換下地震數(shù)據(jù)重建模型 173
8.3.3 模型求解 173
8.3.4 數(shù)值實驗 175
8.4 基于log-sum函數(shù)的地震數(shù)據(jù)重建 180
8.4.1 基于核范數(shù)的地震數(shù)據(jù)重建方法 181
8.4.2 基于log-sum函數(shù)的地震數(shù)據(jù)重建方法 181
8.4.3 數(shù)值實驗 183
8.5 基于自相似性和低秩先驗的地震數(shù)據(jù)隨機噪聲壓制 187
8.5.1 自相似塊匹配 187
8.5.2 基于截斷核范數(shù)的低秩模型 188
8.5.3 APGL優(yōu)化求解 189
8.5.4 數(shù)值實驗 191
第9章 深度學(xué)習(xí)在地震數(shù)據(jù)重建中的應(yīng)用 195
9.1 深度學(xué)習(xí)概述 195
9.1.1 深度學(xué)習(xí)的起源與發(fā)展 195
9.1.2 深度學(xué)習(xí)應(yīng)用于地震數(shù)據(jù)重建的研究現(xiàn)狀 196
9.2 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 196
9.2.1 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本組成部分 196
9.2.2 地震數(shù)據(jù)重建中常用的CNN模型 199
9.3 帶紋理約束的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在地震數(shù)據(jù)插值中的應(yīng)用 200
9.3.1 算法模型 201
9.3.2 實驗分析 203
9.4 基于深度先驗的地震數(shù)據(jù)插值 210
9.4.1 基礎(chǔ)知識 210
9.4.2 實驗分析 215
9.5 基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的地震數(shù)據(jù)去噪 220
9.5.1 CNN-NP結(jié)構(gòu) 220
9.5.2 隨機噪聲去除 222
9.5.3 面波去除 225
參考文獻 228
第1章 地球物理資料濾波方法 1
1.1 小波變換與小波域濾波 1
1.1.1 小波變換原理 1
1.1.2 小波域濾波實現(xiàn) 3
1.2 高階統(tǒng)計量濾波 5
1.2.1 高階累積量及高階累積量譜的概念 5
1.2.2 高階累積量及高階累積量譜的估計 7
1.2.3 基于三階譜的傅里葉振幅與相位重構(gòu) 9
1.2.4 基于三階譜的位場濾波算法 13
1.3 Curvelet域濾波 13
1.3.1 Curvelet變換原理 13
1.3.2 基于高階統(tǒng)計量的Curvelet域濾波 15
1.4 基于L2范數(shù)的濾波方法 17
1.4.1 原理及數(shù)學(xué)形式 17
1.4.2 參數(shù)選擇與方法的物理意義 19
1.5 模型數(shù)值實驗 20
1.6 實際資料濾波案例 25
第2章 位場異常識別與邊界探測 29
2.1 位場異常導(dǎo)數(shù)換算及應(yīng)用前提 29
2.1.1 位場異常導(dǎo)數(shù)的物理意義 30
2.1.2 磁異常化極與磁源重力異常計算 31
2.2 垂向?qū)?shù) 32
2.3 水平總梯度模 35
2.4 解析信號振幅 36
2.5 Theta圖 37
2.6 Tilt梯度及其水平導(dǎo)數(shù) 38
2.6.1 Tilt梯度 38
2.6.2 Tilt梯度的水平導(dǎo)數(shù) 38
2.6.3 模型實驗 39
2.7 歸一化標(biāo)準(zhǔn)差 40
2.8 Tilt梯度的改進算法 40
2.8.1 模型實驗 42
2.8.2 韋崗鐵礦區(qū)磁異常邊界探測 45
2.9 斜磁化磁異常處理 51
第3章 基于各向異性標(biāo)準(zhǔn)化方差的重磁源邊界分析 56
3.1 各向異性標(biāo)準(zhǔn)化方差算法 56
3.1.1 算法原理 56
3.1.2 算法的物理意義與計算流程 57
3.1.3 理論模型 59
3.2 改進的各向異性標(biāo)準(zhǔn)化方差算法 60
3.2.1 算法原理 60
3.2.2 計算流程 62
3.2.3 理論模型 63
3.3 各向異性標(biāo)準(zhǔn)化方差算法性質(zhì) 65
3.4 復(fù)雜模型計算對比 66
3.4.1 理論模型 67
3.4.2 含噪聲模型 69
3.5 各種方法處理效果對比 76
第4章 基于譜矩分析技術(shù)的位場幾何特征 78
4.1 譜矩基礎(chǔ)知識 78
4.1.1 譜矩的定義 78
4.1.2 離散數(shù)據(jù)的各階譜矩計算 79
4.2 基于譜矩的地學(xué)特征因子提取方法及應(yīng)用 81
4.2.1 表面統(tǒng)計不變量與均方根斜率方差因子 81
4.2.2 自由空氣重力異常數(shù)據(jù)的山脈和盆地識別 82
4.3 譜矩方法在磁源體深度反演中的應(yīng)用 84
4.3.1 算術(shù)平均頂點曲率 85
4.3.2 球狀磁源體埋深估計 86
4.3.3 板狀磁源體埋深估計 88
4.3.4 塔里木盆地地區(qū)的應(yīng)用效果 90
4.4 基于地殼弧形構(gòu)造信息提取的四階譜矩分析 93
4.4.1 基于譜矩的邊界識別方法 93
4.4.2 理論模型實驗 94
4.4.3 應(yīng)用案例 99
第5章 震前地球天然脈沖電磁場信號采集與特征分析 101
5.1 地球天然脈沖電磁場場源機理 101
5.2 地球天然脈沖電磁場信號采集 102
5.3 地球天然脈沖電磁場信號的震前特征 103
5.3.1 震前ENPEMF信號的時頻譜分解 103
5.3.2 震前ENPEMF信號時頻參數(shù)的孕震信息特點 110
5.3.3 時頻幅度譜二維圖的孕震信息特點 115
5.3.4 時頻幅度譜三維圖的孕震信息特點 120
第6章 時頻分析在地球天然脈沖電磁場數(shù)據(jù)信息提取中的應(yīng)用 124
6.1 時頻分析方法 124
6.1.1 Hilbert變換與譜 124
6.1.2 自適應(yīng)時頻 127
6.1.3 WVD的改進算法 129
6.2 NSTFT-WVD變換在震前地球天然脈沖電磁場信號時頻與能量分析中的應(yīng)用 132
6.2.1 NSTFT-WVD方法原理 132
6.2.2 基于NSTFT-WVD變換的震前ENPEMF信號的時頻特點 136
6.3 BSWT-DDTFA方法在震前地球天然脈沖電磁場信號時頻分析中的應(yīng)用 140
6.3.1 BSWT-DDTFA方法原理 140
6.3.2 BSWT-DDTFA方法仿真 141
6.3.3 基于BSWT-DDTFA的震前ENPEMF信號的時頻特點 143
6.4 EEMD-WVD方法在震前地球天然脈沖電磁場時頻特性中的應(yīng)用 146
6.4.1 ENPEMF數(shù)據(jù)的二維時頻分解 146
6.4.2 EEMD-WVD分解 148
6.5 DE-DDTFA方法在震前地球天然脈沖電磁場信號時頻特性中的應(yīng)用 150
6.5.1 DE-DDTFA方法原理 151
6.5.2 DE-DDTFA方法仿真 152
6.5.3 基于DE-DDTFA的震前ENPEMF信號的時頻特點 153
第7章 混沌-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在地球物理信號強度預(yù)測中的應(yīng)用 157
7.1 混沌理論 157
7.1.1 假鄰近法 158
7.1.2 自相關(guān)函數(shù)法 159
7.2 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 160
7.3 基于混沌-徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的震前地球天然脈沖電磁場強度預(yù)測 162
第8章 低秩逼近在地震數(shù)據(jù)重建中的應(yīng)用 167
8.1 基礎(chǔ)知識 167
8.1.1 地震數(shù)據(jù)重建模型 167
8.1.2 矩陣的秩 167
8.1.3 張量的秩 168
8.2 基于低秩逼近的地震數(shù)據(jù)重建原理 169
8.2.1 Hankel矩陣預(yù)變換 169
8.2.2 紋理塊矩陣預(yù)變換 170
8.2.3 地震數(shù)據(jù)的低秩性 171
8.3 基于紋理塊張量預(yù)變換的地震重建 171
8.3.1 紋理塊張量預(yù)變換 171
8.3.2 紋理塊張量預(yù)變換下地震數(shù)據(jù)重建模型 173
8.3.3 模型求解 173
8.3.4 數(shù)值實驗 175
8.4 基于log-sum函數(shù)的地震數(shù)據(jù)重建 180
8.4.1 基于核范數(shù)的地震數(shù)據(jù)重建方法 181
8.4.2 基于log-sum函數(shù)的地震數(shù)據(jù)重建方法 181
8.4.3 數(shù)值實驗 183
8.5 基于自相似性和低秩先驗的地震數(shù)據(jù)隨機噪聲壓制 187
8.5.1 自相似塊匹配 187
8.5.2 基于截斷核范數(shù)的低秩模型 188
8.5.3 APGL優(yōu)化求解 189
8.5.4 數(shù)值實驗 191
第9章 深度學(xué)習(xí)在地震數(shù)據(jù)重建中的應(yīng)用 195
9.1 深度學(xué)習(xí)概述 195
9.1.1 深度學(xué)習(xí)的起源與發(fā)展 195
9.1.2 深度學(xué)習(xí)應(yīng)用于地震數(shù)據(jù)重建的研究現(xiàn)狀 196
9.2 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 196
9.2.1 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本組成部分 196
9.2.2 地震數(shù)據(jù)重建中常用的CNN模型 199
9.3 帶紋理約束的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在地震數(shù)據(jù)插值中的應(yīng)用 200
9.3.1 算法模型 201
9.3.2 實驗分析 203
9.4 基于深度先驗的地震數(shù)據(jù)插值 210
9.4.1 基礎(chǔ)知識 210
9.4.2 實驗分析 215
9.5 基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的地震數(shù)據(jù)去噪 220
9.5.1 CNN-NP結(jié)構(gòu) 220
9.5.2 隨機噪聲去除 222
9.5.3 面波去除 225
參考文獻 228
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現(xiàn)代信息處理技術(shù)在地球物理中的應(yīng)用 節(jié)選
第1章 地球物理資料濾波方法 隨著現(xiàn)代儀器技術(shù)的不斷發(fā)展，地球物理儀器觀測的精度越來越高，比如高精度重磁測量方法已經(jīng)能夠探測地下規(guī)模較小的異常體，諸如小礦體、局部構(gòu)造等，但是它對地表不均勻性、儀器噪聲等外界干擾也表現(xiàn)得更加敏感。為了有效地提取目標(biāo)異常，避免微弱異常的損失，人們已不再滿足于傳統(tǒng)的資料處理和解釋方法，而是期望通過研究新的技術(shù)方法對地球物理資料進行精細處理、解釋，以獲取更豐富的地質(zhì)信息。本章將在分析傳統(tǒng)濾波方法的基礎(chǔ)上，討論小波域濾波方法、基于高階統(tǒng)計量的濾波方法、Curvelet域濾波方法及基于L2范數(shù)的濾波（空間域）方法，力爭避免或減弱傳統(tǒng)濾波方法造成的“過圓滑”，實現(xiàn)數(shù)據(jù)的高保真處理。 1.1 小波變換與小波域濾波 小波分析方法是20世紀(jì)80年代以來發(fā)展起來的多尺度分析方法，“小波”的概念*早是由法國地球物理學(xué)家Morlet和Grossmann在70年代分析地震資料時提出的，其后經(jīng)過Meyer、Mallat及Daubechies等多位數(shù)學(xué)家的大量工作，小波變換才有了系統(tǒng)的理論與計算方法，被廣泛地研究并應(yīng)用于圖像與信號、地球物理、醫(yī)學(xué)技術(shù)、航空航天技術(shù)、通信、計算機技術(shù)、故障監(jiān)控等眾多學(xué)科和相關(guān)領(lǐng)域，受到科研工作者的廣泛關(guān)注。 1.1.1 小波變換原理 以時間t為變量的信號f的連續(xù)小波變換（continuous wavelet transform，CWT）定義為 （1.1.1） 設(shè)定 （1.1.2） 式（1.1.2）中：函數(shù)為小波函數(shù)（wavelet function），簡稱為小波（wavelet），它是由函數(shù)經(jīng)過不同的時間尺度（t）伸縮和平移得到的；R表示實數(shù)域；是小波原型，稱為母小波（mother wavelet）或基本小波（basic wavelet）；參數(shù)b表示時間平移，不同b值的小波沿時間軸移動到不同的位置；參數(shù)a表示時間軸的尺度伸縮，大的a值對應(yīng)于小的尺度，相應(yīng)的小波伸展較寬，小的a值對應(yīng)的小波在時間軸上受到壓縮；系數(shù)表示歸一化因子，它的引入是為了使不同尺度的小波保持相等的能量。 綜合式（1.1.1）和式（1.1.2），得到連續(xù)小波變換的簡化定義式： （1.1.3） 即信號關(guān)于的連續(xù)小波變換可以表達為與小波的內(nèi)積，連續(xù)小波變換定量地表示了信號與小波函數(shù)系中每個小波的相關(guān)或接近程度。為方便表示，將(a，b)簡記為Wf?(a，b)。 構(gòu)造的母小波函數(shù)必須滿足允許條件： （1.1.4） 式中：為的傅里葉變換，如果是一個合格的窗函數(shù)，則是連續(xù)函數(shù)。 因此，允許條件意味著 （1.1.5） 其物理意義是為一個振幅衰減很快的“波”，“小波”的概念即因此而來。 令母小波是中心為、有效寬度為Dt的偶對稱函數(shù)，經(jīng)過伸縮平移后的小波的中心為，寬度為aDt，如圖1.1.1（a）所示。如果把小波看成寬度隨a位置隨b變動的時域窗，那么連續(xù)小波變換可被看作連續(xù)變化的一組短時傅里葉變換的集合，這些短時傅里葉變換對不同的信號頻率使用了不同寬度的窗函數(shù)。具體來說，高頻使用窄時域窗，低頻使用寬時域窗。這被稱為小波變換的“變焦距”性質(zhì)，即多尺度多分辨時頻局部化特性。 圖1.1.1 母小波與小波及其頻率特性 另外，在頻域中可以觀察小波變換的性質(zhì)，的傅里葉變換為 （1.1.6） 若母小波的傅里葉變換是中心頻率為、寬度為Dω的帶通函數(shù)，那么其傅里葉變換是中心為/a、寬度為Dω?/a的帶通函數(shù)，如圖1.1.1（b）所示。根據(jù)帕塞瓦爾恒等式，由式（1.1.3）可以得到 （1.1.7） 因此，連續(xù)小波變換給出了信號頻譜在頻域窗或內(nèi)的局部信息。 設(shè)＞0，a為正實變量，可以把/a看作頻率變量。的帶寬與中心頻率之比，即相對帶寬，與尺度參數(shù)a或中心頻率的位置無關(guān)，這就是“恒Q性質(zhì)”。把看作頻率變量后，“時間-尺度”平面等效于“時間-頻率”平面。因此，連續(xù)小波變換的“時間-頻率”定位能力和分辨率也能夠用“時間-尺度”平面上的矩形窗口來描述，該窗口的范圍是矩形窗口長為[即的有效寬度]，寬為[即的有效寬度]，面積為。面積大小與a無關(guān)，僅取決于的選擇，因此，一旦母小波確定，窗口的面積也就隨之確定。分析的矩形窗口寬度決定時間分辨率和時間定位能力。a越小（對應(yīng)越高的頻率），時間分辨率越高。因此，高頻分析應(yīng)采用窄的窗口。由于分析的矩形窗口面積恒定，當(dāng)矩形窗口變窄時，其高度不可避免地增加，會降低頻域分辨率和頻率定位能力。圖1.1.2就是從另一角度觀察到的連續(xù)小波變換的變焦距性質(zhì)，它與圖1.1.1形成鮮明對照。 圖1.1.2 小波變換的頻域性質(zhì) 分析的矩形窗口寬度隨頻率升高（尺度減小）而變窄 由連續(xù)小波變換重建原信號，其逆變換公式為 （1.1.8） 1.1.2 小波域濾波實現(xiàn) 實際采集的重磁異常中常含有較高頻率的白噪聲干擾，只有通過濾波處理，壓制噪聲干擾，才能有效地突出原信號中的地質(zhì)信息。下面先介紹白噪聲的幾個特點。 （1）白噪聲可以看作平穩(wěn)的隨機信號，記為，它在各測點處的值是一個隨機量，取值大小與其他測點處的隨機取值無關(guān)。因此，白噪聲的隨機性表明，不同的白噪聲和之間是不相關(guān)的。 （2）白噪聲可以看作能量無限且零均值的。白噪聲在時間域中沒有衰減性，因此它具有能量無限性。白噪聲是隨機變化的，因此有 （1.1.9） （3）對于確定信號，白噪聲的時間域特征是均勻密集的。 （4）對于有用信號，隨機干擾具備較高的頻率。 重磁勘探中的異常通常表現(xiàn)為中低頻信號特征或一些比較平穩(wěn)的信號，而噪聲則表現(xiàn)為高頻信號特征。對含有噪聲的位場數(shù)據(jù)做小波分解后，噪聲能量主要出現(xiàn)在小波分析的小尺度上，且主要集中于各個尺度分量的高頻部分。在高頻系數(shù)方面，隨著尺度變大和分解層次增多，其幅值大約按2-1/2倍快速衰減。另外，噪聲在不同尺度上的特征也是不相關(guān)的。 根據(jù)上面的分析，傳統(tǒng)基于小波分析的濾波方法大致可以歸結(jié)為兩類。**類是強制的切除法濾波，即把小波分解各尺度分量或某幾個尺度的高頻系數(shù)全部賦值為零，然后進行小波反變換至空間域。這類方法比較簡單，重構(gòu)后的信號也較平滑，但是這種“一刀切”的生硬處理方式，容易丟失原信號中的有用信息。第二類是通過閾值衰減方法壓制噪聲。這類方法是根據(jù)經(jīng)驗或某種法則設(shè)定閾值，對小波分解的系數(shù)進行閾值收縮，這符合噪聲在高頻部分均勻密集的特點。 在實際處理應(yīng)用中，閾值方法是使用*為廣泛的小波域濾波算法。常見的幾種閾值計算方法如下。 （1）統(tǒng)一閾值法。對小波分解的各層采用單一的閾值： （1.1.10） 式中：為閾值；為噪聲強度；N為樣點數(shù)。 （2）定義小波閾值為 （1.1.11） 式中：M為分解的層次；為各層所取的閾值；為噪聲強度。 （3）定義小波閾值為 （1.1.12） 式中：為反映噪聲的小波變換模在不同尺度j上的傳播因子。 （4）將小波分解**層的小波系數(shù)全部置為零，相當(dāng)于將閾值t設(shè)為**層小波系數(shù)模的*大值。 （5）非線性閾值法。硬閾值方法與軟閾值方法是兩種傳統(tǒng)的閾值處理方法。硬閾值方法準(zhǔn)則是保留大于閾值的系數(shù)，而將小于閾值的系數(shù)都賦值為零，具體表達式為 （1.1.13） 式中：Wf?(a，b)為原小波系數(shù)；為閾值處理后的小波系數(shù)。 軟閾值方法準(zhǔn)則是將小于閾值的系數(shù)都賦值為零，而將大于閾值的系數(shù)減去一個閾值大小的量，具體表達式為 （1.1.14） 由圖1.1.3（a）、（b）可以看出：硬閾值方法是使大于閾值的系數(shù)不變，而小于閾值的系數(shù)取值為零，此方法存在間斷點，會造成重構(gòu)失真，濾波不徹底；軟閾值方法雖然沒有間斷點，但是原系數(shù)減去了一個閾值大小的量，也會使重構(gòu)失真。 橫坐標(biāo)為處理前的系數(shù)，縱坐標(biāo)為處理后的系數(shù) 為了克服硬閾值方法和軟閾值方法的不足，使信號變化盡可能平緩，可采用非線性閾值，如圖1.1.3（c）所示。非線性閾值函數(shù)表達式為 （1.1.15） 式中：為在由1衰減到0的光滑的權(quán)函數(shù)。 1.2 高階統(tǒng)計量濾波 早在20世紀(jì)50年代，一些學(xué)者就開始了高階矩的研究。Rosenblatt等（1965）發(fā)表了關(guān)于雙譜估計的文章，同年，Brillinger（1965）全面介紹了多譜理論。但是，直到80年代后期，這方面的研究才真正得到迅速發(fā)展與應(yīng)用，迎來了高階譜理論和應(yīng)用研究的高潮。目前，其應(yīng)用范圍已涉及通信、生物醫(yī)學(xué)、故障診斷、聲吶等多個領(lǐng)域，近年來也已經(jīng)逐步滲透到地球物理勘探領(lǐng)域。 所謂高階統(tǒng)計量，通常是指高階矩、高階累積量及它們的譜——高階矩譜和高階累積量譜4種形式的統(tǒng)計量，此外，還有倒高階累積量譜等。通過特征函數(shù)可以引出高階統(tǒng)計量的定義，并推導(dǎo)它們的性質(zhì)。本節(jié)主要討論高階累積量及高階累積量譜（簡稱高階譜），其他相關(guān)理論可參考Arivazhagan等（2006）和張賢達（1996，1995），此處不做詳述。 1.2.1 高階累積量及高階累積量譜的概念 常見的k階累積量，用來表示高階累積量。 設(shè){x(n)}為零均值的k階平穩(wěn)隨機過程，其k階累積量定義為 （1.2.1） 設(shè){x(n)}為零均值的k階平穩(wěn)隨機過程，且序列的k階累積量是絕對可和的，即 （1.2.2） 則k階累積量譜定義為k階累積量的k-1維傅里葉變換，即 （1.2.3） *常用的高階累積量譜是三階累積量譜（簡稱三階譜）和四階累積量譜（簡稱四階譜），定義形式如下。 三階累積量譜： （1.2.4） 四階累積量譜： （1.2.5） 由于三階累積量譜只有兩個變量，四階累積量譜只有三個變量，為了方便，特別稱它們?yōu)殡p譜和三譜。 式（1.2.3）中的時，就是常見的功率譜： （1.2.6） 高階累積量具有如下幾種性質(zhì)。 性質(zhì)1：相互獨立的兩隨機序列的組合序列的累積量等于零。 設(shè)隨機序列由相互獨立的兩隨機序列與組成，則有 （1.2.7） 因此，對于一個由具有相同分布的相互獨立的隨機變量構(gòu)成的隨機序列，它的累積量為函數(shù)。 性質(zhì)2：任何高斯過程的高階累積量均等于零。
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