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平面非光滑系統全局動力學的Melnikov方法及應用 版權信息
- ISBN：9787030705815
- 條形碼：9787030705815 ; 978-7-03-070581-5
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
平面非光滑系統全局動力學的Melnikov方法及應用 內容簡介
《平面非光滑系統全局動力學的Melnikov方法及應用》全面介紹平面非光滑系統全局動力學分析的Me1nikov方法及應用。《平面非光滑系統全局動力學的Melnikov方法及應用》主要包括：平面非光滑系統同宿軌道和次諧軌道的Me1nikov方法，平面非光滑混合系統同宿軌道和異宿軌道的Me1nikov方法，平面雙邊剛性約束非線性碰撞系統全局動力學的Me1nikov方法和平面非光滑振子的混沌抑制等。《平面非光滑系統全局動力學的Melnikov方法及應用》發展的解析分析方法具有幾何直觀、Me1nikov函數形式簡單、易于工程應用的特點。《平面非光滑系統全局動力學的Melnikov方法及應用》通過與光滑系統的Me1nikov方法的比較，展示了為突破系統非光滑而引入的新概念和攝動技術，通過多個實例驗證了發展的Me1nikov方法在平面非光滑非自治系統全局動力學分析及混沌抑制中的有效性，極大地豐富了非光滑系統全局動力學的分析方法，可以引導讀者盡快進入本領域的前沿。
平面非光滑系統全局動力學的Melnikov方法及應用 目錄
目錄
“非線性動力學叢書”序
前言
第1章 緒論 1
1.1 非光滑系統的研究背景與意義 1
1.2 非光滑系統的分類及典型力學模型 2
1.3 非光滑系統全局動力學 Melnikov 方法的研究進展 8
1.4 本書的主要內容和結構安排 10
第2章 平面光滑系統同宿和次諧軌道的 Melnikov 方法 12
2.1 平面光滑系統同宿軌道的 Melnikov 方法 12
2.1.1 經典的同宿軌道 Melnikov 方法 12
2.1.2 Melnikov 函數的性質 16
2.1.3 Duffing 振子的同宿軌道 Melnikov 函數 17
2.2 平面光滑系統次諧軌道的 Melnikov 方法 22
2.2.1 經典的次諧軌道 Melnikov 方法 22
2.2.2 Duffing 振子的次諧軌道 Melnikov 函數 26
2.3 本章小結 28
第3章 平面非光滑系統同宿軌道的 Melnikov 方法 29
3.1 問題的描述 29
3.2 同宿軌道的 Melnikov 方法 30
3.3 同宿軌道 Melnikov 方法的應用 36
3.3.1 應用實例 36
3.3.2 Melnikov 分析 37
3.3.3 數值模擬 38
3.4 本章小結 40
第4章 平面非光滑系統次諧軌道的 Melnikov 方法 41
4.1 問題的描述 41
4.2 次諧軌道的 Melnikov 方法 44
4.2.1 Poincaré 映射 44
4.2.2 次諧軌道的定義及存在性 47
4.3 次諧軌道 Melnikov 方法的應用 51
4.3.1 應用實例 51
4.3.2 Melnikov 分析 52
4.3.3 數值模擬 55
4.4 本章小結 57
第5章 平面非光滑混合系統同宿軌道的 Melnikov 方法 58
5.1 問題的描述 58
5.2 同宿軌道的 Melnikov 方法 59
5.3 同宿軌道 Melnikov 函數的應用 71
5.3.1 應用實例 71
5.3.2 Melnikov 分析 72
5.3.3 數值模擬 74
5.4 本章小結 77
第6章 平面非光滑混合系統異宿軌道的 Melnikov 方法 78
6.1 問題的描述 78
6.2 異宿軌道的 Melnikov 方法 81
6.3 異宿軌道 Melnikov 方法的應用 90
6.3.1 應用實例一 90
6.3.2 Melnikov 分析一 92
6.3.3 數值模擬一 94
6.3.4 應用實例二 96
6.3.5 Melnikov 分析二 101
6.3.6 數值模擬二 103
6.4 本章小結 105
第7章 平面雙邊剛性約束非線性碰撞系統全局動力學的 Melnikov 方法 107
7.1 Melnikov 方法的理論框架 107
7.1.1 問題的描述 107
7.1.2 未擾系統的幾何結構 108
7.1.3 Poincaré 截面及擾動系統動力學 108
7.1.4 雙邊剛性約束非線性碰撞系統的 Melnikov 方法 109
7.2 一類具有雙邊剛性約束特性的非線性碰撞振子 113
7.2.1 非線性碰撞振子的動力學模型 113
7.2.2 非線性碰撞振子的 Melnikov 分析 114
7.2.3 全局分岔和混沌動力學的數值模擬 115
7.2.4 實驗驗證 121
7.3 本章小結 124
第8章 平面非光滑振子的混沌抑制 125
8.1 非光滑振子的 Melnikov 方法簡介 126
8.1.1 非光滑振子 126
8.1.2 非光滑振子同宿混沌的 Melnikov 方法 128
8.2 混沌抑制方法 132
8.2.1 狀態反饋控制方法 132
8.2.2 自適應控制方法 133
8.2.3 參數激勵控制方法 134
8.3 混沌控制的應用 138
8.3.1 應用實例 138
8.3.2 同宿混沌的數值模擬 139
8.3.3 狀態反饋控制方法的應用 142
8.3.4 自適應控制方法的應用 144
8.3.5 參數激勵控制方法的應用 147
8.4 本章小結 151
參考文獻 152
附錄A 157
附錄B 163
“非線性動力學叢書” 已出版書目
彩圖
“非線性動力學叢書”序
前言
第1章 緒論 1
1.1 非光滑系統的研究背景與意義 1
1.2 非光滑系統的分類及典型力學模型 2
1.3 非光滑系統全局動力學 Melnikov 方法的研究進展 8
1.4 本書的主要內容和結構安排 10
第2章 平面光滑系統同宿和次諧軌道的 Melnikov 方法 12
2.1 平面光滑系統同宿軌道的 Melnikov 方法 12
2.1.1 經典的同宿軌道 Melnikov 方法 12
2.1.2 Melnikov 函數的性質 16
2.1.3 Duffing 振子的同宿軌道 Melnikov 函數 17
2.2 平面光滑系統次諧軌道的 Melnikov 方法 22
2.2.1 經典的次諧軌道 Melnikov 方法 22
2.2.2 Duffing 振子的次諧軌道 Melnikov 函數 26
2.3 本章小結 28
第3章 平面非光滑系統同宿軌道的 Melnikov 方法 29
3.1 問題的描述 29
3.2 同宿軌道的 Melnikov 方法 30
3.3 同宿軌道 Melnikov 方法的應用 36
3.3.1 應用實例 36
3.3.2 Melnikov 分析 37
3.3.3 數值模擬 38
3.4 本章小結 40
第4章 平面非光滑系統次諧軌道的 Melnikov 方法 41
4.1 問題的描述 41
4.2 次諧軌道的 Melnikov 方法 44
4.2.1 Poincaré 映射 44
4.2.2 次諧軌道的定義及存在性 47
4.3 次諧軌道 Melnikov 方法的應用 51
4.3.1 應用實例 51
4.3.2 Melnikov 分析 52
4.3.3 數值模擬 55
4.4 本章小結 57
第5章 平面非光滑混合系統同宿軌道的 Melnikov 方法 58
5.1 問題的描述 58
5.2 同宿軌道的 Melnikov 方法 59
5.3 同宿軌道 Melnikov 函數的應用 71
5.3.1 應用實例 71
5.3.2 Melnikov 分析 72
5.3.3 數值模擬 74
5.4 本章小結 77
第6章 平面非光滑混合系統異宿軌道的 Melnikov 方法 78
6.1 問題的描述 78
6.2 異宿軌道的 Melnikov 方法 81
6.3 異宿軌道 Melnikov 方法的應用 90
6.3.1 應用實例一 90
6.3.2 Melnikov 分析一 92
6.3.3 數值模擬一 94
6.3.4 應用實例二 96
6.3.5 Melnikov 分析二 101
6.3.6 數值模擬二 103
6.4 本章小結 105
第7章 平面雙邊剛性約束非線性碰撞系統全局動力學的 Melnikov 方法 107
7.1 Melnikov 方法的理論框架 107
7.1.1 問題的描述 107
7.1.2 未擾系統的幾何結構 108
7.1.3 Poincaré 截面及擾動系統動力學 108
7.1.4 雙邊剛性約束非線性碰撞系統的 Melnikov 方法 109
7.2 一類具有雙邊剛性約束特性的非線性碰撞振子 113
7.2.1 非線性碰撞振子的動力學模型 113
7.2.2 非線性碰撞振子的 Melnikov 分析 114
7.2.3 全局分岔和混沌動力學的數值模擬 115
7.2.4 實驗驗證 121
7.3 本章小結 124
第8章 平面非光滑振子的混沌抑制 125
8.1 非光滑振子的 Melnikov 方法簡介 126
8.1.1 非光滑振子 126
8.1.2 非光滑振子同宿混沌的 Melnikov 方法 128
8.2 混沌抑制方法 132
8.2.1 狀態反饋控制方法 132
8.2.2 自適應控制方法 133
8.2.3 參數激勵控制方法 134
8.3 混沌控制的應用 138
8.3.1 應用實例 138
8.3.2 同宿混沌的數值模擬 139
8.3.3 狀態反饋控制方法的應用 142
8.3.4 自適應控制方法的應用 144
8.3.5 參數激勵控制方法的應用 147
8.4 本章小結 151
參考文獻 152
附錄A 157
附錄B 163
“非線性動力學叢書” 已出版書目
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平面非光滑系統全局動力學的Melnikov方法及應用 節選
第1章 緒論 1.1 非光滑系統的研究背景與意義 力學、航空航天和機械等實際工程系統中， 存在著大量的非光滑因素， 例如，碰撞、沖擊、干摩擦、變剛度、間隙、控制系統的切換等 (Brogliato， 1999). 由于非光滑因素的存在， 即使簡單的分段線性系統， 也會表現出強非線性特性， 會有復雜的非線性動力學現象 (Shaw and Holmes， 1983; Hu， 1995). 機械工程領域*早開始研究非光滑系統的工作見文獻 (Den Hartog， 1930， 1931)， 其非光滑來自系統的庫侖摩擦力， 后來也被稱為干摩擦. 之后非光滑系統動力學逐漸引起了各領域研究者的廣泛關注. *先從數學理論上， 1964 年 Filippov 在研究干摩擦振子的振動時， 提出了不連續微分方程， 開拓性地引入了集值形式的微分包含來描述系統在切換流形上的滑動運動， 進一步討論了此類系統解的存在性和唯一性等適定性問題， 初步奠定了非光滑系統動力學的理論基礎 (Filippov， 1964). 更深入完整的研究結果見Filippov 的專著 (Filippov， 1988). 1965 年， Andronov 等*早研究了非光滑系統平衡點的分岔問題 (Andronov et al.， 1965). 1974 年， Aizerman 和 Pyatnitskii推廣了 Filippov 的概念， 發展了不連續系統的理論 (Aizerman and Pyatnitskii，1974a， 1974b). 1976 年， Utkin 研究了具有滑動模態的變結構系統， 提出利用非光滑性控制動力系統的方法， 也被稱為滑模控制 (Utkin， 1976). 自 20 世紀 80 年代以來， 隨著動力系統理論研究的深入發展， 人們也越來越關注非光滑因素的影響，這使得非光滑系統的動力學與控制引起了廣泛的研究興趣. 1990 年， Popp 和 Stelter 在專著中詳細地研究了由干摩擦誘導的結構非線性振動問題 (Popp and Stelter， 1990). 1994 年 Goldman 和 Muszynska 研究了具有間隙和碰撞力學機構的有序和混沌運動 (Goldman and Muszynska， 1994). 1994年， Feigin 研究了不連續非線性系統的受迫振動 (Feigin， 1994). 非光滑動力系統既有類似于光滑動力系統的倍周期分岔、混沌現象， 又有非光滑系統特有的擦邊分岔 (Nordmark， 1991; Di Bernardo et al.， 2001a)、角點碰撞分岔 (Di Bernardo et al.， 2001b)、滑動分岔 (Di Bernardo et al.， 2002)、簇發振蕩的非光滑分岔 (Zhang et al.， 2015) 等. 2000 年， Kunze 在專著中從數學角度詳細地介紹了非光滑動力系統的一些基本理論， 包括解的存在唯一性、有界解、無界解、周期解、擬周期解以及 Lyapunov指數等基本理論 (Kunze， 2000). 2000 年， Leine 等利用 Filippov 理論對非線性不連續系統的分岔進行了詳細的介紹 (Leine et al.， 2000). 之后出現了許多討論非光滑系統分岔的專著. 2003 年， Zhusubalyev 和 Mosekilde 在其專著中研究了控制和電子領域中分段光滑系統的分岔和混沌 (Zhusubalyev and Mosekilde， 2003).2004 年， Leine 和 Nijmeijer 在其專著中介紹了非光滑力學系統的分岔和動力學(Leine and Nijmeijer， 2004); 2004 年， 羅冠煒和謝建華在專著中詳細地介紹了碰撞振動系統的周期運動和分岔 (羅冠煒和謝建華， 2004). 2008 年， Di Bernardo 等在其專著中詳細地介紹了分段光滑系統的定性理論， 特別是發展了由系統不連續誘導分岔的分析技術 (Di Bernardo et al.， 2008). 非光滑動力系統的理論研究既可以揭示系統發生分岔、混沌等復雜運動的機理， 又對工程結構和機械系統的動態優化設計， 大型復雜系統的安全性、可靠性和工業噪聲控制等問題的解決， 具有重要理論指導意義和廣闊的應用前景. 向量場的非光滑性， 使得光滑系統中研究非線性動力學與分岔的傳統方法不再適用， 需要從理論上探究一些分析非光滑系統動力學與分岔的新方法， 因此在理論研究上具有很大的挑戰性. 目前研究成果主要集中在非光滑系統的局部分岔， 而在非光滑系統的全局分岔和混沌動力學方面的研究成果相對較少. 非光滑系統的全局分岔和混沌動力學的研究方法主要是推廣光滑系統的經典 Melnikov 方法. 本書主要對近年來非光滑系統全局動力學 Melnikov 方法的研究進展進行全面的綜述比較， 特別地介紹了本書作者在非光滑系統全局動力學 Melnikov 方法的研究工作，突出發展的Melnikov 方法具有幾何直觀性以及在工程計算方面的優勢. 1.2 非光滑系統的分類及典型力學模型 為了能在數學上精確地給出非光滑系統的分類， 我們在相空間 Rn 中假定一個常值函數，定義一個曲面 Σ， 也被稱為切換流形 (switching manifold)， 這個曲面把相空間 Rn 分成兩個開的且不相交的子集V- 和 V+， 即. 則子集 V-， V+ 和曲面 Σ 分別能用公式表述為 切換流形 Σ 的法向量記為 (1.1) 假設向量值函數在 是連續可微的，是連續可微的. 非光滑系統或不連續系統通常在文獻中大量使用， 但往往沒有明確說明系統的哪些屬性被認為是非光滑的. 根據其不光滑程度， 非光滑系統可以分為三種類型， 每種類型均有典型的非光滑力學模型與之對應. 類型 I-非光滑連續系統 動力學方程的向量場連續但在切換流形上非光滑.具有一個切換流形的抽象動力學方程如下所示: (1.2) 滿足. 類型 I 是*簡單的非光滑系統， 任給初始條件 x(0) = x0， 系統 (1.2) 的解都是存在且唯一的， 哪怕初始點 x0∈Σ. 純彈性支撐的碰撞力學模型就是此類典型的系統. 例 1.1 通過對稱壓縮彈簧， 讓一個質量塊在桿上滑動， 當時， 彈簧處于原長狀態. 利用幾何非線性可以構造一個負剛度雙穩態單邊彈性碰撞振子， 如圖 1.1(a) 所示. 在周期外激勵和黏性阻尼作用下的動力學方程如下所示: (1.3) 系統 (1.3) 經過導數降階變換， 可以納入類型 I 的框架. 其中該振子的彈性回復力表示為 (1.4) 其在 X = a 處連續但不可微. 令彈簧剛度系數 k1 = k2 = 1， 彈簧的原長 L = 1，在原點初始壓縮后彈簧長度 l = 0.8， 則在右側 a = 0.6 處發生彈性碰撞， 回復力如圖 1.1(b) 所示. 類型 II-Filippov 系統 該類型動力學方程的向量場在切換流形上是不連續的， 即 f-(t， x) ≠ f+(t， x)， x∈Σ， 但系統的軌道關于時間是連續的. 此類系統精確的描述需要集值形式的微分包含 (differential inclusion). 具有一個切換流形的抽象動力學方程如下所示: (1.5) 這里定義了向量場 f- 和 f+ 的凸組合. 圖 1.1 負剛度雙穩態單邊彈性碰撞振子: (a) 力學模型; (b) 連續非光滑的彈性回復力 注 1 對任意初始點 x(0) = x0∈V-， 由向量場 f.(t， x) 的光滑性， 系統 (1.5)的解 x(t; 0， x0) 是局部存在的. 一旦存在 T1 使得 x(T1， 0， x0) = x1∈Σ， 則之后系統 (1.5) 的解如何發展完全依賴于 f-(t， x1) 和 f+(t， x1) 以及切換流形 Σ 的法向量 n(x1)， 甚至解的唯一性都可能會遭到破壞. 圖 1.2 給出平面向量場的兩種特殊情況: ①系統的軌道橫截穿過切換流形; ②系統的軌道在切換流形上吸引滑動(sliding). 圖 1.2 兩類特殊的 Filippov 系統: (a) 軌道橫截穿過切換流形; (b) 軌道在切換流形上吸引 滑動 條件 1 系統的軌道橫截穿過切換流形的必要條件: (1.6) 按照圖 1.2 給出切換流形的法向量， 在條件 1 的情況下， 無需在切換流形上進行凸組合， 軌道按向量場 f. 到達切換流形， 然后以向量場 f+ 離開切換流形. 條件∈系統的軌道在切換流形為吸引滑動的必要條件: (1.7) 按照圖 1.2 給出切換流形的法向量， 在條件∈的情況下， 在切換流形上的向量場為 f = βf+ + (1-β)f-， 其中. 具有黏彈性支撐或干摩擦的力學系統屬于此類 Filippov 系統. 例 1.2 干摩擦振子 該振子的力學模型如圖 1.3(a) 所示， 系統的運動微分方程為 (1.8) 其中 Vrel = X-Vc 表示物塊相對傳送帶的速度. Filippov 類型不連續摩擦力如圖 1.3(b) 所示， 由如下的集值函數表示: (1.9) 圖 1.3 干摩擦振子: (a) 力學模型; (b)Filippov 類型不連續摩擦力 經過無量綱變換， 系統 (1.8) 可化為 (1.10) 這里 (1.11) 在不考慮黏性阻尼 (μ = 0) 和外激勵 (γ = 0) 的情況下， 系統 (1.10) 在切換流形 Σ = f(x， y)丨y = 0g 兩側的動力學方程可化為 (1.12) 通過研究切換流形的法向和它兩側的向量場知道， 系統的軌道均收斂于閉區間 [-1， 1]， 其相圖如圖 1.4 所示. 圖 1.4 系統的相圖 類型 III-混合系統 動力學方程是由連續的微分方程和離散的映射共同組成的混合系統， 這使得系統的軌道關于時間表現出瞬時跳躍的不連續性. 此類系統進一步細分， 可以有下面兩種形式: 混合系統 (1) 系統的軌道與切換流形碰撞后反彈回來. 具有一個切換流形的抽象動力學方程如下所示: (1.13)
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