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數(shù)學(xué)物理方程爆破解的數(shù)值診斷方法 版權(quán)信息
- ISBN：9787030717856
- 條形碼：9787030717856 ; 978-7-03-071785-6
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數(shù)：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
數(shù)學(xué)物理方程爆破解的數(shù)值診斷方法 內(nèi)容簡介
本書概述了數(shù)學(xué)物理微分方程模型中爆破解的數(shù)值診斷方法，著重研究如下兩方面內(nèi)容：①如何以可接受的精度獲得接近爆破時間的近似數(shù)值解；②獲得解的爆破時間的分析估計值，并以數(shù)值方式獲得特定模型的爆破時間的特定值.本書基于Richardson對有效精度階數(shù)的估計，研究了用于診斷數(shù)學(xué)物理方程爆破解的一類通用數(shù)值方法，并將該方法應(yīng)用于各類常微分方程和偏微分方程.本書所有的例子都配有MatLab代碼.其主要目的是為讀者提供一個工具包，使他們能夠高效地應(yīng)用所提供的方法（包括軟件包)來解決科學(xué)工作中出現(xiàn)的其他實際問題.本書可作為應(yīng)用數(shù)學(xué)、計算物理及相關(guān)專業(yè)高年級本科生或研究生的教材使用，也可作為相關(guān)專業(yè)科研工作者的參考資料.
數(shù)學(xué)物理方程爆破解的數(shù)值診斷方法 目錄
目錄
前言
第1章 一階常微分方程柯西問題爆破解的診斷 1
1.1 數(shù)值解的搜尋 2
1.2 解的爆破現(xiàn)象的數(shù)值分析 5
第2章 偽拋物線型偏微分方程邊界問題的解的爆破分析 16
2.1 數(shù)值解的尋找 16
2.2 數(shù)值計算的優(yōu)化 24
2.3 以程序代碼形式實現(xiàn)數(shù)值算法的正確性檢驗 28
2.4 爆破解的數(shù)值判斷 32
第3章 偽雙曲型偏微分方程初邊值問題的爆破解的診斷 45
3.1 數(shù)值解的尋找 45
3.2 數(shù)值計算的優(yōu)化 55
3.2.1 退化高斯法的使用 56
3.2.2 稀疏矩陣的使用 61
3.3 解的爆破現(xiàn)象的數(shù)值分析 64
3.4 構(gòu)建時間精度為二階的算法 72
第4章 具有空間變量的高階導(dǎo)數(shù)微積分方程初邊值問題的爆破解分析 80
4.1 尋找數(shù)值解 80
4.2 爆破解數(shù)值分析 91
4.2.1 提高算法精度的有效階的示例 94
4.2.2 降低算法精度的有效階的示例 100
4.3 附錄: 高階導(dǎo)數(shù)的近似 103
第5章 定義在無界域的三維偏微分方程問題的爆破解診斷 105
5.1 尋找數(shù)值解 105
5.2 爆破解的數(shù)值診斷 118
5.3 附錄 1: 生成準(zhǔn)均勻網(wǎng)格的變換 123
5.4 附錄 2: 準(zhǔn)均勻網(wǎng)格上的導(dǎo)數(shù)逼近 128
參考文獻 130
前言
第1章 一階常微分方程柯西問題爆破解的診斷 1
1.1 數(shù)值解的搜尋 2
1.2 解的爆破現(xiàn)象的數(shù)值分析 5
第2章 偽拋物線型偏微分方程邊界問題的解的爆破分析 16
2.1 數(shù)值解的尋找 16
2.2 數(shù)值計算的優(yōu)化 24
2.3 以程序代碼形式實現(xiàn)數(shù)值算法的正確性檢驗 28
2.4 爆破解的數(shù)值判斷 32
第3章 偽雙曲型偏微分方程初邊值問題的爆破解的診斷 45
3.1 數(shù)值解的尋找 45
3.2 數(shù)值計算的優(yōu)化 55
3.2.1 退化高斯法的使用 56
3.2.2 稀疏矩陣的使用 61
3.3 解的爆破現(xiàn)象的數(shù)值分析 64
3.4 構(gòu)建時間精度為二階的算法 72
第4章 具有空間變量的高階導(dǎo)數(shù)微積分方程初邊值問題的爆破解分析 80
4.1 尋找數(shù)值解 80
4.2 爆破解數(shù)值分析 91
4.2.1 提高算法精度的有效階的示例 94
4.2.2 降低算法精度的有效階的示例 100
4.3 附錄: 高階導(dǎo)數(shù)的近似 103
第5章 定義在無界域的三維偏微分方程問題的爆破解診斷 105
5.1 尋找數(shù)值解 105
5.2 爆破解的數(shù)值診斷 118
5.3 附錄 1: 生成準(zhǔn)均勻網(wǎng)格的變換 123
5.4 附錄 2: 準(zhǔn)均勻網(wǎng)格上的導(dǎo)數(shù)逼近 128
參考文獻 130
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數(shù)學(xué)物理方程爆破解的數(shù)值診斷方法 節(jié)選
第1章一階常微分方程柯西問題爆破解的診斷 在這一章，我們通過一個具體的例子來介紹我們所關(guān)心的數(shù)學(xué)問題.考慮如下一階常微分方程的柯西問題(它是化學(xué)動力學(xué)中一個簡單的熱傳導(dǎo)模型): (1.0.1) 為了確定起見，我們代入以下參數(shù): (1.0.2) 可以驗證，函數(shù) (1.0.3) 是問題(1.0.1)–(1.0.2)的一個解.我們將函數(shù)(1.0.3)(其中參數(shù)u0的取值見(1.0.2))在圖1.1中畫出.可以看出，函數(shù)(1.0.3)在有限的時間內(nèi)(在t=1內(nèi))趨向了無窮，并且在t=1點沒有定義.但是我們認(rèn)定柯西問題的解是定義在連通集合(一段區(qū)間)內(nèi)的函數(shù)，所以問題(1.0.1)的解是函數(shù)(1.0.3)限制于t∈[0，1)時的部分.對于此類情形，我們說方程的解經(jīng)歷了爆破(blow-up). 需要注意的是，在大部分自然科學(xué)領(lǐng)域的實際問題中，某個參數(shù)在有限的時間里趨向正無窮的情形是不可能存在的.而這個參數(shù)可能在相應(yīng)的簡化的數(shù)學(xué)模型中的解中趨向無窮.在這種情況下，我們可以認(rèn)為真實問題超出了簡化數(shù)學(xué)模型的可應(yīng)用范圍.例如，在化學(xué)反應(yīng)的熱傳導(dǎo)問題中，只有在無限多的反應(yīng)物集中在相當(dāng)小的體積的假設(shè)下，才有可能在t=1附近達到無窮.顯然，這種情況在實際中是不會遇到的，因為反應(yīng)物的量總是有限的，這會*終導(dǎo)致反應(yīng)的停止，以及在某個固定的小于1的時間點t時停止放熱(在這種情況下，總放熱量是有限的).因此，如果我們弄清所考慮物理問題的合理模型，并同時考慮到守恒定律和反應(yīng)傳播速率，那么所得的數(shù)學(xué)模型將給出從起始時間點開始都存在的解.但是，在實際情形中精確模型的構(gòu)造(由于物理過程的復(fù)雜性，缺乏準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)等等)或者甚至是數(shù)值解的求解(由于方程式的極端復(fù)雜性)都可能是無法實現(xiàn)的.因此，它們通常僅限于描述過程特征的簡化模型.近似模型中的解趨向于無窮可能對應(yīng)真實的爆炸(非常大的熱量釋放). 但即使簡化后的模型也十分復(fù)雜，以至于解決它們的唯一有效方法就是使用數(shù)值方法獲得近似數(shù)值解.對于任意t的取值都存在數(shù)值解(對于適當(dāng)近似值的選擇可以查閱1.2節(jié)的備注2).我們以研究過的標(biāo)準(zhǔn)模型(1.0.1)–(1.0.2)為例進行演示. 圖1.1滿足方程(1.0.1)和參數(shù)集合(1.0.2)的函數(shù). 在陰影線表示的區(qū)域里函數(shù)u(t)不是相應(yīng)的柯西問題的解 1.1數(shù)值解的搜尋 將問題(1.0.1)改寫為以下形式 (1.1.1) 此處f(u)=u2. 引入對于時間t的等長區(qū)間TM，間隔大小為.注意到，這個區(qū)間有M+1個節(jié)點，或者等效地，M個小間隔.在網(wǎng)格TM的節(jié)點處引入函數(shù)u(t)的網(wǎng)格值. 對于自治系統(tǒng)(1.1.1)寫出單階段Rosenbrock算法群ROS1[16，22–24] 這里w1定義于方程 (1.1.2) 這里a11是定義算法性質(zhì)的參數(shù)(關(guān)于這一點的詳細(xì)內(nèi)容請看文獻[16，Chapter1，Section1.2.3]).特別地，對于a11=0，算法(1.1.2)退化為一個明確的單階段Runge-Kutta算法ERK1(歐拉算法);當(dāng)a11=1時，退化為反歐拉算法DIRK1;當(dāng)a11=1/2時，退化為“半隱式”算法;當(dāng)a11=(1+i)/2時，退化為帶復(fù)系數(shù)的單階段Rosenbrock算法CROS1. 以下是MatLab函數(shù)的示例，該函數(shù)根據(jù)算法(1.1.2)實現(xiàn)對問題(1.1.1)的數(shù)值求解. 說明需要注意的是，當(dāng)訪問向量u和t的分量時，所有的索引需要位移+1位(與上述解析公式相比)，因為在MatLab中數(shù)組元素的編號從1開始(因此). 下面，我們給出可以運行函數(shù)“ODESolving”和展示結(jié)果的代碼. 上述程序?qū)?shù)a11進行不同的取值，其結(jié)果(對測試問題(1.0.1)–(1.0.2)進行求解)展示在圖1.2中. 由圖1.2可以發(fā)現(xiàn)，對于所有的取值都存在一個數(shù)值解.因此出現(xiàn)了一個自然的問題:如何分析確定解爆破的事實并確定哪個數(shù)值解是可信的，而哪些不能？對于那些無法求出解析解的復(fù)雜方程，這個問題尤為重要.接下來我們將詳細(xì)研究這個問題. 圖1.2在相同的時間網(wǎng)格M=50運行算法(1.1.2)，以及通過對參數(shù)a11進行不同的取值，對測試問題(1.0.1)–(1.0.2)求解的結(jié)果 1.2解的爆破現(xiàn)象的數(shù)值分析 我們在此書中討論的解的爆破現(xiàn)象的數(shù)值分析方法基于誤差的后驗漸近精確估計的計算(見[16，第2章]). 假設(shè)我們通過使用對時間t均分網(wǎng)格TM，步長為的p階精確算法已經(jīng)找到了柯西問題(1.0.1)的網(wǎng)格數(shù)值解.這意味著，對于所有的節(jié)點t∈TM都成立等式 (1.2.1) 這里的上標(biāo)(M)表示對應(yīng)于M個時間網(wǎng)格的數(shù)值解u(M)(t). 現(xiàn)在我們將等式(1.2.1)寫成以下形式 (1.2.2) 在上式中，我們將近似解u(t)的誤差u(t)-u(M)(t)的泰勒級數(shù)的首項提取出來.這里我們假設(shè)存在相應(yīng)的連續(xù)導(dǎo)數(shù). 假設(shè)我們通過已知p階精度的算法得到u(M)(t)，t∈TM(注意到區(qū)間的個數(shù)M唯一確定了網(wǎng)格步長τ).這樣，方程(1.2.2)含有兩個未知量:u(t)和c(t).為了求出這兩個未知量，我們需要兩個方程.在r倍緊密的網(wǎng)格(就是說在含有rM個區(qū)間的網(wǎng)格上進行計算)，我們可以得到第二個方程: (1.2.3) 從方程(1.2.3)中減去方程(1.2.2)可以得到c(t)的表達式: 因此， (1.2.4) 等式(1.2.4)右端的分式被稱為精確解u(t)泰勒級數(shù)的p階項的后驗漸近估計.它也是近似解u(t)的誤差u(t)-u(rM)(t)的泰勒級數(shù)的首項的后驗漸近估計. 因此， 從這里可以得出，當(dāng)τ→0時，R(rM)(t)大于誤差量u(t)-u(rM)(t)的泰勒級數(shù)中的所有其他項之和.這一項可以看作u(rM)(t)的誤差的后驗漸近估計.為簡明起見，本書將忽略O(shè)(τp+1)(但此時不要忘記相應(yīng)公式的漸近特征).即，此后我們將R(rM)(t)當(dāng)作 (1.2.5) 這就是經(jīng)典的龍格–龍貝格(Runge-Romberg)公式. 我們再在一個新網(wǎng)格上進行計算(網(wǎng)格有r2M個區(qū)間)，可以得到 注意到 (1.2.6) 通過這兩個式子的范數(shù)的關(guān)系求出精確度有效階數(shù)的表達式 (1.2.7)
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