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幻方與素數:娛樂數學兩大經典名題(修訂版) 版權信息
- ISBN：9787030435712
- 條形碼：9787030435712 ; 978-7-03-043571-2
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
幻方與素數:娛樂數學兩大經典名題(修訂版) 內容簡介
本書是《好玩的數學》叢書中的一冊，分為概率論、數理統計、隨機過程三部分。數學的好玩之處，并不限于數學游戲。數學中有些極具實用意義的內容，包含了深刻的奧妙，發人深思，使人驚訝。本書是《好玩的數學》叢書中的一冊，分為概率論、數理統計、隨機過程三部分。數學的好玩之處，并不限于數學游戲。數學中有些極具實用意義的內容，包含了深刻的奧妙，發人深思，使人驚訝。
幻方與素數:娛樂數學兩大經典名題(修訂版) 目錄
目錄
叢書修訂版前言
**版總序
第四版說明
第三版說明
第二版說明
**版前言
**部分 百變幻方——娛樂數學**名題
引子 洛水神龜獻奇圖 2
01 有關幻方的傳聞趣事 10
1.1 宇宙飛船上的搭載物 10
1.2 南宋楊輝——研究幻方**人 11
1.3 楊輝4階幻方中的奧秘 23
1.4 出土文物中的阿拉伯幻方 32
1.5 歐洲的“幻方熱”和名畫“憂傷”中的幻方 34
1.6 富蘭克林的神奇幻方 38
02 怎樣構造幻方 46
2.1 連續擺數法（暹羅法） 46
2.2 階梯法（樓梯法） 49
2.3 奇偶數分開的菱形法 49
2.4 對稱法 51
2.5 對角線法 52
2.6 比例放大法 53
2.7 斯特雷奇法 54
2.8 LUX法 56
2.9 拉伊爾法（基方、根方合成法） 57
2.10 鑲邊法 59
2.11 相乘法 61
2.12 幻方模式 62
03 幻方數量知多少 64
3.1.3 階幻方的數量 64
3.2 4 階幻方的數量 65
3.3 5 階幻方的數量 66
04 “幻中之幻” 68
4.1 對稱幻方 68
4.2 泛對角線幻方 68
4.3 棋盤上的幻方 73
4.4 親子幻方 77
4.5 奇偶數分居的對稱鑲邊幻方 78
4.6 T形幻方 79
05 非正規幻方 80
5.1 普朗克幻方 80
5.2 合數幻方 81
5.3 乘幻方及其他 82
06 幻方的變形 86
6.1 楊輝的幻圓 86
6.2 對楊輝變形幻方的發展 91
6.3 中世紀印度的幻圓和魔蓮花寶座 99
6.4 富蘭克林的八輪幻圓 101
6.5 幻星 105
6.6 幻矩形 108
6.7 魔蜂窩 110
6.8 幻環 112
07 進一步的“幻中之幻” 115
7.1 雙幻方 115
7.2 幻立方（魔方） 118
7.3 四維魔方 124
7.4 —些奇特的魔幻方 125
第二部分 娛樂數學另一經典名題——素數
08 素數之謎 133
8.1 素數的無限性及其證明 133
8.2 有沒有素數的一般表達式 134
8.3 表達素數的函數 137
8.4 怎樣判定大素數 138
8.5 某范圍內素數知多少 139
8.6 梅森素數-*大素數的表示形式 141
8.7 *大素數有多大 14 8
09 素數奇趣 150
9.1 由順（逆）序數字組成的素數 150
9.2 回文素數 150
9.3 可逆素數 153
9.4 “雙胞胎”和“三胞胎”素數 155
9.5 形成級數的素數 157
9.6 “清一色”和“近乎清一色”的素數 158
9.7 素數與π及其他 159
9.8 —些素數倒數的特殊性質 161
9.9 素數分布的有趣圖案 170
9.10 高斯素數和艾森斯坦素數 173
10 素數和完美數 176
10.1 求完美數的公式 176
10.2 完美數與梅森素數 177
10.3 完美數的一些特征 177
10.4 多倍完美數 179
10.5 另一種完美 180
11 素數和親和數 181
11.1 什么叫親和數？ 181
11.2 產生親和數的公式 182
11.3 親和數鏈 184
12 素數和幻方 185
12.1 素數幻方 185
12.2 科藝幻方 189
部分習題、問題答案 192
參考文獻 196
數學網站 198
叢書修訂版前言
**版總序
第四版說明
第三版說明
第二版說明
**版前言
**部分 百變幻方——娛樂數學**名題
引子 洛水神龜獻奇圖 2
01 有關幻方的傳聞趣事 10
1.1 宇宙飛船上的搭載物 10
1.2 南宋楊輝——研究幻方**人 11
1.3 楊輝4階幻方中的奧秘 23
1.4 出土文物中的阿拉伯幻方 32
1.5 歐洲的“幻方熱”和名畫“憂傷”中的幻方 34
1.6 富蘭克林的神奇幻方 38
02 怎樣構造幻方 46
2.1 連續擺數法（暹羅法） 46
2.2 階梯法（樓梯法） 49
2.3 奇偶數分開的菱形法 49
2.4 對稱法 51
2.5 對角線法 52
2.6 比例放大法 53
2.7 斯特雷奇法 54
2.8 LUX法 56
2.9 拉伊爾法（基方、根方合成法） 57
2.10 鑲邊法 59
2.11 相乘法 61
2.12 幻方模式 62
03 幻方數量知多少 64
3.1.3 階幻方的數量 64
3.2 4 階幻方的數量 65
3.3 5 階幻方的數量 66
04 “幻中之幻” 68
4.1 對稱幻方 68
4.2 泛對角線幻方 68
4.3 棋盤上的幻方 73
4.4 親子幻方 77
4.5 奇偶數分居的對稱鑲邊幻方 78
4.6 T形幻方 79
05 非正規幻方 80
5.1 普朗克幻方 80
5.2 合數幻方 81
5.3 乘幻方及其他 82
06 幻方的變形 86
6.1 楊輝的幻圓 86
6.2 對楊輝變形幻方的發展 91
6.3 中世紀印度的幻圓和魔蓮花寶座 99
6.4 富蘭克林的八輪幻圓 101
6.5 幻星 105
6.6 幻矩形 108
6.7 魔蜂窩 110
6.8 幻環 112
07 進一步的“幻中之幻” 115
7.1 雙幻方 115
7.2 幻立方（魔方） 118
7.3 四維魔方 124
7.4 —些奇特的魔幻方 125
第二部分 娛樂數學另一經典名題——素數
08 素數之謎 133
8.1 素數的無限性及其證明 133
8.2 有沒有素數的一般表達式 134
8.3 表達素數的函數 137
8.4 怎樣判定大素數 138
8.5 某范圍內素數知多少 139
8.6 梅森素數-*大素數的表示形式 141
8.7 *大素數有多大 14 8
09 素數奇趣 150
9.1 由順（逆）序數字組成的素數 150
9.2 回文素數 150
9.3 可逆素數 153
9.4 “雙胞胎”和“三胞胎”素數 155
9.5 形成級數的素數 157
9.6 “清一色”和“近乎清一色”的素數 158
9.7 素數與π及其他 159
9.8 —些素數倒數的特殊性質 161
9.9 素數分布的有趣圖案 170
9.10 高斯素數和艾森斯坦素數 173
10 素數和完美數 176
10.1 求完美數的公式 176
10.2 完美數與梅森素數 177
10.3 完美數的一些特征 177
10.4 多倍完美數 179
10.5 另一種完美 180
11 素數和親和數 181
11.1 什么叫親和數？ 181
11.2 產生親和數的公式 182
11.3 親和數鏈 184
12 素數和幻方 185
12.1 素數幻方 185
12.2 科藝幻方 189
部分習題、問題答案 192
參考文獻 196
數學網站 198
展開全部
幻方與素數:娛樂數學兩大經典名題(修訂版) 節選
**部分 百變幻方——娛樂數學**名題 本書分兩大部分，**部分專門介紹幻方，第二部分介紹素數。把幻方作為一個專題著重加以介紹，并非完全是由于筆者的偏愛，更主要的是因為幻方在娛樂數學中的地位以及它的意義實在非同一般，也因為幻方是中國人的首創，是值得中國人驕傲的。賴塞（H.J.Ryser)的名著《組合數學》（Combinatorial Mathematics)(MAA，1962)開宗明義地寫道：“組合數學，也稱為組合分析或組合學，是一門起源于古代的數學學科。據傳說，中國的大禹（約公元前2200年）在一只神龜的背上看到如下幻方，而大約公元前1100年，排列即已在中國開始萌芽 ” 幻方從中國傳到世界其他地區以后，引起廣泛的重視，一代又一代的學者對它進行不懈的研究，取得了許多成果，有關的文獻資料多不勝舉。數學家詹姆士 紐曼（JamesRoyNewman，1907～1966)在20世紀50年代編輯了一部數學文庫性質的《數學世界》（The World of Mathematics， Tempus Books，1956)，收集了數學各個分支、各個年代的名家名篇133篇，分4大卷出版。在“數學游戲與數學謎語”這部分的開頭，紐曼在介紹中提到幻方時說道：“單單是有關幻方的著作就足夠辦一個規模可觀的圖書館了（The writings on magic squares alone suffice to make a fair-sized library)。讀者在看過本書以后當會相信紐曼的這個說法是一點也不過分的，筆者專用一部分介紹幻方也是有道理的。 公元前2200年，也就是距今4300年左右，在我們中華民族祖先居住的大地上，發生了暴雨連綿、洪水泛濫、成千上萬的人遭到沒頂之災的大悲劇。當時人類抵御自然災害的能力十分有限。在拯救自身生命的強烈愿望驅使下，人們奮起抗災，在斗爭和失敗中學習，涌現出了許多可歌可泣的故事，其中大家*熟悉的是大禹為治水三過家門而不人的事跡。在大禹治水的過程中，還有許多美麗、動人的傳說。例如，相傳大禹在治黃河的時候，黃河龍馬獻給大禹一張河圖，從而幫助大禹制定了一套正確的治黃方案。另一則傳說是大禹在治洛水的時候，洛水神龜獻給大禹一本洛書，書中有如圖0-1所示的一幅奇怪的圖。這幅圖用今天的數學符號翻譯出來，就是一個3階幻方，也就是在3×3的方陣中填人1～9，其每行、每列和2條對角線上3個數字之和都相等，等于15，并把它叫做幻方常數(magic square constant)或幻和(magic sum)。這就是中國人首先發現的世界**個幻方。別小看了這個小小的幻方，這是中國人在數學上的一個偉大創造，它奠定了數學中一個重要分支——組合學的基礎。當然，由于當時還沒有發明我們今天所使用的數字符號，所以我們的祖先就巧妙地用這個圖來表達他們所知道的幻方。圖中，奇數用若干個空心的圓圈表示，偶數用若干個實心的圓圈表示，這和中國古時的陰陽學說有關。 由于作為洛書3階幻方基礎的九宮數字“二九四，七五三，六一八”在公元80年出版的古書《大戴禮記》卷八《明堂篇》中就有清清楚楚的記載，因此，中國人首先發現了幻方，是國際數學界公認的。但是，幻方到底是什么時候出現的，有沒有實物為證？這個問題卻長期得不到解決，直到20世紀70年代的一個考古發現才*終給出了答案。 圖0-1 洛書上的3階幻方 1977年春，安徽省阜陽縣（現改為“阜陽市”）城郊的農民在雙古堆平整土地時，發現了兩座古墓。文物工作者發掘后證明這是西漢汝陰侯的墓葬。汝陰侯是漢高帝劉邦對其同鄉的功臣夏侯嬰的封號。墓主人是第二代汝陰侯夏侯灶及其妻子。據史書記載，夏侯灶死于漢文帝15年，即公元前165年，距今已2170多年。出土文物中包括3件極為珍貴的中國古代天文儀器，其中一件叫“太乙九宮占盤”，是用來占卦的盤，分上盤和下盤兩部分，上盤嵌入下盤的凹槽，可以隨意轉動，如圖0-2(a)所示。將盤上的古漢字轉寫成現代漢字以后如圖0-2(b)。由圖可見，太乙九宮占盤正面是按八卦位置和金、木、水、火、土五行屬性排列的，其九宮名稱和各宮節氣的天數與古書《靈樞經》（這是《黃帝內經》的重要組成部分，是中國*早研究天氣變化與人體關系，以占風候，治疾病的古書）完全一致。這個占盤就是用來測算立春、春分、立夏、夏至、立秋、秋分、立冬、冬至這個節氣的，說明我們的祖先很早就掌握了季節變化的規律，這里我們不加詳述，感興趣的讀者可參閱《考古》1978年5月號上殷非的文章“西漢汝陰侯墓出土的占盤和天文儀器”。我們感興趣的是盤上圓圈中8個方位上的數字如果補上中心因安裝轉軸而無法刻上的“5”的話，恰為九宮數字“四九二，三五七，八一六”！因此，我國數學史專家梁宗巨先生在其遺作《世界數學通史》（遼寧教育出版社，2005)中認定這是一個3階幻方的實物。根據盤上刻的該盤的制作年代“第三七年辛酉目中冬至”的字樣，專家已確切地考證出這是漢文帝7年（也就是公元前173年），因此幻方在中國的出現已有2180年以上的歷史，比根據《大戴禮記》的推算提前了兩個半世紀（但不知什么原因，梁先生書上只說提前了一個半世紀）。幻方后來陸續傳播到日本、朝鮮、印度、泰國、阿拉伯等地，引起廣泛興趣和重視。但根據史料記載，國外*早研究幻方的學者當推阿拉伯的塔比 伊本 夸兒拉（Thabitibn Qurrah，826～901)，那已是公元9世紀了。至于歐洲人知道幻方就更晚了，*早是生于康斯坦丁諾普爾(Constantinople)的印度人穆曉普魯斯（Manuel Moschopulus)首先在15世紀把幻方介紹到歐洲去的。 圖0-2 太乙九宮占盤 在中國古代，洛書3階幻方被蒙上了一層厚厚的神秘色彩。周朝的易學家把它同“九宮說”等同起來（九宮指乾、坎、艮、震、巽、離、坤、兌八卦之宮，外加中央之宮，合稱九宮），或者把它同他們所主張的“天地生成數說”聯系起來（天數指奇數1、3、5、7、9，表陽、乾、天等；地數指2、4、6、8，表陰、坤、地等）。而兩漢時的巫師或方士則把它用作占卜吉兇的圖讖。在我國西藏地區，過去藏民普遍攜帶的一種護身符如圖0-3所示，除了有黃道十二宮和八卦以外，中央就是一個用藏文數字表示的3階幻方。此外，初版于1923年的《數學史》(D. E. Smith： History of Mathematics)中，轉載了拉薩出版物中一*幅名為“生命之輪”（Wheel of Life)的畫，如圖0-4所示，也有類似的，但宗教色彩更濃厚，內容更豐富的圖案，其中央也是一個3階幻方。另一方面，由于洛書3階幻方配置9個數字的均衡性和完美性，產生了極大的審美效果"使古人認為其中包含了某種至高無上的原則，也把它作為治國安民九類大法的模式，或把它視為舉行國事大典的明堂的格局，因此使中國古人的這一數學杰作，具有哲學意義的創造。 圖0-3 藏民的護身符 圖0-4 “生命之輪” 事實上，隱藏在洛書3階幻方背后，還可能有許多奧秘有待人們去挖掘。我國著名的科普作家兼娛樂數學專家談祥柏先生就曾在他的著作中介紹了有關對洛書3階幻方的新發現。首先是把幻方想象為畫在汽車輪胎上，于是，*左一列與*右一列相鄰，*上一行與*下一行也相鄰。這時，9個2X2方陣中的4數之和恰好從16到24，既不重復也不遺漏，如圖0-5所示。你說奇不奇？ 其次，把每列數字看成一個3位數，則此3個3位數之和與其3個逆轉3位數之和相等，而且取它們的平方和也相等，即276+951+438=672+159+834=16652762+9512+4382=6722+1592+8342=1172421不僅如此，這種性質對行來說也成立，即 492+357+816=294+753+618=1665 4922+3572+8162=2942+7532+6182=1035369 圖0-5洛書3階幻方9個2 X 2方陣形成連續數列 更有甚者，如果我們把對角線也分成兩族，自左上角到右下角的主對角線及與它平行的兩條折對角線稱為主族，反方向的對角線稱為副族，則上述奇妙性質依然成立，即 主對角線族：654+798+213=456+897+312=1665 6542+7982+2132=4562+8972+3122=1109889 副對角線族：258+714+693=852+417+396=1665
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