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線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo) 版權(quán)信息
- ISBN：9787030696014
- 條形碼：9787030696014 ; 978-7-03-069601-4
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊(cè)數(shù)：暫無(wú)
- 重量：暫無(wú)
- 所屬分類：>>
線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo) 內(nèi)容簡(jiǎn)介
《線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)》為幫助學(xué)生鞏固線性代數(shù)的基本知識(shí)，使學(xué)生做到舉一反三、融會(huì)貫通而編寫。《線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)》共4章，內(nèi)容包括行列式與矩陣、向量空間與線性方程組解的結(jié)構(gòu)、線性空間與線性變換、相似矩陣及二次型。每章都配有基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)學(xué)、典型例題解析、練習(xí)題分析、單元測(cè)驗(yàn)題及參考答案。書后附有綜合測(cè)試題及參考答案。
線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo) 目錄
目錄
前言
第1章 矩陣 1
一、基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)學(xué) 1
二、典型例題解析 6
三、練習(xí)題分析 39
四、第1章單元測(cè)驗(yàn)題 46
第2章 線性空間 49
一、基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)學(xué) 49
二、典型例題解析 54
三、練習(xí)題分析 69
四、第2章單元測(cè)驗(yàn)題 72
第3章 線性映射 75
一、基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)學(xué) 75
二、典型例題解析 78
三、練習(xí)題分析 101
四、第3章單元測(cè)驗(yàn)題 104
第4章 歐幾里得空間與二次型 107
一、基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)學(xué) 107
二、典型例題解析 109
三、練習(xí)題分析 120
四、第4章單元測(cè)驗(yàn)題 122
單元測(cè)驗(yàn)題參考答案 124
第1章單元測(cè)驗(yàn)題參考答案 124
第2章單元測(cè)驗(yàn)題參考答案 125
第3章單元測(cè)驗(yàn)題參考答案 127
第4章單元測(cè)驗(yàn)題參考答案 130
綜合測(cè)試題及參考答案 132
綜合測(cè)試題1 132
綜合測(cè)試題2 134
綜合測(cè)試題3 136
綜合測(cè)試題1參考答案 138
綜合測(cè)試題2參考答案 143
綜合測(cè)試題3參考答案 146
前言
第1章 矩陣 1
一、基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)學(xué) 1
二、典型例題解析 6
三、練習(xí)題分析 39
四、第1章單元測(cè)驗(yàn)題 46
第2章 線性空間 49
一、基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)學(xué) 49
二、典型例題解析 54
三、練習(xí)題分析 69
四、第2章單元測(cè)驗(yàn)題 72
第3章 線性映射 75
一、基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)學(xué) 75
二、典型例題解析 78
三、練習(xí)題分析 101
四、第3章單元測(cè)驗(yàn)題 104
第4章 歐幾里得空間與二次型 107
一、基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)學(xué) 107
二、典型例題解析 109
三、練習(xí)題分析 120
四、第4章單元測(cè)驗(yàn)題 122
單元測(cè)驗(yàn)題參考答案 124
第1章單元測(cè)驗(yàn)題參考答案 124
第2章單元測(cè)驗(yàn)題參考答案 125
第3章單元測(cè)驗(yàn)題參考答案 127
第4章單元測(cè)驗(yàn)題參考答案 130
綜合測(cè)試題及參考答案 132
綜合測(cè)試題1 132
綜合測(cè)試題2 134
綜合測(cè)試題3 136
綜合測(cè)試題1參考答案 138
綜合測(cè)試題2參考答案 143
綜合測(cè)試題3參考答案 146
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線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo) 節(jié)選
第1章 矩陣 一、基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)學(xué) 1.基本概念 (1)矩陣乘法:設(shè)記其中稱矩陣是與的乘積，記為 (2)線性方程組:稱為個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的線性方程組或簡(jiǎn)稱為元線性方程組. 記 則線性方程組可由矩陣形式表示為 稱為方程組的系數(shù)矩陣，為方程組的增廣矩陣. 若稱為齊次線性方程組;若稱為非齊次線性方程組. (3)方陣的行列式的定義: 其中為排列的逆序數(shù). (4)余子式:去掉方陣的行列式的元素所在的行與列，剩下的元素所構(gòu)成的行列式稱為的余子式，記為稱為的代數(shù)余子式. (5)可逆矩陣:設(shè)是階方陣，如果存在階方陣，使得則稱矩陣是可逆的，并稱矩陣是的逆矩陣. 可逆矩陣又稱為非奇異矩陣. (6)伴隨矩陣:設(shè)是階方陣，是行列式中元素的代數(shù)余子式，稱方陣為的伴隨矩陣. (7)矩陣的初等行變換: ①對(duì)換:交換矩陣的兩行，記作; ②倍乘:用數(shù)乘矩陣的第行，記作; ③倍加:把矩陣的第行的倍加到第行上去，記作. 類似地，將定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變換. 初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換. (8)矩陣等價(jià):若矩陣經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣，則稱矩陣與等價(jià)，記作. (9)初等矩陣:由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣. (10)行階梯形矩陣:矩陣的零行在非零行的下方，每個(gè)非零行的**個(gè)非零元素(即主元)均在上一行**個(gè)非零元素的右邊. (11)行*簡(jiǎn)形矩陣:一個(gè)行階梯形矩陣，滿足每一個(gè)非零行的**個(gè)非零元(即主元)均是1，每個(gè)非零行的**個(gè)非零元所在列的其他元素都是零. (12)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣:如果矩陣的左上角為r階單位矩陣，其余元素為零，則稱為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣. (13)矩陣的秩:矩陣的不等于零的子式的*高階數(shù)稱為矩陣的秩，記作rank(A)(或).并規(guī)定零矩陣的秩是零. 2.主要定理與結(jié)論 (1)矩陣乘法滿足結(jié)合律，一般不滿足交換律. (2)分塊矩陣相乘，前一矩陣的列分塊法與后一矩陣的行分塊法必須一致. (3)行列式與其轉(zhuǎn)置行列式的值相等，即. (4)對(duì)換行列式的i，j兩行(或兩列)，行列式的值變號(hào)，即.特別地，如果行列式有兩行(列)相同，則行列式等于零. (5)行列式的某一行(列)如果有公因數(shù)k，則k可以提到行列式符號(hào)外，即，若行列式的某一行(列)元素全為零，則行列式等于零;若行列式有兩行(列)成比例，則行列式等于零. (6)把行列式第i行(列)各元素的k倍加到第j行(列)的對(duì)應(yīng)元素上(記作)，其值不變. (7)若行列式某一行(列)的元素均可表示為兩項(xiàng)之和，則 (8)設(shè)D為n階行列式，為元素aij的代數(shù)余子式，那么 (9)上(下)三角行列式D的值等于其對(duì)角線上元素的乘積，即 (10)設(shè)為階方陣，若則都是可逆的，且 (11)若可逆，則，也可逆，且 (12)設(shè)A為n階方陣，則 (13)階方陣可逆的充分必要條件是，且若可逆，則. (14)分塊對(duì)角陣的冪(或逆矩陣)等于各子塊的冪(逆)構(gòu)成的分塊對(duì)角陣. (15)設(shè)均為可逆方陣，令，則可逆，且， (16)對(duì)一個(gè)矩陣施行一次初等行(列)變換，相當(dāng)于在左(右)邊乘上相應(yīng)的階(階)初等矩陣. (17)對(duì)于矩陣可經(jīng)過(guò)初等變換(行變換和列變換)把它化為標(biāo)準(zhǔn)形，此標(biāo)準(zhǔn)形由三個(gè)數(shù)完全確定，其中是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).等價(jià)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形相同. (18)方陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)?shù)男?簡(jiǎn)形為單位矩陣. (19)方陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)?shù)葍r(jià)于單位矩陣. (20)方陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)能表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積. (21)n階方陣可逆當(dāng)且僅當(dāng). (22)設(shè)為的矩陣，則 ①; ②的充要條件為的所有階子式全為0; ③的充要條件為存在的階子式不等于0; ④矩陣經(jīng)初等變換后其秩不變; ⑤若為可逆矩陣，則; ⑥設(shè)為矩陣，為矩陣，則; ⑦設(shè)為矩陣，為矩陣，則; ⑧若均為矩陣，則; ⑨若，則; ⑩若，則可表示為一個(gè)列矩陣與一個(gè)行矩陣之積. (23)線性方程組的基本定理. ①齊次線性方程組. n元線性方程組只有零解的充分必要條件是; n元線性方程組有非零解的充分必要條件是. ②非齊次線性方程組. n元線性方程組無(wú)解的充分必要條件是; n元線性方程組有解的充分必要條件是其中有**解有無(wú)窮多解. ③克拉默法則. n個(gè)未知量n個(gè)方程的線性方程組 (*) 當(dāng)(且僅當(dāng))它的系數(shù)行列式時(shí)，有**解其中是把行列式D的第j列的元素?fù)Q成方程組的常數(shù)項(xiàng)而得到的n階行列式. 對(duì)于齊次線性方程組，根據(jù)克拉默法則，如果它的系數(shù)行列式，那么它只有零解.因此，如果該方程組有非零解，則必有系數(shù)行列式. 3.主要問(wèn)題與方法 (1)行列式的計(jì)算. 計(jì)算行列式，要根據(jù)行列式的特點(diǎn)采用相應(yīng)的方法.常用方法有:利用定義;利用行列式的性質(zhì)化行列式為上(下)三角行列式;按某行(列)展開等. (2)與代數(shù)余子式相關(guān)的問(wèn)題. 我們往往利用下述表達(dá)式簡(jiǎn)化與代數(shù)余子式相關(guān)的問(wèn)題.設(shè)n階行列式，那么 (3)求矩陣的逆矩陣的常用方法. ①利用定義; ②利用伴隨矩陣; ③利用初等行(列)變換. (4)求矩陣秩的常用方法. ①利用定義，求矩陣不為零的子式的*高階數(shù); ②利用初等行變換化矩陣為行階梯形; ③利用矩陣秩的相關(guān)性質(zhì). (5)線性方程組問(wèn)題. 求齊次線性方程組解的步驟: ①用初等行變換化方程組的系數(shù)矩陣為行*簡(jiǎn)形矩陣 ②寫出的同解線性方程組 ③確定自由未知量，并把非自由未知量用自由未知量表示; ④令自由未知量為任意常數(shù)，將方程組的解寫成向量(矩陣)的形式，其中為任意常數(shù). 求非齊次線性方程組的解的步驟: ①寫出增廣矩陣，用初等行變換化為階梯形矩陣; ②利用線性方程組的基本定理判斷方程組是否有解，若方程組有解，繼續(xù)下一步; ③把階梯形矩陣化為行*簡(jiǎn)形矩陣; ④寫出同解線性方程組確定自由未知量，并把非自由未知量用自由未知量表示; ⑤令自由未知量為任意常數(shù)，將方程組的解寫成向量(矩陣)的形式其中為任意常數(shù). 當(dāng)方程組中方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相等時(shí)，此類問(wèn)題也可直接利用克拉默法則. 二、典型例題解析 例1.1～例1.13主要是有關(guān)行列式的例題. 例1.1 計(jì)算n階行列式 分析此行列式中每行(列)僅有一個(gè)非零元素，故可以利用行列式的定義計(jì)算行列式，或者利用行列式的性質(zhì)化行列式為上(下)三角行列式，或者直接按某行(列)展開進(jìn)行計(jì)算.
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