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數(shù)學(xué)的秘密/【法】伊萬?柯里奧 版權(quán)信息
- ISBN：9787532966929
- 條形碼：9787532966929 ; 978-7-5329-6692-9
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數(shù)：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：
數(shù)學(xué)的秘密/【法】伊萬?柯里奧 本書特色
1.清華大學(xué)前數(shù)學(xué)系主任文志英先生重磅推薦。 清華大學(xué)前數(shù)學(xué)系主任文志英先生親筆作序，重磅推薦，稱這是一本將數(shù)學(xué)令人嘆服的特色和深度完美展現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)科普著作。此外，文志英先生還對本書閱讀順序及每章內(nèi)容做了概況性的簡要介紹，對閱讀者大有裨益。 2.這是一個科學(xué)博士關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)展歷程的研究與感悟。數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，和物理、化學(xué)相比更加難以琢磨。如何把這種抽象又專業(yè)的學(xué)科發(fā)展過程講的有趣，是很需要功力的。本書作者柯里奧做到了輕松幽默，如話家常一般的娓娓道來。清華大學(xué)前數(shù)學(xué)系主任文志英先生看完之后親筆寫序，贊美本書通俗易懂，理念獨到；一本理論扎實、視角獨特的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)醍醐灌頂之作。與學(xué)科入門作品的簡單淺白相比，本書是有一定深度的興趣升級之作。讀了這本書，有可能會讓一些有數(shù)學(xué)興趣和學(xué)科基礎(chǔ)的天選之子邁入到更高級別的學(xué)科殿堂。這是一本有可能會影響或完全改變閱讀者對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深度與思考視角的特別之書。 3.世界百科全書出版業(yè)巨頭品牌法國拉魯斯數(shù)學(xué)知識專著。 拉魯斯百科全書系列是世界百科全書中的名牌產(chǎn)品，被視為世界著名百科全書之一。著名作家大仲馬曾說：好的書架上應(yīng)有三種書：一是福音書，二是拉·封丹的寓言詩，三是拉魯斯百科。本書就是該品牌力推的數(shù)學(xué)科普專著。
數(shù)學(xué)的秘密/【法】伊萬?柯里奧 內(nèi)容簡介
你真的知道數(shù)學(xué)是什么嗎？你會說數(shù)學(xué)語言嗎？1的后面為什么總是跟著一個想要把它抓住的0？π的背后是財富還是深淵？黃金數(shù)因何被抬上神壇？諾里斯不會說謊，錯的絕對是真相？質(zhì)數(shù)連小學(xué)生都能理解，卻成了數(shù)學(xué)家的終極難題？你是歐幾里得幾何的信奉者，但你自己卻不知道？……從水龍頭滴水到古希臘定理，從繁復(fù)的方程式到晦澀的符號，從別人口中的故事到大師“現(xiàn)身說法”……摒棄先入為主的想法，以全新的視角審視它們，你會發(fā)現(xiàn)它們在我們的日常生活中無處不在，并且以常見和意外的形式出現(xiàn)。本書用15章拆解數(shù)學(xué)的秘密，專家校對，必要腳注，圖文結(jié)合。令你與高斯、歐幾里得、柏拉圖、萊布尼茨等數(shù)學(xué)大咖親密接觸，帶你進入燒腦、有趣、不枯燥的數(shù)學(xué)世界！數(shù)學(xué)出人意料，又無處不在！
數(shù)學(xué)的秘密/【法】伊萬?柯里奧 目錄
**章 數(shù)學(xué)存在嗎
什么是數(shù)學(xué)
數(shù)學(xué)真的是一個抽象的世界嗎
超越現(xiàn)實的存在：復(fù)數(shù)
來自另一個世界的完美
數(shù)學(xué)天堂：柏拉圖理想主義
走出洞穴
獨一無二的柏拉圖學(xué)派
反柏拉圖的唯物主義數(shù)學(xué)
數(shù)學(xué)與現(xiàn)實
但是，為什么會成功
第二章 數(shù)學(xué)的字母表：數(shù)字從何而來
數(shù)學(xué)史前史：zui初的記數(shù)系統(tǒng)
從“十五個二十”到“八十”
數(shù)字真的是阿拉伯的嗎
俄羅斯套娃般的數(shù)
符號從何而來
字母與數(shù)字的對決
通用語言
第三章 與眾不同的數(shù)字：零
喧喧嚷嚷只為空
兩個零？
于是有了零
可以將零作為除數(shù)嗎
零讓托托頭暈?zāi)垦?
第四章 與眾不同的數(shù)字：π
遙遠的圓周率
違背理性之?dāng)?shù)？
將數(shù)分類會如何
一個無解的……謎團
那歐米伽呢
圓周率的超越性
第五章 與眾不同的數(shù)字：黃金數(shù)
比例小史
斐波那契，從兔子到“神奇”的數(shù)列
解釋世界的數(shù)字
第六章 無窮：過山車式的眩暈
與其跑，不如動身早：無窮悖論
阿喀琉斯與烏龜
不斷重復(fù)的級數(shù)
兩個無窮
無窮符號
伽利略與無窮的困境
如何理解無窮
走近無窮，超越無窮
計算無窮
俄羅斯套娃般的無窮
無限的**個字母
從無窮到超越
無限之星
第七章 質(zhì)數(shù)：不要整除以求zui好
了不起的質(zhì)數(shù)
質(zhì)數(shù)究竟是什么
逃脫還是躲避
質(zhì)數(shù)，從原始人到外星人
數(shù)學(xué)“原子”
一共有多少“質(zhì)數(shù)”
**個不會是zui后一個
尋找“質(zhì)數(shù)”
zui大的謎題
梅森對“質(zhì)數(shù)”的追逐
謎題仍然存在……
是誰藏在質(zhì)數(shù)的背后
第八章 非歐幾里得幾何的丑聞：空間的顛覆
這顯而易見，我親愛的歐幾里得
歐幾里得的世界
重獲人心的非歐幾何
我們的世界是歐幾里得式的嗎
過時的歐幾里得
曲率和維數(shù)：當(dāng)心混淆
非歐幾何的開拓者
地圖與領(lǐng)土
平行線問題
幾何學(xué)家與作曲家
愛因斯坦：1- 歐幾里得：0：非歐幾何的問世
世界的形狀
歐幾里得幾何，信或不信
第九章 不要再增加了!有多少個維度
通往多維空間的大門
我的平面國
尋找第四維度
維數(shù)的膨脹
第十章 另一種視角看空間：拓撲學(xué)
另一種空間觀
清晨的拓撲學(xué)
拓撲學(xué)的誕生：無法走過的“哥尼斯堡橋”
拓撲學(xué)的誕生：團結(jié)一致的立體
長久的懸念
拓撲珍奇屋
第十一章 微積分：挑逗極限
定奪勝負：牛頓與萊布尼茨相距一毫
艾薩克·牛頓，一個全能型的天才
牛頓：宇宙的破譯者
通過極限解決
與此同時，在歐洲大陸上……
不一樣的戰(zhàn)斗
德國—英國：平局？
解密宇宙的微小之物
第十二章 混沌理論：方程中的機遇
時鐘里的一粒沙
天體之舞
前路為何不可知
可能掌握混沌嗎
在混沌中求生？
氣候中的混沌：蝴蝶效應(yīng)
奇異吸引子
第十三章 分形：宇宙的幾何形狀？
混沌的面貌
分形新世界
分形史前史
分形之形
分形：超越逗號的維度
分形海岸：無窮的海岸線
硅的啟示
無處不在的分形
無窮中的無窮
第十四章 永遠無法閉合的圓：不完備性
再造乾坤
**條裂痕：侵蝕邏輯的悖論
說謊者悖論
“我們必須知道，我們終將知道！”
數(shù)學(xué)幻夢
希爾伯特計劃的雙重困境
不完備性：機器中的幽靈
阿蘭·圖靈登場
第十五章 數(shù)學(xué)機器：數(shù)學(xué)還存在嗎
利用手指、石子及尺子計數(shù)
計算機：具象化的數(shù)學(xué)
真實的機器，夢想中的機器
進步的機器
機器之戰(zhàn)及**批計算機
編（解）碼的考驗
一個與眾不同的蘋果
數(shù)學(xué)家是否懷有人工智能之夢
超越可計算范圍？量子計算機
所有這些都是數(shù)學(xué)
附錄
展開全部
數(shù)學(xué)的秘密/【法】伊萬?柯里奧 節(jié)選
數(shù)學(xué)天堂：柏拉圖理想主義 **個嘗試解答這個問題的仍是古希臘人，但他們給出的答案并不是不可推翻的終極答案，因為我們已經(jīng)走出了純粹的數(shù)學(xué)世界。在數(shù)學(xué)世界中，只要證明或定理闡述合理，就一定會被普遍接受。 我們現(xiàn)在所涉及的領(lǐng)域被稱為“數(shù)學(xué)哲學(xué)”——即使稱其為“關(guān)于數(shù)學(xué)的哲學(xué)”會更為準(zhǔn)確。數(shù)學(xué)哲學(xué)試圖把數(shù)學(xué)的方方面面整合在一起并將其當(dāng)作一個整體來解釋，因而是數(shù)學(xué)之外的領(lǐng)域。然而，這個答案仍然舉足輕重，因為它**次對數(shù)學(xué)對象、數(shù)學(xué)實體及數(shù)學(xué)真理的來源與性質(zhì)做出了回答。正是通過這一回答，我們得以確定立場，選擇拒絕、反駁這一理論，或?qū)ζ溥M行進一步的確認或延伸。簡而言之，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，我們?nèi)匀簧钤诎乩瓐D（Plato，前427—前347）的世界里！ 柏拉圖無疑是古希臘zui重要的兩位哲學(xué)家之一——另一位是他的弟子亞里士多德（Aristotle，前384—前322）——事實上，正是柏拉圖確定了在他之后的幾個世紀(jì)里一直占有主導(dǎo)地位的數(shù)學(xué)理念，并且這一理念至今仍被許多研究這一問題的現(xiàn)代思想家所認同。 柏拉圖的學(xué)說是純思辨的、形而上學(xué)[ 形而上學(xué)（Metaphysics），是指研究存在和事物本質(zhì)的學(xué)問。形而上學(xué)是哲學(xué)研究中的一個范疇，被視為“**哲學(xué)”和“哲學(xué)的基本問題”。它是人類理性對于事物zui普遍的面相和終極原因的探索的一門學(xué)科。]的，受當(dāng)時的宗教與哲學(xué)精神的影響。雖然這種學(xué)說在哲學(xué)層面上存在爭議，但它卻是在一種相當(dāng)清晰的理念之上建立的，而且這個理念還與數(shù)學(xué)的本質(zhì)有關(guān)。雖然這位哲學(xué)家對數(shù)學(xué)史本身的貢獻可以說是微不足道，但他知道自己所言為何。 “不懂幾何者不得入內(nèi)”：柏拉圖與數(shù)學(xué) 柏拉圖將數(shù)學(xué)奉為終極真理，而且是終極的絕對真理。他在雅典創(chuàng)辦了一所學(xué)院，并讓人在學(xué)院的三角楣上刻下“不懂幾何者不得入內(nèi)”。在古希臘，幾何學(xué)是所有數(shù)學(xué)學(xué)科的皇后和典范。但柏拉圖本人是一名偉大的數(shù)學(xué)家嗎？不論答案肯定與否，總之，他沒有在作品中留下令人印象深刻的定理或證明，盡管其作品具有重要的地位。有一類多面體被稱為“柏拉圖立體”，它們的所有面和角都相等，是世上僅有的 5 種正多面體，即正四面體（有 4 個面，形如金字塔，但底面不是正方形而是與其他三個面大小相等的三角形）、正六面體（有6 個面，就是一個立方體）、正八面體（有 8 個面，看起來像是正方形底面相接的兩個金字塔）、正十二面體（有 12 個五邊形的面）和正二十面體（有 20 個三角形的面）。人們錯誤地認為柏拉圖是“柏拉圖立體之父”，但這些立體并不是由柏拉圖發(fā)現(xiàn)或定義的：至少在他那個時代的 1000 年前，它們就已經(jīng)為人所知了。不過，指出“柏拉圖立體”就是所有的對稱或規(guī)則多面體，不存在也不可能存在其他正多面體的卻是與柏拉圖生活在同一時代的泰阿泰德（Théétète），這個名字也被柏拉圖用來命名一篇關(guān)于科學(xué)的對話錄。而關(guān)于“柏拉圖立體”，柏拉圖只是在另一篇對話錄《蒂邁歐篇》中傳播了泰阿泰德的發(fā)現(xiàn)。在這篇對話錄中，他將泰阿泰德描述的五種立體圖形與四元素相聯(lián)系，還把zui后一種（正二十面體）同整個宇宙聯(lián)系起來。由此看來，與其說柏拉圖是數(shù)學(xué)家，倒更像是科學(xué)誕生之前的形而上學(xué)家。 相反，柏拉圖的學(xué)生，尼多斯的歐多克索斯（Eudoxus，約前400—約前 347）卻在整個古代數(shù)學(xué)史上占有重要的地位。歐多克索斯與亞里士多德是同一時代的人，其主要成就是建立了所謂的“窮竭法”。 窮竭法可以使某些面積的計算以及與之相關(guān)的數(shù)值結(jié)果達到一種令人滿意的近似。比如，計算圓面積的方法為：在圓的內(nèi)部構(gòu)造內(nèi)接多邊形，外部構(gòu)造外切多邊形，以從兩側(cè)向圓逼近。然后，再逐漸增加兩個多邊形的邊數(shù)，使其越來越接近圓弧，直到與后者相合。如此一來，圓的面積便介于兩個多邊形（內(nèi)接及外切）的面積之間，而多邊形面積的求法又是已知的。20 多個世紀(jì)后，人們將利用這種方法來建立微積分學(xué)的模型。 柏拉圖提出的數(shù)學(xué)觀與其被稱為“二元論”的形而上學(xué)密不可分。依照他的觀點，我們?nèi)怏w所在并能通過感官感知的世界是“可感世界”，它并非唯一存在的世界，也不是zui好的世界，zui好的世界是與之相對的“可知世界”或“相世界”，是需要通過我們的精神或理智才能認識的世界。 不過，這種認識也并非直接的認識。哲學(xué)家之所以能夠思考可知世界的永恒真理，僅僅是因為他在前世就已經(jīng)這么做了。因為，同印度教教徒一樣，柏拉圖相信靈魂轉(zhuǎn)世或者輪回轉(zhuǎn)生，也就是在“前世”死后，靈魂會轉(zhuǎn)移到另一副肉體之中。一個人若一生品行端正，那么轉(zhuǎn)世為人時，其地位定會得到提升，而人類生命的zui高形式便是追求智慧與知識的哲學(xué)家。 與其跑，不如動身早：無窮悖論 無窮的概念不僅難以理解，而且還很難回避！因為按理說，它是從那些zui基礎(chǔ)的運算活動中產(chǎn)生的，比如計數(shù)。當(dāng)一個孩子開始學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)時，他很快就會提問道：“數(shù)字什么時候結(jié)束？”而后，一系列的哲學(xué)難題（同時也是家長和老師所要面臨的教育挑戰(zhàn)）往往就會接踵而至。面對這個問題，大人們通常只能回答：“永遠不會結(jié)束！”而這個回答是那么簡單、費解，又令人難以接受！ 聽到這個答案，未來的小數(shù)學(xué)家們心中五味雜陳，他們既懷疑又驚奇，有時還會產(chǎn)生一種隱隱約約的焦慮。如果對這個問題思考得足夠深入的話，任何一個已經(jīng)成年的人都不會對這種感覺感到太過陌生。那數(shù)學(xué)家是如何認為的呢？在很長一段時間里，數(shù)學(xué)家都對無窮抱有一種近乎偏執(zhí)的反感，不過，他們反對的理由往往與“外行人”的理由不同。 在深入了解之前，讓我們先明確一下，在這里，我們將集中討論的是數(shù)學(xué)上的無窮，因為“無窮”這個概念也會出現(xiàn)在哲學(xué)、宗教或物理學(xué)領(lǐng)域，其含義也有所不同。但在本書中，我們只會對其他這些“無窮”與數(shù)學(xué)“無窮”之間的關(guān)系稍作討論。 無窮的概念起源于計數(shù)，因為人類可能永遠無法將數(shù)數(shù)完。當(dāng)這個概念**次出現(xiàn)在古希臘數(shù)學(xué)家面前時，他們并沒有理由平白無故地感到恐慌。本來，柏拉圖主義的追隨者可以將無窮看作可知世界——物質(zhì)世界只是它不完美的復(fù)制品——的一種屬性，而“原子論者”也沒有理由對數(shù)學(xué)上的無窮感到不滿，因為他們原本就相信有無數(shù)個宇宙存在，而這也是其思想體系中的核心內(nèi)容，F(xiàn)實的也好，想象的也罷，無窮本來可以在數(shù)學(xué)的世界里擁有一席之地，只可惜它太愛挑撥離間，讓人惱火不已。人類難以通過其有限的智力想象無窮、理解無窮，難題由此產(chǎn)生。不僅如此，無窮在邏輯及算術(shù)之廈中的引入催生了數(shù)學(xué)家zui大的敵人——悖論，而數(shù)學(xué)家們似乎也無法抑制自己想要將其掃地出門的念頭。來自埃利亞（Elea）的哲學(xué)家芝諾（Zénon，約前 490—約前 430）提出了“飛矢悖論”及“阿喀琉斯與烏龜?shù)你Ｕ摗保@兩個悖論涉及無窮的概念，并對其可能會造成的困境做出說明，是同類悖論中zui為著名的兩個例子。 阿喀琉斯與烏龜 這兩個悖論體現(xiàn)的是同一種思想，它們都在加法和除法兩個層面上引入了無窮。因為我們將距離分成了越來越小的小段，然后再將它們一個個相加。在飛矢悖論中，箭矢若要擊中箭靶，就必須先飛過箭靶與弓箭手間距離的一半，接著再飛過剩下一半距離的一半，然后是剩下還需飛過的距離的一半——也就是起始距離的四分之一，以此類推，無窮無盡。只不過這里有一個問題：如此下去，箭矢永遠無法射中箭靶！因為總會剩下半段的距離需要箭矢飛過，無論這段距離有多微不足道。箭矢會無限接近箭靶，卻永遠無法將其擊中。但是我們心知肚明，在現(xiàn)實世界中，事實并非如此。 難道是埃利亞學(xué)派的推理存在問題嗎？從數(shù)學(xué)層面上來看，這種推理無懈可擊，或者說幾乎無懈可擊。 阿喀琉斯與烏龜?shù)你Ｕ撆c飛矢悖論如出一轍，只不過前者還涉及一個額外的因素：目標(biāo)的移動。特洛伊戰(zhàn)爭中所向披靡的英雄追逐一只可憐的烏龜，為此他必須跑過他與烏龜之間相隔距離的一半。與弓箭手的箭靶不同，烏龜在這段時間里也在前行，盡管它的速度不如阿喀琉斯快，但后者又得再次跑過兩者新隔間距的一半……也就是說，阿喀琉斯追上烏龜?shù)碾y度大于箭矢擊中箭靶的難度，因為箭靶是靜止不動的。不過，同樣地，即使身著沉重的鎧甲，但一個高大魁梧的年輕人無力追趕世界上行動zui遲緩的動物之一，這樣的事我們卻從來沒有見過……這種悖論可能會使人們對數(shù)學(xué)對象與現(xiàn)實世界之間的關(guān)系產(chǎn)生懷疑。數(shù)學(xué)層面上得出的結(jié)論怎么會與現(xiàn)實情況如此大相徑庭呢？ 由此，芝諾提出了龜兔賽跑（關(guān)于追趕烏龜這件事，差別都不會太大）的問題，這個問題使整個古希臘時期的數(shù)學(xué)研究陷入困惑之中，并且這種困惑持續(xù)了很長一段時間。數(shù)個世紀(jì)之后，人們才發(fā)現(xiàn)這是無窮玩的鬼把戲！ 問題的答案來自對級數(shù)[ 級數(shù)：在數(shù)學(xué)中，一個有窮或無窮的序列的和稱為級數(shù)。如果序列是有窮序列，其和稱為有窮級數(shù)；反之，稱為無窮級數(shù) ( 一般簡稱為級數(shù) )。]的研究。自古希臘時期以來，人們便對級數(shù)有所研究，從中世紀(jì)末期開始，對這一課題的研究變得如火如荼。我們可以將芝諾悖論概括為一個形式非常簡單的級數(shù)，即：1/2 ＋ 1/4 ＋ 1/8 ＋1/16 ＋ 1/32，以此類推。 不過，當(dāng)級數(shù)如此延長至無窮時，會出現(xiàn)兩種相反的行為。當(dāng)發(fā)散級數(shù)相加元素的個數(shù)趨向于無窮時，不出所料，該級數(shù)也會趨向于無窮（比如 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋…或者 1/1 ＋ 1/2 ＋ 1/3 ＋ 1/4 ＋…；后者被稱為“調(diào)和級數(shù)”）。然而，除了發(fā)散級數(shù)之外，還存在收斂級數(shù)，而后者的得數(shù)則更加令人震驚：當(dāng)相加元素的個數(shù)趨向于無窮時，它們的和卻趨向于一個有限的數(shù)！在芝諾之箭的例子——阿喀琉斯與烏龜?shù)睦右彩且粯，只是由于需要考慮烏龜每一次比阿喀琉斯多走的距離，因此公式要稍微復(fù)雜一些——中，得數(shù)正好為 1，相當(dāng)于箭矢需要飛過的整段距離！而解開芝諾悖論（或矛盾）的鑰匙就在于：即使這個運動的過程被分成了無限步，但我們是能夠在一段有限的時間內(nèi)走完一段有限的距離的。而這便是數(shù)學(xué)的狡黠之美：在經(jīng)過了數(shù)個世紀(jì)的思考和計算后，人們成功證明了在常識上看來顯而易見的事物在數(shù)學(xué)“表達”中卻會引起質(zhì)疑。 你方才可能已經(jīng)注意到，當(dāng)我們在使用無窮的概念時，必須采用一個特殊的詞匯。一個級數(shù)不能“達到”無窮，但可以說它“趨向”于無窮，并且該級數(shù)的量也會“趨向”于某一有限或無限的給定值。 另一種空間觀 拓撲學(xué)是數(shù)學(xué)中zui為復(fù)雜也zui不為“外行人”所了解的分支之一——一般來說，在進入高等學(xué)校學(xué)習(xí)之前都不教授。盡管如此，拓撲學(xué)的基本原理從表面上看是很簡單的。作為新近出現(xiàn)的一門學(xué)科，它提供了另一種看待空間與形狀的視角，一種與一般幾何學(xué)不同的視角。拓撲學(xué)既不關(guān)心角度或線段的測量，也不關(guān)心面積或體積的計算。它的研究方法不再是定量的，而是定性的——但這并不妨礙我們使用算術(shù)，而且還是異常艱深的算術(shù)。 舉個例子，對拓撲學(xué)來說，所有多面體——由平面組成的立體——無論規(guī)則與否，都是一樣的，就算是球體也不例外。除了都是三維立體外，它們還有什么共同點呢？別找了，這不是什么圈套：它們都沒有洞！你說的顯而易見，我親愛的龐加萊？然而，還要再等大約一個世紀(jì)，歷經(jīng)堪比連載小說劇情的種種波折后，人們才得以證明拓撲學(xué)的關(guān)鍵定理之一。 不信你去問問某個叫作佩雷爾曼（Perelman）的人……如果你能聯(lián)系到他的話！ 清晨的拓撲學(xué) 在一頭扎進曲折蜿蜒的拓撲學(xué)之前，讓我們先回顧一下我們的晨間思考：所有“實心”立體都是相同的。同理，在拓撲學(xué)意義上，甜甜圈和帶把的杯子也是等價的圖形。我們稱它們是“同胚的”，因為它們都只有一個洞——就馬克杯而言，這個洞指的是杯子的把手，倒咖啡的杯口不是一個洞，因為它的兩頭是貫通的。一般來說，在拓撲學(xué)上，如果我們能通過拉伸或變形將一個圖形變?yōu)榱硪粋圖形，我們就認為這兩個圖形是同類的，但前提是不去“打碎”或“刺破”它們。我們可以將這些經(jīng)拓撲學(xué)“批準(zhǔn)”的變換——不會改變物體的“類別”——想象成對橡皮泥（在某些“扭曲”的情況下，它必須特別柔軟、特別有彈性）的塑形，而這是在橡皮泥未被拉斷、切開、刺破或者粘補的情況下發(fā)生的。 現(xiàn)在我們就能理解，不管是金字塔還是球體，不管是多面體還是橢圓體，它們之間并沒有區(qū)別，就像馬克杯和甜甜圈一樣，在拓撲學(xué)中，它們是一種圖形的兩種變體，而我們將這種圖形稱為“環(huán)面”。在拓撲學(xué)下，我們擺弄著橡皮泥，將看起來相差十萬八千里的物體聯(lián)系在一起。然而，這一怪異的幾何分支，這一奇特異常的學(xué)科從何而來，又有何意義呢？ 拓撲學(xué)的誕生：無法走過的“哥尼斯堡橋” 哥尼斯堡市（Ko?nigsberg）現(xiàn)稱加里寧格勒市（Kaliningrad），它位于俄羅斯在波蘭與立陶宛之間的一塊飛地[ 一種特殊的地理現(xiàn)象，指隸屬于某一行政區(qū)（或某國）管轄但不與本區(qū)毗連的土地。]之上，在第二次世界大戰(zhàn)結(jié)束前，曾是東普魯士的首都。 zui偉大的數(shù)學(xué)天才之一大衛(wèi)·希爾伯特便出生于此。 另外，著名哲學(xué)家、《純粹理性批判》（Critique de la raison pure）的作者伊曼努爾·康德（Emmanuel Kant，1724—1804）也在這里度過了他的一生。 康德經(jīng)常在哥尼斯堡市的大街上徜徉，就像時鐘一樣準(zhǔn)時。然而，在他開始散步的幾年之前，拓撲學(xué)也在此地誕生，雖然只是間接性的。 哥尼斯堡確實是一個旅游勝地：穿城而過的普列戈利亞河（Pregolia）將哥尼斯堡分成了兩岸，城市中心矗立著兩座島嶼，河岸與島嶼通過七座橋相互連接。這樣的結(jié)構(gòu)給人帶來了一個小小的挑戰(zhàn)：如何在不走回頭路的情況下走遍所有的橋，前提是每座橋只能經(jīng)過一次，并且有必要的話，還要多次經(jīng)過相同的島嶼或碼頭？ 這個趣味性的問題演變成了一道看似無法解決的數(shù)學(xué)難題，并且一開始并沒有多大意義。不過，正是這粒微不足道的種子促使了現(xiàn)代數(shù)學(xué)中某些zui為重大的進步。必須說的是，在當(dāng)時——18 世紀(jì)初——一位來自瑞士的巨匠萊昂哈德·歐拉就已經(jīng)開始致力于解決這個問題了。 萊昂哈德·歐拉：一位天才般的獨眼巨人 歐拉是伯努利家族——赫爾維蒂[ 即赫爾維蒂共和國，是通過法國大革命在瑞士邦聯(lián)的領(lǐng)域上創(chuàng)建的一個自治共和國。 1798 年 4 月 12 日赫爾維蒂共和國成立，1803 年 3 月 10 日解散。在瑞士歷史中這段時間瑞 士被稱為赫爾維蒂。]一個名副其實的數(shù)學(xué)及物理學(xué)世家——的寵兒，也是圣彼得堡科學(xué)院及柏林科學(xué)院（當(dāng)時zui負盛名的兩所科學(xué)院）中的杰出人物。同時，歐拉還是歷史上zui多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家之一，或許也是各個學(xué)科領(lǐng)域zui為活躍的科學(xué)家之一。如果說他的成就之多令人難以想象，那么他所做出的貢獻不管是從質(zhì)量、數(shù)量還是豐富程度上看都同樣引人注目。作為牧師之子——同許多數(shù)學(xué)家一樣，尤其是德語世界的數(shù)學(xué)家——歐拉還是一位虔誠的基督教徒，在滿是不信教者的啟蒙時代中孑然一身。盡管如此，他還是對啟蒙運動做出了巨大的貢獻！許多由歐拉發(fā)明的符號直到今天仍在使用當(dāng)中——要知道，數(shù)學(xué)書寫規(guī)范有著重大的意義！同時，他還為微積分計算提供了一個堅實而嚴(yán)密的架構(gòu)，此前，萊布尼茨與牛頓已經(jīng)奠定了微積分計算的基礎(chǔ)。 歐拉職業(yè)生涯的大部分時光都是在圣彼得堡科學(xué)院及柏林科學(xué)院中度過的。在柏林科學(xué)院，歐拉不得不與腓特烈二世（Frédédric Ⅱ）的暴躁性格做斗爭。腓特烈二世是普魯士的國王，也是一位踐行開明專制主義[ 開明專制主義：（英語：enlightened despotism），也稱為開明絕對主義（英語：enlightened absolutism），或仁慈的專制主義（英語：benevolent despotism），是專制主義或絕對君主制的一種形式，由歐洲啟蒙運動思想家所提倡。在思想上否定君權(quán)神授，認為人民應(yīng)該服從君王命令或法律而并非君王本身。除普魯士王國國王腓特烈二世外，代表人物還有神圣羅馬帝國皇帝約瑟夫二世和俄羅斯帝國女皇葉卡捷琳娜二世等。]的君主，他似乎對“他的”科學(xué)家使他相形見絀的事實感到不滿。在與伏爾泰（Voltaire）的通信中，這位普魯士統(tǒng)治者戲稱歐拉為“數(shù)學(xué)獨眼巨人”，這是對他身患殘疾的惡意暗示：一次眼部感染使歐拉的一只眼睛失明，那時他才 28 歲。64 歲時，也就是他去世前 12 年，歐拉徹底失明。不過，視力的喪失并未妨礙他繼續(xù)工作，他的研究動力依然持續(xù)不減：憑著超人般的心算能力，他仍然通過口述完成了大量的作品。 為了解決這個被稱為“哥尼斯堡橋”[ 著名的“七橋問題”。]的問題，歐拉使用了一種極端的方法：去掉所有無用的信息，將兩座島、河的兩岸以及七座橋簡化成zui簡單的形式。他先是將島與河岸簡化成了四個點——因為一旦我們到達了某片區(qū)域（橋或碼頭），接下來從哪座橋上通過就成了唯一的關(guān)鍵——再把七座橋簡化成這些點之間的連線。這種將路徑簡化并圖解化到極致的方法催生了“圖論”，同時也標(biāo)志著拓撲學(xué)的開端（見圖 10）。 1736 年，歐拉發(fā)表了一篇名為《關(guān)于位置幾何問題的解法》（Solution d’un problème appartenanta la géométrie de position） 的 論 文， 他 并 不 滿足于挑戰(zhàn)“哥尼斯堡橋”問題，因為這個問題的意義本身就十分有限。他同時還提出了一個能夠解決所有這類問題——比如路線優(yōu)化問題——的公式，而這個公式也成為圖論建立的基礎(chǔ)。 對于任何一張與“哥尼斯堡橋”問題相類似的圖，我們都將其中的點稱為“節(jié)點”或“頂點”，將點之間的連線稱為“邊”或“線”。歐拉的結(jié)論或許會讓你感到失望：他通過圖論得出，夢想中的路線并不存在，在每座橋只取道一次的情況下遍歷七座橋是不可能做到的。每條邊都通過且僅通過一次的路徑被稱作“歐拉路徑”；如果一條路徑能滿足哥尼斯堡散步者的心愿，在滿足上述條件的同時還能返回起點——不好意思，應(yīng)該是它的起始“節(jié)點”——那么這條路徑就是“歐拉回路”。不過，歐拉指出，要想實現(xiàn)一條這樣的路徑，一張圖就不能包含哪怕一個奇度數(shù)節(jié)點，也就是說，不能有一個節(jié)點與奇數(shù)條的邊相連。在“哥尼斯堡橋”問題的例子中，四個頂點（兩座島與河的兩岸）均與奇數(shù)座橋（也就是“邊”）相連——兩座島的其中一座與五座橋相連，另一座與三座橋相連，河的兩岸也分別與三座橋相連。夢想中的“哥尼斯堡橋”漫步確實是水月鏡花！ 但在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，像這樣靠證明某事不可行而取勝的情況并不少見，因為讓數(shù)學(xué)家感到滿足的不是說“我通通試過了，但一無所獲”，而是“盡管嘗試吧，這永遠都不可能”！歐拉的非凡之處不在于承認自己求解“哥尼斯堡橋”問題失敗，而在于他為這個問題給出了一個形式邏輯化的證明，由此開創(chuàng)了一門新的數(shù)學(xué)分支。還不賴吧？但對歐拉來說，這還不夠，他可不是一個會半途而廢的人。
數(shù)學(xué)的秘密/【法】伊萬?柯里奧 作者簡介
伊萬 ? 柯里奧 伊萬·柯里奧（Ivan Kiriow）生于法國，擁有科學(xué)博士學(xué)位。他還是科學(xué)雜志的記者，熱衷于與廣大公眾交流科學(xué)精華。其著作《數(shù)學(xué)的秘密》由世界百科全書出版業(yè)的巨頭法國拉魯斯出版社出版，上市后收到很不錯的反響。
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