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非一致格子超幾何方程與分數階差和分 版權信息
- ISBN：9787030709837
- 條形碼：9787030709837 ; 978-7-03-070983-7
- 裝幀：簡裝本
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
非一致格子超幾何方程與分數階差和分 內容簡介
本書主要研究非一致格子上復超幾何差分方程及非一致格子上離散分數階微積分，以及他們之間的聯(lián)系。用一些新的廣義Euler積分研究方法，建立復超幾何差分方程一個基本定理及解函數，該定理不同于Suslov基本定理，得到的解函數推廣了有名的Askey-Wilson正交多項式，為一類特殊函數發(fā)展做出了貢獻。我們還建立了Nikiforov-Uvarov-Suslov復超幾何方程的伴隨方程，證明它仍然是超幾何差分方程并求其解。建立了超幾何差分廣義Rodrigues公式等。本書還首創(chuàng)性地分別通過引入廣義冪函數的方法，以及運用推廣的Cauchy積分公式，給出非一致格子上離散分數階微積分的一些基本定義和重要性質。得到非一致格子上Abel方程的解，Euler-Beta公式模擬，非一致格子Taylor公式、Leibniz公式，以及一類非一致格子中心分數階差分方程的解。以及深入探討非一致格子超幾何差分方程的解與非一致格子離散分數階微積分之間的緊密關系，離散分數階微積分與一些特殊函數、超幾何函數之間的關系等。
非一致格子超幾何方程與分數階差和分 目錄
目錄
序
前言
第1章 超幾何型方程 1
1.1 超幾何型微分方程介紹 1
1.1.1 超幾何型多項式及 Rodrigues 公式 2
1.1.2 多項式的分類 3
1.2 離散變量的超幾何型差分方程 5
1.2.1 超幾何差分方程的性質 5
1.2.2 超幾何差分方程自伴形式 7
1.2.3 超幾何型多項式的差分模擬及Rodrigues型公式 8
1.2.4 Hahn， Chebyshev， Meixner， Kravchuk 以及Charlier 多項式 9
1.3 非一致格子的超幾何差分方程 13
1.3.1 非一致格子的由來 14
1.3.2 k 階差商滿足的方程 18
1.4 非一致格子超幾何差分方程的 Rodrigues 公式 20
1.4.1 Rodrigues 公式模擬 20
1.4.2 yn(z) 的超幾何函數表達式 22
第2章 廣義 Rodrigues 公式 26
2.1 內容介紹和安排 26
2.2 非一致格子上的差分及和分 28
2.3 Rodrigues 公式 30
2.4 τk(s)， μk 和 λn 的顯式表示 32
2.5 非一致格子上超幾何差分方程的伴隨方程 35
2.5.1 超幾何微分方程的伴隨方程 35
2.5.2 非一致格子上超幾何差分方程的伴隨方程 37
2.6 Rodrigues 公式的一個推廣 42
2.7 更一般的 Rodrigues 公式 47
第3章 非一致格子上的超幾何差分方程的解 52
3.1 超幾何微分方程的解 52
3.1.1 特定條件下解的 Rodrigues 公式 52
3.1.2 超幾何微分方程的伴隨方程 53
3.1.3 超幾何微分方程的伴隨方程特解求法 53
3.1.4 一般條件下原超幾何微分方程求解公式 55
3.2 非一致格子超幾何差分方程的解 55
3.2.1 基本概念和運算法則 56
3.2.2 特定條件下解的 Rodrigues 公式 58
3.2.3 兩個函數的推廣及廣義冪函數 59
3.2.4 一般情況下非一致格子超幾何差分方程的解 62
3.3 NUS 差分方程新的基本解 64
3.4 NUS 方程的伴隨方程 82
3.5 伴隨差分方程的特解 91
3.6 一些應用 96
3.7 結論 102
第4章 第二型非一致格子上的超幾何差分方程的解 103
4.1 第二型非一致格子上的超幾何差分方程 103
4.1.1 第二型非一致格子超幾何方程的定義 104
4.1.2 第二型超幾何方程的 Rodrigues 公式 111
4.2 一些命題和引理 113
4.3 伴隨方程 117
4.4 伴隨方程的特解 123
4.5 一些推論 131
4.6 另一種新基本解 134
第5章 向后非一致格子上的分數階差分方程 150
5.1 背景回顧及問題提出 150
5.2 非一致格子上的整數和分與整數差分 155
5.3 非一致格子上 Euler Beta 公式的模擬 159
5.4 非一致格子上的 Abel 方程及分數階差分 165
5.5 非一致格子上 Caputo 型分數階差分 167
5.6 一些應用和定理 171
5.7 非一致格子上 Riemann-Lionville 型分數階差分的復變量方法 178
5.8 非一致格子上中心分數階和分與分數階差分 187
5.9 應用: 分數階差分方程的級數解 197
第6章 向前非一致格子上的分數階微積分 201
6.1 非一致格子上的整數和分與整數差分 201
6.2 非一致格子上 Euler Beta 公式的模擬 207
6.3 非一致格子上的 Abel 方程及分數階差分 213
6.4 非一致格子上 Caputo 型分數階差分 216
6.5 一些應用和定理 220
6.6 非一致格子上 Riemann-Liouville 型分數階差分的復變量方法 227
6.7 非一致格子上中心分數階和分與分數階差分 239
6.8 應用: 分數階差分方程的級數解 250
第7章 離散分數階函數與一些特殊函數 254
7.1 經典正交多項式回顧 254
7.2 分數階函數 258
7.2.1 分數階 Hermite 函數 259
7.2.2 分數階 Laguerre 函數 260
7.2.3 分數階 Jacobi 函數 261
7.2.4 分數階 Gegenbauer 函數 263
7.2.5 分數階 Chebyshev 函數 264
7.2.6 分數階 Legendre 函數 265
7.3 Pearson 方程求解 265
7.4 離散分數階函數 269
7.4.1 分數階 Charlier 函數 269
7.4.2 分數階 Meixner 函數 270
7.4.3 分數階 Krawtchouk 函數 271
7.4.4 分數階 Hahn 函數 272
7.5 離散分數階差分與超幾何方程之間的關系 274
7.5.1 向后分數階差分形式的解 274
7.5.2 非一致格子上的分數階函數 279
7.5.3 一致格子上分數階函數與超幾何方程內在聯(lián)系 281
7.5.4 非一致格子超幾何方程向前分數階差分形式的解 283
7.5.5 非一致格子上的分數階函數 288
7.6 函數的正交性 288
參考文獻 292
序
前言
第1章 超幾何型方程 1
1.1 超幾何型微分方程介紹 1
1.1.1 超幾何型多項式及 Rodrigues 公式 2
1.1.2 多項式的分類 3
1.2 離散變量的超幾何型差分方程 5
1.2.1 超幾何差分方程的性質 5
1.2.2 超幾何差分方程自伴形式 7
1.2.3 超幾何型多項式的差分模擬及Rodrigues型公式 8
1.2.4 Hahn， Chebyshev， Meixner， Kravchuk 以及Charlier 多項式 9
1.3 非一致格子的超幾何差分方程 13
1.3.1 非一致格子的由來 14
1.3.2 k 階差商滿足的方程 18
1.4 非一致格子超幾何差分方程的 Rodrigues 公式 20
1.4.1 Rodrigues 公式模擬 20
1.4.2 yn(z) 的超幾何函數表達式 22
第2章 廣義 Rodrigues 公式 26
2.1 內容介紹和安排 26
2.2 非一致格子上的差分及和分 28
2.3 Rodrigues 公式 30
2.4 τk(s)， μk 和 λn 的顯式表示 32
2.5 非一致格子上超幾何差分方程的伴隨方程 35
2.5.1 超幾何微分方程的伴隨方程 35
2.5.2 非一致格子上超幾何差分方程的伴隨方程 37
2.6 Rodrigues 公式的一個推廣 42
2.7 更一般的 Rodrigues 公式 47
第3章 非一致格子上的超幾何差分方程的解 52
3.1 超幾何微分方程的解 52
3.1.1 特定條件下解的 Rodrigues 公式 52
3.1.2 超幾何微分方程的伴隨方程 53
3.1.3 超幾何微分方程的伴隨方程特解求法 53
3.1.4 一般條件下原超幾何微分方程求解公式 55
3.2 非一致格子超幾何差分方程的解 55
3.2.1 基本概念和運算法則 56
3.2.2 特定條件下解的 Rodrigues 公式 58
3.2.3 兩個函數的推廣及廣義冪函數 59
3.2.4 一般情況下非一致格子超幾何差分方程的解 62
3.3 NUS 差分方程新的基本解 64
3.4 NUS 方程的伴隨方程 82
3.5 伴隨差分方程的特解 91
3.6 一些應用 96
3.7 結論 102
第4章 第二型非一致格子上的超幾何差分方程的解 103
4.1 第二型非一致格子上的超幾何差分方程 103
4.1.1 第二型非一致格子超幾何方程的定義 104
4.1.2 第二型超幾何方程的 Rodrigues 公式 111
4.2 一些命題和引理 113
4.3 伴隨方程 117
4.4 伴隨方程的特解 123
4.5 一些推論 131
4.6 另一種新基本解 134
第5章 向后非一致格子上的分數階差分方程 150
5.1 背景回顧及問題提出 150
5.2 非一致格子上的整數和分與整數差分 155
5.3 非一致格子上 Euler Beta 公式的模擬 159
5.4 非一致格子上的 Abel 方程及分數階差分 165
5.5 非一致格子上 Caputo 型分數階差分 167
5.6 一些應用和定理 171
5.7 非一致格子上 Riemann-Lionville 型分數階差分的復變量方法 178
5.8 非一致格子上中心分數階和分與分數階差分 187
5.9 應用: 分數階差分方程的級數解 197
第6章 向前非一致格子上的分數階微積分 201
6.1 非一致格子上的整數和分與整數差分 201
6.2 非一致格子上 Euler Beta 公式的模擬 207
6.3 非一致格子上的 Abel 方程及分數階差分 213
6.4 非一致格子上 Caputo 型分數階差分 216
6.5 一些應用和定理 220
6.6 非一致格子上 Riemann-Liouville 型分數階差分的復變量方法 227
6.7 非一致格子上中心分數階和分與分數階差分 239
6.8 應用: 分數階差分方程的級數解 250
第7章 離散分數階函數與一些特殊函數 254
7.1 經典正交多項式回顧 254
7.2 分數階函數 258
7.2.1 分數階 Hermite 函數 259
7.2.2 分數階 Laguerre 函數 260
7.2.3 分數階 Jacobi 函數 261
7.2.4 分數階 Gegenbauer 函數 263
7.2.5 分數階 Chebyshev 函數 264
7.2.6 分數階 Legendre 函數 265
7.3 Pearson 方程求解 265
7.4 離散分數階函數 269
7.4.1 分數階 Charlier 函數 269
7.4.2 分數階 Meixner 函數 270
7.4.3 分數階 Krawtchouk 函數 271
7.4.4 分數階 Hahn 函數 272
7.5 離散分數階差分與超幾何方程之間的關系 274
7.5.1 向后分數階差分形式的解 274
7.5.2 非一致格子上的分數階函數 279
7.5.3 一致格子上分數階函數與超幾何方程內在聯(lián)系 281
7.5.4 非一致格子超幾何方程向前分數階差分形式的解 283
7.5.5 非一致格子上的分數階函數 288
7.6 函數的正交性 288
參考文獻 292
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非一致格子超幾何方程與分數階差和分 節(jié)選
第1章 超幾何型方程
本章簡單介紹超幾何微分方程的概念和性質以及超幾何差分方程的定義和性質， 重點介紹非一致格子的概念和由來. 超幾何型方程的解是一些特殊函數， 在后面的章節(jié)我們將會看到， 其中的一些特殊函數與分數階微積分 (或離散分數階微積分) 有十分密切的關系.
1.1 超幾何型微分方程介紹
應用數學和數學物理中的許多問題中， 都會導出方程
(1.1.1)
這里 σ(z) 和 τ (z) 是至多二階和一階多項式， λ 是常數. 我們稱方程 (1.1.1) 為超幾何型方程 (超幾何方程)， 它的解稱為超幾何型函數 (超幾何函數).
對于超幾何方程 (1.1.1) 的任意解， 下面一個基本性質是滿足的.
性質 1.1.1 超幾何函數的任意階導數， 仍然是超幾何型函數.
證明 對方程 (1.1.1) 微分一次， 令 υ1(z) = y′(z)， 那么容易知道 υ1(z) 滿足方程
(1.1.2)
這里
由于τ1(z) 是關于 z 的至多一階多項式， 且 μ1 是不依賴于 z 的常數， 因此方程 (1.1.2) 仍然是一個超幾何型方程.
同理， 對方程 (1.1.1) 微分 n 次， 我們能夠得到關于函數 υn(z) = y(n)(z) 滿足的超幾何型方程
(1.1.3)
這里
(1.1.4)
(1.1.5)
1.1.1 超幾何型多項式及 Rodrigues 公式
上面所考慮方程 (1.1.1) 的特性， 可以讓我們根據某個 λ 的值， 構造出一族特解. 事實上， 當 μn = 0 時， 方程 (1.1.3) 有特解 υn(z) = const. 由于 υn(z) =y(n)(z)， 這就意味著：當
原超幾何方程有 y(z) = yn(z)， 其中 yn(z) 是 n 階多項式. 我們稱這種解為超幾何型多項式.
為找出超幾何多項式的明顯公式， 我們用函數 ρ(z) 和 ρn(z) 分別乘以方程(1.1.1) 和方程 (1.1.3)， 那么就可將它們化為自相伴型方程
(1.1.6)
(1.1.7)
這里 ρ(z) 和 ρn(z) 滿足微分方程
(1.1.8)
(1.1.9)
對τn(z) 利用 (1.1.4)， 我們能夠建立 ρn(z) 和 ρ0(z) = ρ(z) 之間的關系:
因此
且有
由于
且
我們可將 (1.1.7) 改寫成
因此， 由遞推我們得到
這里
(1.1.10)
我們現在繼續(xù)要得到超幾何多項式的明顯表達式. 如果函數 y(z) 是一個 n階多項式， 即 y(z) = yn(z)， 那么 υn(z) = y(n) n (z) = const， 并且我們得到 yn(z) 的如下表達式
(1.1.11)
這里是一個標準化的常數， 且 An 由方程 (1.1.10) 確定， 并且
因此除了一個常數之外， 方程 (1.1.1) 的多項式解由公式 (1.1.11) 唯一確定. 這些解對應于常數值 μn = 0， 即
我們稱關系 (1.1.11) 為 Rodrigues 公式.
1.1.2 多項式的分類
通過線性變換， 方程 (1.1.1) 中的 σ(z) 和 τ (z) 可以化為以下幾種情形.
(1) 讓 σ(z) = 1.z2， τ (z) = -α+β +2)z +β-. 這時方程 (1.1.8) 的解為
由 Rodrigues 公式， 可以得到相應的多項式 yn(z) 是
這里
商品評論(1條)
- 主題：《非一致格子超幾何方程與分數階差和分》簡評
與 newton 和 leibniz 創(chuàng)立微積分同時, 分數階微積分也被提出, 近幾十年來其理論及其應用發(fā)展迅速. 程金發(fā)教授長期對離散復差分方程、離散分數階微積分開展深入研究, 他在離散分數階微積分理論研究上可以說是獨樹一幟的. 早在十年之前, 在一致格子的情形下, 程金發(fā)教授就合理地給出一種分數階和分與差分, 并由此出版過一本有關該領域的專著, 這是國內外第一本相關理論方面的專著, 因此引起了同行的廣泛關注和濃厚興趣, 為學科的推廣與發(fā)展起到了積極作用. 該書作者如今在非一致格子超幾何差分方程與非一致格子離散分數階差和分理論研究方面, 做出了系統(tǒng)獨到的創(chuàng)新工作. 內容涉及非一致格子上超幾何差分方程新的基本解基本公式等, 以及在非一致格子上合理給出離散分數階微積分基本概念、性質、基本定理等. 該書的內容基本分為七章, 內容豐富. 這是作者關于非一致格子上最新研究成果總結, 由于非一致格子的復雜性, 這體現出作者扎實的基本知識和很強的科研創(chuàng)新能力. (1) 非一致格子上 gauss 型超幾何復差分方程問題. 它分別由美國科學院數學院士 askey 和俄羅斯數學院士 nikiforov 等所開拓, 是一類最具一般性的復超幾何方程, 許多特殊函數和正交函數都來自于該方程, 美國、俄羅斯兩大數學門派都取得的許多非凡的重要成果. 作者經過多年的醞釀積累和靜心探索, 給出了關于非一致格子上復超幾何方程的一個基本公式, 這是一個不同于前人的基礎性結果, 利用它可以得到比著名的 askey-wilson 多項式更一般的特殊函數, 是對一類特殊函數的貢獻. (2) 非一致格子上復分數階差分與和分基本問題, 屬于最一般性分數階差分問題. 目前國內外絕大多數研究者一般從事一致格子上的實分數階差分方程研究,但非一致格子上的復差分方程研究難度更大更具挑戰(zhàn)性, 更與國際前沿接軌. 在非一致格子上, 復分數階和分以及差分又如何定義？這目前在國際上都是一個十分艱深的課題, 因為即使對正整數階差分, nikiforov 率先得到了這個基本公式, 都是一個非凡的成果. 作者已經能夠合理給出一種非一致格子上分數階和分以及差分合理的定義 得到著名的 euler beta 公式以及 cauchy beta 復積分公式、taylor公式和 leibniz 公式在非一致格子上的模擬, 非一致格子上 abel 方程、廣義中心差分等一類方程的求解等結果. (3) 書中還將非一致格子上的超幾何差分方程與特殊函數、離散分數階理論有機地聯(lián)系在一起. 這些概念和公式、理論在國際上是屬于獨具創(chuàng)新性的, 為在非一致格子情形下研究復分數階差分方程理論和離散分數階微積分打開了一扇門. 總之, 該書在非一致格子情況下開展了復超幾何差分方程、離散分數階差和分的創(chuàng)新性研究, 相信將對該領域的新發(fā)展起到重要的推動作用. 該書適合數學、物理等研究工作者閱讀參考, 同時也是一本相關領域研究生的閱讀教材.
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