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大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2(法文版) 版權(quán)信息
- ISBN：9787030733696
- 條形碼：9787030733696 ; 978-7-03-073369-6
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數(shù)：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2(法文版) 內(nèi)容簡介
書中給出了許多詳細(xì)的示例以幫助學(xué)生理解相關(guān)理論知識，還提供了一個習(xí)題章節(jié)，以便學(xué)生可以在應(yīng)用中練習(xí)每一章中學(xué)到的知識。本書每一章開篇都給出了預(yù)備知識列表，以便讀者在閱讀前可以了解必須要具備知識。書中作者給出的證明都非常詳細(xì)，即便對一些相關(guān)概念不十分熟悉的讀者也可以輕松地理解證明的過程。此外，每一章中都有常規(guī)的方法提要，以幫助學(xué)生掌握不同領(lǐng)域的基本數(shù)學(xué)方法。*后，在某些章的*后一部分包含了一些額外的內(nèi)容，這些內(nèi)容可能會使學(xué)有余力的學(xué)生或數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生感興趣。
大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2(法文版) 目錄
目錄
序
前言
Préface et remerciements
Chapitre 1 Dérivation et développements limités 1
1.1 Nombre dérivé en un point 2
1.1.1 Définition 2
1.1.2 Interprétations graphique et cinématique 4
1.1.3 Développement limité d’ordre 15
1.2 Fonction dérivée 6
1.2.1 Définition 6
1.2.2 Opérations sur les fonctions dérivables 7
1.2.3 Dérivée d’une bijection réciproque 14
1.2.4 Dérivées successives et formule de Leibniz1 5
1.3 étude globale des fonctions dérivables à valeurs réelles 21
1.3.1 Caractérisation des extrema locaux 21
1.3.2 Théorème de Rolle 22
1.3.3 égalité et inégalité des accroissements finis 28
1.3.4 Application aux variations d’une fonction 32
1.3.5 Applications aux suites récurrentes de la forme un+1 = f(un) 35
1.3.6 Théorème de prolongement 36
1.4 Définition et propriétés des développements limités 40
1.5 Opérations sur les développements limités 43
1.5.1 Somme et produit 43
1.5.2 Inverse 44
1.5.3 Intégration et dérivation d’un DL 46
1.6 Formules de Taylor 48
1.6.1 Formule de Taylor avec reste intégral et inégalité de Taylor-Lagrange 48
1.6.2 Formule de Taylor-Young 50
1.6.3 Formule (ou égalité) de Taylor-Lagrange 51
1.6.4 Application aux fonctions usuelles 53
1.7 Applications des développements limités 56
1.7.1 étude des limites ou recherche d’équivalent 56
1.7.2 étude de position d’une courbe par rapport à sa tangente 58
1.7.3 Développement asymptotique et étude de position par rapport à une asymptote 58
1.7.4 Recherche d’extremum 59
1.7.5 Nature d’un point stationnaire d’une courbe paramétrée 60
1.8 Exercices 60
Chapitre 2 Espaces vectoriels de dimension finie 70
2.1 Familles de vecteurs 71
2.1.1 Famille libre 71
2.1.2 Famille génératrice 79
2.1.3 Base d’un espace vectoriel 81
2.1.4 Caractérisation d’une application linéaire par l’image d’une base 85
2.2 Dimension d’un espace vectoriel 89
2.2.1 Définition et exemples 89
2.2.2 Théorèmes de la dimension et de la base incomplète 89
2.2.3 Dimension d’un espace vectoriel et caractérisation des bases 94
2.3 Propriétés de la dimension 100
2.3.1 Dimensions d’un produit cartésien et d’une somme directe 100
2.3.2 Dimension d’un sous-espace vectoriel 102
2.3.3 Dimension d’une somme de deux espaces 104
2.3.4 Caractérisation des sommes directes et des sous-espaces supplémentaires par les bases 107
2.3.5 Rang d’une famille de vecteurs 108
2.4 Théorème du rang 110
2.4.1 Définition du rang d’une application linéaire 110
2.4.2 Théorème du rang 112
2.4.3 Caractérisation des isomorphismes et des éléments inversibles de L(E) 115
2.5 Exercices 117
2.6 Annexe 122
2.6.1 Démonstration du théorème fondamental de la théorie de la dimension 122
Chapitre 3 Matrices 124
3.1 Définition d’une matrice 125
3.2 Opérations sur les matrices 126
3.2.1 Structure d’espace vectoriel 126
3.2.2 Base canonique de Mn;p(K) 127
3.2.3 Produit matriciel 129
3.2.4 Transposition 132
3.3 Matrices carrées 133
3.3.1 Algèbre Mn(K) 133
3.3.2 Matrices carrées inversibles et groupe GLn(K) 135
3.3.3 Sous-ensembles remarquables de Mn(K) 138
3.4 Matrices et applications linéaires 144
3.4.1 Définition de la matrice d’une application linéaire relativement à deux bases 144
3.4.2 Propriétés élémentaires des matrices d’applications linéaires 148
3.4.3 Isomorphisme canonique de L(Kp;Kn) sur Mn;p(K) 150
3.4.4 Cas des formes linéaires : équations cartésiennes d’un hyperplan 154
3.5 Matrice d’un endomorphisme 155
3.5.1 Définition et isomorphisme de L(E) sur Mn(K) 155
3.5.2 Matrice d’une famille finie de vecteurs dans une base 161
3.5.3 Matrice de passage et changements de bases 162
3.6 Rang d’une matrice et opérations élémentaires 166
3.6.1 Définition du rang d’une matrice et première caractérisation 166
3.6.2 Opérations élémentaires sur les lignes (ou les colonnes) 169
3.6.3 Méthode du pivot de Gauss pour déterminer le rang d’une matrice (ou l’inverse d’une matrice) 175
3.7 Matrices équivalentes， matrices semblables et trace d’une matrice carrée 184
3.7.1 Matrices équivalentes 184
3.7.2 Matrices semblables 185
3.7.3 Trace d’une matrice carrée et trace d’un endomorphisme 186
3.8 Exercices 189
Chapitre 4 Intégration des fonctions d’une variable réelle 196
4.1 Intégration sur un segment d’une fonction en escalier 197
4.1.1 Fonction en escalier 197
4.1.2 Intégrale sur un segment d’une fonction en escalier 200
4.1.3 Propriétés de l’intégrale 202
4.2 Intégrale sur un segment d’une fonction continue par morceaux 204
4.2.1 Fonctions continues par morceaux et approximation uniforme par des fonctions en escalier 204
4.2.2 Définition de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux 207
4.2.3 Extension aux fonctions à valeurs complexes 209
4.2.4
序
前言
Préface et remerciements
Chapitre 1 Dérivation et développements limités 1
1.1 Nombre dérivé en un point 2
1.1.1 Définition 2
1.1.2 Interprétations graphique et cinématique 4
1.1.3 Développement limité d’ordre 15
1.2 Fonction dérivée 6
1.2.1 Définition 6
1.2.2 Opérations sur les fonctions dérivables 7
1.2.3 Dérivée d’une bijection réciproque 14
1.2.4 Dérivées successives et formule de Leibniz1 5
1.3 étude globale des fonctions dérivables à valeurs réelles 21
1.3.1 Caractérisation des extrema locaux 21
1.3.2 Théorème de Rolle 22
1.3.3 égalité et inégalité des accroissements finis 28
1.3.4 Application aux variations d’une fonction 32
1.3.5 Applications aux suites récurrentes de la forme un+1 = f(un) 35
1.3.6 Théorème de prolongement 36
1.4 Définition et propriétés des développements limités 40
1.5 Opérations sur les développements limités 43
1.5.1 Somme et produit 43
1.5.2 Inverse 44
1.5.3 Intégration et dérivation d’un DL 46
1.6 Formules de Taylor 48
1.6.1 Formule de Taylor avec reste intégral et inégalité de Taylor-Lagrange 48
1.6.2 Formule de Taylor-Young 50
1.6.3 Formule (ou égalité) de Taylor-Lagrange 51
1.6.4 Application aux fonctions usuelles 53
1.7 Applications des développements limités 56
1.7.1 étude des limites ou recherche d’équivalent 56
1.7.2 étude de position d’une courbe par rapport à sa tangente 58
1.7.3 Développement asymptotique et étude de position par rapport à une asymptote 58
1.7.4 Recherche d’extremum 59
1.7.5 Nature d’un point stationnaire d’une courbe paramétrée 60
1.8 Exercices 60
Chapitre 2 Espaces vectoriels de dimension finie 70
2.1 Familles de vecteurs 71
2.1.1 Famille libre 71
2.1.2 Famille génératrice 79
2.1.3 Base d’un espace vectoriel 81
2.1.4 Caractérisation d’une application linéaire par l’image d’une base 85
2.2 Dimension d’un espace vectoriel 89
2.2.1 Définition et exemples 89
2.2.2 Théorèmes de la dimension et de la base incomplète 89
2.2.3 Dimension d’un espace vectoriel et caractérisation des bases 94
2.3 Propriétés de la dimension 100
2.3.1 Dimensions d’un produit cartésien et d’une somme directe 100
2.3.2 Dimension d’un sous-espace vectoriel 102
2.3.3 Dimension d’une somme de deux espaces 104
2.3.4 Caractérisation des sommes directes et des sous-espaces supplémentaires par les bases 107
2.3.5 Rang d’une famille de vecteurs 108
2.4 Théorème du rang 110
2.4.1 Définition du rang d’une application linéaire 110
2.4.2 Théorème du rang 112
2.4.3 Caractérisation des isomorphismes et des éléments inversibles de L(E) 115
2.5 Exercices 117
2.6 Annexe 122
2.6.1 Démonstration du théorème fondamental de la théorie de la dimension 122
Chapitre 3 Matrices 124
3.1 Définition d’une matrice 125
3.2 Opérations sur les matrices 126
3.2.1 Structure d’espace vectoriel 126
3.2.2 Base canonique de Mn;p(K) 127
3.2.3 Produit matriciel 129
3.2.4 Transposition 132
3.3 Matrices carrées 133
3.3.1 Algèbre Mn(K) 133
3.3.2 Matrices carrées inversibles et groupe GLn(K) 135
3.3.3 Sous-ensembles remarquables de Mn(K) 138
3.4 Matrices et applications linéaires 144
3.4.1 Définition de la matrice d’une application linéaire relativement à deux bases 144
3.4.2 Propriétés élémentaires des matrices d’applications linéaires 148
3.4.3 Isomorphisme canonique de L(Kp;Kn) sur Mn;p(K) 150
3.4.4 Cas des formes linéaires : équations cartésiennes d’un hyperplan 154
3.5 Matrice d’un endomorphisme 155
3.5.1 Définition et isomorphisme de L(E) sur Mn(K) 155
3.5.2 Matrice d’une famille finie de vecteurs dans une base 161
3.5.3 Matrice de passage et changements de bases 162
3.6 Rang d’une matrice et opérations élémentaires 166
3.6.1 Définition du rang d’une matrice et première caractérisation 166
3.6.2 Opérations élémentaires sur les lignes (ou les colonnes) 169
3.6.3 Méthode du pivot de Gauss pour déterminer le rang d’une matrice (ou l’inverse d’une matrice) 175
3.7 Matrices équivalentes， matrices semblables et trace d’une matrice carrée 184
3.7.1 Matrices équivalentes 184
3.7.2 Matrices semblables 185
3.7.3 Trace d’une matrice carrée et trace d’un endomorphisme 186
3.8 Exercices 189
Chapitre 4 Intégration des fonctions d’une variable réelle 196
4.1 Intégration sur un segment d’une fonction en escalier 197
4.1.1 Fonction en escalier 197
4.1.2 Intégrale sur un segment d’une fonction en escalier 200
4.1.3 Propriétés de l’intégrale 202
4.2 Intégrale sur un segment d’une fonction continue par morceaux 204
4.2.1 Fonctions continues par morceaux et approximation uniforme par des fonctions en escalier 204
4.2.2 Définition de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux 207
4.2.3 Extension aux fonctions à valeurs complexes 209
4.2.4
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大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2(法文版) 節(jié)選
Chapitre 1 Derivation et developpements limites Prerequis : dans tout ce chapitre， les notions suivantes sont supposees connues : espaces vectoriels， sous-espaces vectoriels et applications lineaires; anneaux， algebres et morphismes d’algbres; limite d’une fonction d，une variable reelle; operations sur les limites; image continue d，un segment; calcul pratique de developpements limites (cours de mathematiques elementaires 2); petits o， grands O， fonctions equivalentes; limite d’une fonction d，une variable reelle; fonctions usuelles et leurs derivees; polyn6mes; integration par parties. Aucune connaissance specifique sur la derivation n，est supposee connue. 1.1Nombre derive en un point Dans tout ce chapitre， I est un intervalle r6el non vide et non r6duit k un point (c，estdire d5iiiterieur non vide). 1.1.1Definition Definition 1.1.1.1 Soient f : Remarques : on peut etendre la notion aux fonctions a valeurs complexes. On dit que f : est derivable en a existe. On note alors fr(a) cette limite* Id， on n，a pas besoin de preciser limite finie puisque pour une fonction a valeurs complexes，il n，y a pas de notion de limite infinie; on peut aussi remarquer que Vecriture lim n，est pas necessaire et on peut simplement ecrire， comme dans la definition ci-dessus， lim 1^1——puisque la fonc-tion x i——est definie sur I et n，est done pas definie au point a; enfin，on peut remarquer que f est derivable en a si et seulement si h est derivable en，cest-a-dire si et seulement si h W a^mei une Umite h(finie) en 0. Dans ce cas， la pratique， cfest souvent cette forme qu，on utilise. Definition 1.1.1.2 Soit f: (i) (ii) Proposition 1.1.1.3Preuve : Exemple 1.1.1.4 Exemple 1.1.1.5 Exemple 1.1.1.6 Exemple 1.1.1.7 Exemple 1.1.1.8 Proposition 1.1.1.9 1.1.2Interpretations graphique et cinematique Interpretation graphique : lorsque f est derivable en a， le nombre derivee en a est la limite des taux d’accroissement. Definition 1.1.2.1 Exercice 1.1.2.2 Exercice 1.1.2.3 (Plus difficile) 1. 2. Montrer que si f est continue en a et / admet une meilleure approximation affine， alors f est derivable en a. Quelle est alors cette meilleure approximation affine ? 3.Montrer que si f admet une meilleure approximation affine en a， alors f est continue au point a. 4.En deduire que f admet une meilleure approximation affine en derivable en a. Quelle est alors la meilleure approximation affine. Interpretation cinematique : 1.1.3Developpement limite (Tordre 1 Proposition 1.1.3.1 (i) (ii) Preuve Remarques : en clair，la proposition dit que f est derivable en a si et settlement si f admet un developpement limite a Vordre 1 en a (et que dans ce cas，son developpement limite a Vordre 1 en a est donnee par IJapproximation de la tangente) On verra dans la suite du cours que cette propriete ne se generalise pas pour un ordre n≥2 ; on ecrit aussi souvent le DL (developpement limite) a Vordre 1 en a de f sous la forme : Proposition 1.1.3.2 Si f est derivable en a， alors f est continue en a. Preuve Attention : La reciproque est fausse. Donner un contre-exemple. 1.2Fonct ion derivee 1.2.1Definition Definition 1.2.1.1 Notations pour la derivee d’une fonction， on utilise aussi les notations suivantes : En particulier， en physique， on utilise souvent la notation f ou -r- pour la derive df par rapport au temps En mathematiques， on evitera cette notation puisque d’une part le d et dx ne sont pas des objets bien dfinis (pour le moment) et d’autre part， c，est une notation qui fait intervenir le“rr”qui est le nom de la variable et pas intrinseque. Ce probleme de notations sera revue dans le cours de calcul differentiel (cours de mathematiques speciales 1). Exemple 1.2.1.2 Exemple 1.2.1.3 Remarque : on peut retrouver que les fonctions usuelles (voir cours de mathematiques elemen-taires 1) sont derivables et calculer leur derivee. Je vous laisse refaire les preuves en exercice.
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