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中學數學解題研究(第二版) 版權信息
- ISBN：9787030709233
- 條形碼：9787030709233 ; 978-7-03-070923-3
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
中學數學解題研究(第二版) 內容簡介
本書緊扣數學新課標和當前學生的解題實際，內容包括數學解題的意義、數學解題理論、數學解題的過程分析、數學解題方法與策略、數學解題專題分析、說題。書中理論與實踐并重，各章含有例題和習題，先練后講、邊講邊練、及時反思、總結規律，以提高解題的意識、能力和修養。本書適合高等師范院校數學教育專業大學生作為教材使用，也可作為中學教師培訓使用。
中學數學解題研究(第二版) 目錄
目錄
“數學教學技能系列叢書” 序言
緒言
第1章 數學解題的意義 1
1.1 數學學習與解題 1
1.1.1 數學學習的一般過程 1
1.1.2 數學學習中的解題 2
1.2 數學能力與解題 7
1.3 中學數學教學中的解題 8
習題 13
第2章 數學解題理論 14
2.1 中國數學解題研究 14
2.1.1 數學解題現狀 14
2.1.2 單墫的研究 15
2.1.3 羅增儒的研究 27
2.1.4 中國解題研究簡介 42
2.2 國外解題理論分析 46
2.2.1 波利亞的解題理論 46
2.2.2 匈菲爾德的問題解決 50
2.2.3 弗里德曼的《怎樣學會解數學題》 54
2.2.4 其他解題理論簡述 55
2.3 解題理論評述 56
習題 57
第3章 數學解題的過程分析 58
3.1 數學解題的心理過程 58
3.1.1 解題案例的再現 58
3.1.2 解題的心理過程分析 60
3.1.3 學會遷移 62
3.2 基于問題解決的分析 66
3.2.1 理解問題 66
3.2.2 探析方法策略 73
3.2.3 設計解題思路 78
3.2.4 實施解題步驟 80
3.2.5 反思 82
3.3 基于變式的解題分析 84
3.3.1 本源題 84
3.3.2 變式題 85
3.3.3 問題結構 87
3.3.4 尋找模式 87
3.3.5 突破模式 88
習題 88
第4章 數學解題方法與策略 90
4.1 關于解題方法與策略的研究 90
4.1.1 解題方法的本質 90
4.1.2 解題策略的意義 91
4.2 數學解題方法 91
4.2.1 化歸與轉化 92
4.2.2 正反互逆 105
4.2.3 特殊與一般 121
4.2.4 分類討論 129
4.2.5 數形結合 140
4.2.6 數學構造 155
4.2.7 數學變換 175
4.2.8 數學歸納法 180
4.3 數學解題策略 189
4.3.1 數學信息表征策略 189
4.3.2 信息轉化策略 191
4.3.3 直觀想象策略 192
習題 195
第5章 數學解題專題分析 197
5.1 數學客觀題 197
5.1.1 選擇題 197
5.1.2 填空題 206
5.2 三角函數問題 210
5.2.1 公式法 210
5.2.2 差異分析法 211
5.2.3 整體法 212
5.2.4 數形結合法 213
5.2.5 轉化法 214
5.2.6 向量法 214
5.2.7 “1” 的轉換 215
5.2.8 恒等變換法 216
5.2.9 綜合法 217
5.3 數列問題 218
5.3.1 數列的通項公式 219
5.3.2 數列的求和問題 226
5.3.3 數列綜合問題 231
5.4 立體幾何問題 236
5.4.1 重在直觀感知的空間想象 236
5.4.2 強調以數代形的代數應用 239
5.4.3 注重概念命題的邏輯推理 244
5.5 解析幾何問題 248
5.5.1 直線與圓錐曲線的位置關系 249
5.5.2 面積與距離的問題 251
5.5.3 求軌跡方程問題 255
5.5.4 圓錐曲線中定點與定值問題 259
5.5.5 圓錐曲線中參數的取值范圍與*值問題 265
5.5.6 圓錐曲線中的存在性問題 270
5.6 概率統計問題 271
5.6.1 頻率分布直方圖、條形圖、統計表等問題 272
5.6.2 分布列問題和數學期望 276
5.6.3 回歸分析問題 281
5.6.4 分布列、數學期望、概率 285
5.6.5 綜合問題 290
5.7 導數的應用 291
5.7.1 導數在函數中應用問題 292
5.7.2 導數在不等式中的應用問題 302
5.7.3 導數應用的其他問題 316
習題 318
第6章 說題 320
6.1 說題的意義 322
6.2 說題的內容 324
6.2.1 說題意 324
6.2.2 說思想方法 325
6.2.3 說解題過程 327
6.2.4 說變式與拓展 328
6.2.5 說易錯易誤 332
6.2.6 說教學價值 332
6.3 說題的案例 333
6.3.1 立體幾何問題說題 333
6.3.2 三角函數問題說題 348
6.3.3 解析幾何問題說題 356
6.3.4 數列問題說題 374
6.3.5 概率與統計問題說題 387
6.3.6 函數導數問題說題 396
6.4 說題對于教師專業發展的意義 404
習題 405
習題答案 407
參考文獻 429
“數學教學技能系列叢書” 序言
緒言
第1章 數學解題的意義 1
1.1 數學學習與解題 1
1.1.1 數學學習的一般過程 1
1.1.2 數學學習中的解題 2
1.2 數學能力與解題 7
1.3 中學數學教學中的解題 8
習題 13
第2章 數學解題理論 14
2.1 中國數學解題研究 14
2.1.1 數學解題現狀 14
2.1.2 單墫的研究 15
2.1.3 羅增儒的研究 27
2.1.4 中國解題研究簡介 42
2.2 國外解題理論分析 46
2.2.1 波利亞的解題理論 46
2.2.2 匈菲爾德的問題解決 50
2.2.3 弗里德曼的《怎樣學會解數學題》 54
2.2.4 其他解題理論簡述 55
2.3 解題理論評述 56
習題 57
第3章 數學解題的過程分析 58
3.1 數學解題的心理過程 58
3.1.1 解題案例的再現 58
3.1.2 解題的心理過程分析 60
3.1.3 學會遷移 62
3.2 基于問題解決的分析 66
3.2.1 理解問題 66
3.2.2 探析方法策略 73
3.2.3 設計解題思路 78
3.2.4 實施解題步驟 80
3.2.5 反思 82
3.3 基于變式的解題分析 84
3.3.1 本源題 84
3.3.2 變式題 85
3.3.3 問題結構 87
3.3.4 尋找模式 87
3.3.5 突破模式 88
習題 88
第4章 數學解題方法與策略 90
4.1 關于解題方法與策略的研究 90
4.1.1 解題方法的本質 90
4.1.2 解題策略的意義 91
4.2 數學解題方法 91
4.2.1 化歸與轉化 92
4.2.2 正反互逆 105
4.2.3 特殊與一般 121
4.2.4 分類討論 129
4.2.5 數形結合 140
4.2.6 數學構造 155
4.2.7 數學變換 175
4.2.8 數學歸納法 180
4.3 數學解題策略 189
4.3.1 數學信息表征策略 189
4.3.2 信息轉化策略 191
4.3.3 直觀想象策略 192
習題 195
第5章 數學解題專題分析 197
5.1 數學客觀題 197
5.1.1 選擇題 197
5.1.2 填空題 206
5.2 三角函數問題 210
5.2.1 公式法 210
5.2.2 差異分析法 211
5.2.3 整體法 212
5.2.4 數形結合法 213
5.2.5 轉化法 214
5.2.6 向量法 214
5.2.7 “1” 的轉換 215
5.2.8 恒等變換法 216
5.2.9 綜合法 217
5.3 數列問題 218
5.3.1 數列的通項公式 219
5.3.2 數列的求和問題 226
5.3.3 數列綜合問題 231
5.4 立體幾何問題 236
5.4.1 重在直觀感知的空間想象 236
5.4.2 強調以數代形的代數應用 239
5.4.3 注重概念命題的邏輯推理 244
5.5 解析幾何問題 248
5.5.1 直線與圓錐曲線的位置關系 249
5.5.2 面積與距離的問題 251
5.5.3 求軌跡方程問題 255
5.5.4 圓錐曲線中定點與定值問題 259
5.5.5 圓錐曲線中參數的取值范圍與*值問題 265
5.5.6 圓錐曲線中的存在性問題 270
5.6 概率統計問題 271
5.6.1 頻率分布直方圖、條形圖、統計表等問題 272
5.6.2 分布列問題和數學期望 276
5.6.3 回歸分析問題 281
5.6.4 分布列、數學期望、概率 285
5.6.5 綜合問題 290
5.7 導數的應用 291
5.7.1 導數在函數中應用問題 292
5.7.2 導數在不等式中的應用問題 302
5.7.3 導數應用的其他問題 316
習題 318
第6章 說題 320
6.1 說題的意義 322
6.2 說題的內容 324
6.2.1 說題意 324
6.2.2 說思想方法 325
6.2.3 說解題過程 327
6.2.4 說變式與拓展 328
6.2.5 說易錯易誤 332
6.2.6 說教學價值 332
6.3 說題的案例 333
6.3.1 立體幾何問題說題 333
6.3.2 三角函數問題說題 348
6.3.3 解析幾何問題說題 356
6.3.4 數列問題說題 374
6.3.5 概率與統計問題說題 387
6.3.6 函數導數問題說題 396
6.4 說題對于教師專業發展的意義 404
習題 405
習題答案 407
參考文獻 429
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中學數學解題研究(第二版) 節選
第1章 數學解題的意義 數學學習是個體以自己數學認知結構的變化適應數學知識體系發展變化的過程，即個體數學活動經驗的獲得和累積或數學認知結構的構建過程(章建躍，2001).顯然在這個過程中，必須有“數學活動經驗”，而在此的“經驗”，更多的是解決問題，即數學解題活動.這種解題過程建構數學認知結構，從而提高數學能力，也相應提高數學問題解決能力. 1.1 數學學習與解題 數學學習是一個復雜的心理過程，而解題也是數學學習中的一個環節.作為具有高度概括性、抽象性、應用性的一門學科，數學的學習也具有一定的特殊性，既有直觀感知的一面，又有抽象概括的高度;既有直接應用的便捷，又有邏輯推理的難度.數學解題是學習過程中的重要環節，一方面可以鞏固知識，另一方面可以推進對數學的理解，從而為繼續學習做好鋪墊;反之，數學學習的完善也進一步提高學習者的解題能力，二者密切相關，缺一不可. 1.1.1 數學學習的一般過程 數學學習過程可以從兩個角度來分析，一方面是學習者在數學認知過程中的變化，也就是學生對數學信息的識別、加工、貯存、提取、應用的過程;另一方面就是非認知因素的變化過程，即數學情感、興趣、動機、意志等方面，這對于學生的數學認知也是至關重要的，或促進數學能力的發展，或抑制. 例1-1 數列的概念學習. *先給出引例：傳說印度有個發明家發明了國際象棋，國王玩得很開心，于是決定獎勵這個發明家，發明家沒有向國王要金銀珠寶，他的要求是讓國王在棋盤上放麥粒，但是規定在**格里放一顆麥粒，后面的格子里放的麥粒數是前面的兩倍，國王一笑，連忙答應，你認為國王能滿足這位發明家的要求嗎? 學生面臨一個問題，既熟悉而又陌生，看似簡單的指數冪的運算，但是隨著指數的增大，數據增大，和一般的計算不同. 當然，這是數列概念學習的一個引例，其實還有下列問題： (1); (2); (3). 學生發現這樣的一組數據，有著一定的特征，而不是簡單的羅列.這個概念的學習過程，實際是學生解決問題的過程：觀察、歸納、猜想、得到結論.學生的數學學習，可以參考圖1-1. 圖1-1 事實上，數學學習是一個復雜的過程，以上我們只是做了簡單的分析.有意義學習可以從概念學習、命題學習、符號學習等角度討論.而學習又分為不同的類型：上位學習、并列學習、下位學習等，這是學習的認知過程分析.不過，無論怎樣的學習過程，學生的數學思維和學習是相輔相成的，而數學思維是問題解決的核心. 1.1.2 數學學習中的解題 數學學習中的解題，不但能鞏固新知，檢驗學習的效果，更重要的是促進了數學學習的發展.學習活動*終是通過個體內在的認知活動得以實現的，加涅認為，學習的過程由下面的步驟組成： (1)注意——對于相關刺激的“接受”，后者既可以是言語的，也可以是直觀的; (2)預期——引向學習目標，即如何去獲得某種動作技能、或學會解決某個問題; (3)回憶——把有關的信息提取到短時記憶之中; (4)選擇性知覺——將刺激轉換成對象特征的形式，以便貯存于短時記憶中; (5)語義編碼——將刺激特征及有關信息貯存于長時記憶中; (6)激活與反應——將貯存的信息提取到反應發生器; (7)強化——反饋與強化; (8)提示的激活——建立起新的提示以利于以后的回憶; (9)一般化——將所學到的新知識應用于新的場合. 其中，前3個步驟為學習的準備，(4)-(7)為學習的獲得和執行，(8)-(9)是學習的遷移. 在數學解題中，學習就發生了.因此，有很多教師認為，數學學習的過程以解題為主，這有積極的一面，然而解題只是數學學習中的一個環節，上述的9個步驟就可以看出學習的復雜性. 例1-2 方程的根與函數的零點. 問題： 1 求方程的根，畫函數的圖象. 2 求方程的根，畫函數的圖象. 3 求方程的根，畫函數的圖象. 4 觀察函數的圖象發現：方程的根、函數的圖象和x軸交點的橫坐標有什么關系? 5 如何判斷一元二次方程根的個數，如何判斷二次函數圖象與x軸交點的個數，它們之間有什么關系? 6 歸納函數零點的概念. 7 怎樣判斷函數是否有零點? 8 當函數的圖象不易畫出，又不能求相應方程的根時，怎樣判斷函數是否有零點? 通過問題解決引入方程根和函數的零點，確實實現了數學學習的準備、概念的獲得，并能為下一步的遷移做準備.所以有下面的結論： 1 先求方程的兩個根，找出拋物線的頂點，畫出二次函數的圖象(圖1-2).方程的兩個實數根為.1，3. 2 方程有一個根，說明拋物線的頂點在x軸上(圖1-3).方程的實數根為1. 圖1-2 圖1-3 圖1-4 3 方程沒有實數根，拋物線與x軸沒有交點，找出拋物線的頂點是畫二次函數圖象的關鍵(圖1-4). 4 方程的根就是函數的圖象與x軸交點的橫坐標. 5 一元二次方程根的個數，就是二次函數圖象與x軸交點的個數，可以用判別式來判定一元二次方程根的個數.(a)當Δ>0時，一元二次方程有兩個不等的實根x1，x2，相應的二次函數的圖象與x軸有兩個交點(x1，0)，(x2，0).(b)當Δ=0時，一元二次方程有兩個相等的實根x1=x2，相應的二次函數的圖象與x軸有唯一的交點(x1，0);(c)當Δ4. (2)若函數有三個零點，則a=4. (3)函數有四個零點，則0 變式訓練 變式1判斷函數零點的個數. 解 通過分類討論把絕對值函數轉化為分段函數，作出函數圖象(圖1-6). 函數的圖象與x軸有兩個交點，所以函數有兩個零點. 圖1-5 圖1-6 變式2 求證：函數有兩個零點. 證法一 因為一元二次方程的判別式， 所以 一元二次方程有兩個不相等的實根，所以函數有兩個零點. 證法二 因為一元二次方程可化為，所以一元二次方程有兩個不相等的實根.所以函數有兩個零點. 證法三 因為函數的圖象是一條開口向上的拋物線，且頂點在x軸的下方，即，所以函數有兩個零點.如圖1-7. 例1-3-2 若關于x的方程的一個根在內，另一個根在(1，3)內，求a的取值范圍. 如果用求根公式與判別式來做，運算量很大，能否將問題轉化?借助二次函數的圖象，從圖象中抽出與方程的根有關的關系式，使得問題解答大大簡化.畫出函數的圖象觀察分析. 解 設f，則f(x)為開口向上的拋物線，如圖1-8. 圖1-7 圖1-8 因為f(x)=0的兩根分別在區間內，所以 即圖1-9 故所求a的取值范圍是. 變式1 關于x的方程的兩個根一個大于2，另一個小于2，求實數a的取值范圍. 解 設，圖象為開口向上的拋物線(圖1-9). 因為 方程的兩個根一個大于2，另一個小于2，所以函數的零點一個大于2，另一個小于2.即函數的圖象與x軸的兩個交點在點(2，0)的兩側.
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