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高等數學(下)(第二版) 版權信息
- ISBN：9787030690463
- 條形碼：9787030690463 ; 978-7-03-069046-3
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
高等數學(下)(第二版) 內容簡介
《高等數學(上、下)》(第二版)是根據編者多年的教學實踐經驗和研究成果,按照新形勢下教材改革精神,結合**《工科類本科數學基礎課程教學基本要求》編寫而成的.
本書為下冊,內容包含常微分方程、空間解析幾何與向量代數、多元函數微分學及其應用、重積分、曲線積分與曲面積分、無窮級數等內容.書中每節配有習題,每章末配有綜合性習題,書末附有習題答案與提示.本書對概念、方法的描述力求循序漸進、簡明易懂;內容重點突出、難點分散;精選例題和習題,具有代表性和啟發性.
高等數學(下)(第二版) 目錄
目錄
第7章 常微分方程 1
7.1 微分方程的基本概念 1
習題7.1 3
7.2 一階微分方程及其解法 3
7.2.1 可分離變量的微分方程 4
7.2.2 齊次方程 7
7.2.3 一階線性微分方程 8
*7.2.4 伯努利方程 11
習題7.2 14
7.3 可降階的高階微分方程 15
7.3.1 y(n) = f (x)型的微分方程 15
7.3.2 y″= f (x， y′)型的微分方程 16
7.3.3 y″= f (y， y′)型的微分方程 17
習題7.3 19
7.4 高階線性微分方程解的結構 20
7.4.1 函數組的線性相關與線性無關 20
7.4.2 齊次線性微分方程解的結構 21
7.4.3 非齊次線性微分方程解的結構 22
習題7.4 23
7.5 常系數齊次線性微分方程 23
7.5.1 二階常系數齊次線性微分方程 23
7.5.2 n階常系數齊次線性微分方程 26
習題7.5 28
7.6 常系數非齊次線性微分方程 28
7.6.1 f (x) = Pm(x)eλx型 29
7.6.2 f (x) = eλx[Pl(x)cos ωx + (x)sin ωx]型 30
習題7.6 32
*7.7 差分方程 33
7.7.1 差分的定義 33
7.7.2 差分方程的概念 35
7.7.3 常系數線性差分方程的解 36
習題7.7 44
數學家簡介7 45
總習題7 46
第8章 空間解析幾何與向量代數 49
8.1 向量及其線性運算 49
8.1.1 空間直角坐標系 49
8.1.2 向量概念 50
8.1.3 向量的線性運算 51
8.1.4 向量的模、方向角、投影 54
習題8.1 55
8.2 數量積與向量積 56
8.2.1 兩向量的數量積 56
8.2.2 兩向量的向量積 58
*8.2.3 向量的混合積 60
習題8.2 61
8.3 平面及其方程 61
8.3.1 曲面方程與空間曲線的方程的概念 61
8.3.2 平面的點法式方程 62
8.3.3 平面的一般方程 63
8.3.4 兩平面的夾角 64
8.3.5 點到平面的距離 65
習題8.3 65
8.4 空間直線及其方程 66
8.4.1 空間直線的一般方程 66
8.4.2 空間直線的點向式方程與參數方程 66
8.4.3 兩直線的夾角 67
8.4.4 直線與平面的夾角 68
習題8.4 70
8.5 曲面及其方程 71
8.5.1 球面方程 71
8.5.2 旋轉曲面 72
8.5.3 柱面 73
8.5.4 二次曲面 75
習題8.5 78
8.6 空間曲線及其方程 79
8.6.1 空間曲線的一般方程 79
8.6.2 空間曲線的參數方程 80
8.6.3 空間曲線在坐標面上的投影 81
習題8.6 82
數學家簡介8 83
總習題8 84
第9章 多元函數微分學及其應用 85
9.1 多元函數的基本概念 85
9.1.1 平面點集與n維空間 85
9.1.2 多元函數的概念 87
9.1.3 二元函數的極限 89
9.1.4 二元函數的連續性 91
習題9.1 92
9.2 偏導數 93
9.2.1 偏導數的概念及幾何意義 93
9.2.2 高階偏導數 96
習題9.2 98
9.3 全微分及其應用 99
9.3.1 全微分的概念 99
9.3.2 全微分在近似計算中的應用 102
習題9.3 103
9.4 多元復合函數的求導法則及全微分形式不變性 103
9.4.1 多元復合函數的求導法則 103
9.4.2 全微分形式不變性 107
習題9.4 108
9.5 隱函數的求導法則 109
9.5.1 一個方程確定的隱函數的情形 109
9.5.2 方程組確定的隱函數(組)的情形 112
習題9.5 115
9.6 多元函數微分學的幾何應用 116
9.6.1 向量值函數的概念 116
9.6.2 空間曲線的切線與法平面 117
9.6.3 曲面的切平面與法線 119
習題9.6 121
9.7 方向導數與梯度 122
9.7.1 方向導數 122
9.7.2 梯度 124
9.7.3 方向導數和梯度向量的關系 125
9.7.4 梯度的幾何意義 127
習題9.7 127
9.8 多元函數的極值及其求法 128
9.8.1 多元函數的極值 128
9.8.2 *大值與*小值問題 130
9.8.3 多元函數的條件極值 131
習題9.8 133
數學家簡介9 134
總習題9 134
第10章 重積分 137
10.1 二重積分的概念與性質 137
10.1.1 二重積分的概念 137
10.1.2 二重積分的性質 139
習題10.1 141
10.2 二重積分的計算法 142
10.2.1 利用直角坐標計算二重積分 142
10.2.2 利用極坐標計算二重積分 146
習題10.2 149
10.3 三重積分 150
10.3.1 三重積分的概念 150
10.3.2 三重積分的計算 151
習題10.3 157
10.4 重積分的應用 158
10.4.1 曲面的面積 159
10.4.2 平面薄片與物質的質心 161
10.4.3 平面薄片的轉動慣量 163
10.4.4 引力 164
習題10.4 165
數學家簡介10 166
總習題10 167
第11章 曲線積分與曲面積分 169
11.1 對弧長的曲線積分 169
11.1.1 對弧長的曲線積分的概念與性質 169
11.1.2 對弧長的曲線積分的計算法 170
習題11.1 173
11.2 對坐標的曲線積分 174
11.2.1 對坐標的曲線積分的概念與性質 174
11.2.2 對坐標的曲線積分的計算法 176
11.2.3 兩類曲線積分的關系 177
習題11.2 179
11.3 格林公式及其應用 179
11.3.1 格林公式的概念 179
11.3.2 平面上曲線積分與路徑無關的條件 183
11.3.3 二元函數的全微分求積 185
習題11.3 186
11.4 對面積的曲面積分 187
11.4.1 對面積的曲面積分的概念與性質 187
11.4.2 對面積的曲面積分的計算法 188
習題11.4 190
11.5 對坐標的曲面積分 190
11.5.1 對坐標的曲面積分的概念與性質 190
11.5.2 對坐標的曲面積分的計算法 193
11.5.3 兩類曲面積分間的關系 195
習題11.5 197
11.6 高斯公式和*通量與散度 198
11.6.1 高斯公式 198
*11.6.2 通量與散度 200
習題11.6 201
11.7 斯托克斯公式和*環流量與旋度 202
11.7.1 斯托克斯公式 202
*11.7.2 環流量與旋度 204
習題11.7 205
數學家簡介11 205
總習題11 206
第12章 無窮級數 209
12.1 常數項級數的概念與性質 209
12.1.1 常數項級數的概念 209
12.1.2 收斂級數的基本性質 212
習題12.1 213
12.2 常數項級數的審斂法 214
12.2.1 正項級數及其審斂法 214
12.2.2 交錯級數及其審斂法 219
12.2.3 絕對收斂與條件收斂 221
習題12.2 222
12.3 冪級數 223
12.3.1 函數項級數的概念 223
12.3.2 冪級數及其收斂性 224
12.3.3 冪級數的運算 228
習題12.3 230
12.4 函數展開成冪級數及其應用 231
12.4.1 函數展開成冪級數 231
12.4.2 函數展開成冪級數的應用 237
習題12.4 240
12.5 傅里葉級數 240
12.5.1 問題的提出 241
12.5.2 三角級數、三角函數系的正交性 242
12.5.3 函數展開成傅里葉級數 243
習題12.5 248
12.6 周期函數的傅里葉級數 248
12.6.1 奇函數、偶函數的傅里葉級數 248
12.6.2 周期為2l的周期函數的傅里葉級數 251
習題12.6 254
數學家簡介12 254
總習題12 255
參考文獻 258
習題答案與提示 259
第7章 常微分方程 1
7.1 微分方程的基本概念 1
習題7.1 3
7.2 一階微分方程及其解法 3
7.2.1 可分離變量的微分方程 4
7.2.2 齊次方程 7
7.2.3 一階線性微分方程 8
*7.2.4 伯努利方程 11
習題7.2 14
7.3 可降階的高階微分方程 15
7.3.1 y(n) = f (x)型的微分方程 15
7.3.2 y″= f (x， y′)型的微分方程 16
7.3.3 y″= f (y， y′)型的微分方程 17
習題7.3 19
7.4 高階線性微分方程解的結構 20
7.4.1 函數組的線性相關與線性無關 20
7.4.2 齊次線性微分方程解的結構 21
7.4.3 非齊次線性微分方程解的結構 22
習題7.4 23
7.5 常系數齊次線性微分方程 23
7.5.1 二階常系數齊次線性微分方程 23
7.5.2 n階常系數齊次線性微分方程 26
習題7.5 28
7.6 常系數非齊次線性微分方程 28
7.6.1 f (x) = Pm(x)eλx型 29
7.6.2 f (x) = eλx[Pl(x)cos ωx + (x)sin ωx]型 30
習題7.6 32
*7.7 差分方程 33
7.7.1 差分的定義 33
7.7.2 差分方程的概念 35
7.7.3 常系數線性差分方程的解 36
習題7.7 44
數學家簡介7 45
總習題7 46
第8章 空間解析幾何與向量代數 49
8.1 向量及其線性運算 49
8.1.1 空間直角坐標系 49
8.1.2 向量概念 50
8.1.3 向量的線性運算 51
8.1.4 向量的模、方向角、投影 54
習題8.1 55
8.2 數量積與向量積 56
8.2.1 兩向量的數量積 56
8.2.2 兩向量的向量積 58
*8.2.3 向量的混合積 60
習題8.2 61
8.3 平面及其方程 61
8.3.1 曲面方程與空間曲線的方程的概念 61
8.3.2 平面的點法式方程 62
8.3.3 平面的一般方程 63
8.3.4 兩平面的夾角 64
8.3.5 點到平面的距離 65
習題8.3 65
8.4 空間直線及其方程 66
8.4.1 空間直線的一般方程 66
8.4.2 空間直線的點向式方程與參數方程 66
8.4.3 兩直線的夾角 67
8.4.4 直線與平面的夾角 68
習題8.4 70
8.5 曲面及其方程 71
8.5.1 球面方程 71
8.5.2 旋轉曲面 72
8.5.3 柱面 73
8.5.4 二次曲面 75
習題8.5 78
8.6 空間曲線及其方程 79
8.6.1 空間曲線的一般方程 79
8.6.2 空間曲線的參數方程 80
8.6.3 空間曲線在坐標面上的投影 81
習題8.6 82
數學家簡介8 83
總習題8 84
第9章 多元函數微分學及其應用 85
9.1 多元函數的基本概念 85
9.1.1 平面點集與n維空間 85
9.1.2 多元函數的概念 87
9.1.3 二元函數的極限 89
9.1.4 二元函數的連續性 91
習題9.1 92
9.2 偏導數 93
9.2.1 偏導數的概念及幾何意義 93
9.2.2 高階偏導數 96
習題9.2 98
9.3 全微分及其應用 99
9.3.1 全微分的概念 99
9.3.2 全微分在近似計算中的應用 102
習題9.3 103
9.4 多元復合函數的求導法則及全微分形式不變性 103
9.4.1 多元復合函數的求導法則 103
9.4.2 全微分形式不變性 107
習題9.4 108
9.5 隱函數的求導法則 109
9.5.1 一個方程確定的隱函數的情形 109
9.5.2 方程組確定的隱函數(組)的情形 112
習題9.5 115
9.6 多元函數微分學的幾何應用 116
9.6.1 向量值函數的概念 116
9.6.2 空間曲線的切線與法平面 117
9.6.3 曲面的切平面與法線 119
習題9.6 121
9.7 方向導數與梯度 122
9.7.1 方向導數 122
9.7.2 梯度 124
9.7.3 方向導數和梯度向量的關系 125
9.7.4 梯度的幾何意義 127
習題9.7 127
9.8 多元函數的極值及其求法 128
9.8.1 多元函數的極值 128
9.8.2 *大值與*小值問題 130
9.8.3 多元函數的條件極值 131
習題9.8 133
數學家簡介9 134
總習題9 134
第10章 重積分 137
10.1 二重積分的概念與性質 137
10.1.1 二重積分的概念 137
10.1.2 二重積分的性質 139
習題10.1 141
10.2 二重積分的計算法 142
10.2.1 利用直角坐標計算二重積分 142
10.2.2 利用極坐標計算二重積分 146
習題10.2 149
10.3 三重積分 150
10.3.1 三重積分的概念 150
10.3.2 三重積分的計算 151
習題10.3 157
10.4 重積分的應用 158
10.4.1 曲面的面積 159
10.4.2 平面薄片與物質的質心 161
10.4.3 平面薄片的轉動慣量 163
10.4.4 引力 164
習題10.4 165
數學家簡介10 166
總習題10 167
第11章 曲線積分與曲面積分 169
11.1 對弧長的曲線積分 169
11.1.1 對弧長的曲線積分的概念與性質 169
11.1.2 對弧長的曲線積分的計算法 170
習題11.1 173
11.2 對坐標的曲線積分 174
11.2.1 對坐標的曲線積分的概念與性質 174
11.2.2 對坐標的曲線積分的計算法 176
11.2.3 兩類曲線積分的關系 177
習題11.2 179
11.3 格林公式及其應用 179
11.3.1 格林公式的概念 179
11.3.2 平面上曲線積分與路徑無關的條件 183
11.3.3 二元函數的全微分求積 185
習題11.3 186
11.4 對面積的曲面積分 187
11.4.1 對面積的曲面積分的概念與性質 187
11.4.2 對面積的曲面積分的計算法 188
習題11.4 190
11.5 對坐標的曲面積分 190
11.5.1 對坐標的曲面積分的概念與性質 190
11.5.2 對坐標的曲面積分的計算法 193
11.5.3 兩類曲面積分間的關系 195
習題11.5 197
11.6 高斯公式和*通量與散度 198
11.6.1 高斯公式 198
*11.6.2 通量與散度 200
習題11.6 201
11.7 斯托克斯公式和*環流量與旋度 202
11.7.1 斯托克斯公式 202
*11.7.2 環流量與旋度 204
習題11.7 205
數學家簡介11 205
總習題11 206
第12章 無窮級數 209
12.1 常數項級數的概念與性質 209
12.1.1 常數項級數的概念 209
12.1.2 收斂級數的基本性質 212
習題12.1 213
12.2 常數項級數的審斂法 214
12.2.1 正項級數及其審斂法 214
12.2.2 交錯級數及其審斂法 219
12.2.3 絕對收斂與條件收斂 221
習題12.2 222
12.3 冪級數 223
12.3.1 函數項級數的概念 223
12.3.2 冪級數及其收斂性 224
12.3.3 冪級數的運算 228
習題12.3 230
12.4 函數展開成冪級數及其應用 231
12.4.1 函數展開成冪級數 231
12.4.2 函數展開成冪級數的應用 237
習題12.4 240
12.5 傅里葉級數 240
12.5.1 問題的提出 241
12.5.2 三角級數、三角函數系的正交性 242
12.5.3 函數展開成傅里葉級數 243
習題12.5 248
12.6 周期函數的傅里葉級數 248
12.6.1 奇函數、偶函數的傅里葉級數 248
12.6.2 周期為2l的周期函數的傅里葉級數 251
習題12.6 254
數學家簡介12 254
總習題12 255
參考文獻 258
習題答案與提示 259
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高等數學(下)(第二版) 節選
第7章 常微分方程 研究變量間的函數關系， 是在各學科領域經常遇到的問題. 為了探求這些函數關系， 需要建立方程， 而其中有些方程常常歸納為聯系著自變量、未知函數及未知函數導數(或微分)的方程， 即微分方程. 其在物理、化學、生物學、工程技術和一些社會科學中都有廣泛應用. 微分方程是一門獨立的數學學科， 有完整的理論體系， 本章只介紹常微分方程的一些基本概念和幾種常用的微分方程解法. 7.1 微分方程的基本概念 為了更好地理解微分方程的基本概念， 先看下面幾個例子. 例7.1.1 一曲線過點A(0， 1)， 且在該曲線上任一點M(x， y)處的導數都等于3x2， 求該曲線方程. 解 設所求曲線為y = f (x)， 由題意可知 (7.1.1) 且曲線滿足下列條件: 對式(7.1.1)兩邊同時積分， 得 (7.1.2) 將f (0) = 1代入式(7.1.2)， 有C = 1， 故所求曲線方程為y = x3 + 1. 例7.1.2 (自由落體運動)設質量為m的物體， 只受重力的作用， 在距地面s0處， 以初速度v0下落， 求下落距離s(t)(坐標向上為正)隨時間t的變化規律. 解 由牛頓第二定律， 該問題歸結為求滿足下列方程 (7.1.3) 以及條件的函數s(t)(g為重力加速度). 對式(7.1.3)兩端積分得 (7.1.4) 再對式(7.1.4)兩端積分得 (7.1.5) 式中: C1、C2為任意常數. 將條件代入式(7.1.4)得C1 = v0， 將條件s|t = 0 = s0代入式(7.1.5)得C2 = s0. 故 (7.1.6) 以上兩個例題中的式(7.1.1)、式(7.1.3)都含有未知函數的導數， 它們都是微分方程. 定義7.1.1 (微分方程)表示未知函數、未知函數的導數與自變量之間的關系的方程， 稱為微分方程. 未知函數是一元函數的微分方程， 稱為常微分方程. 未知函數是多元函數的微分方程， 稱為偏微分方程. 本書只研究常微分方程. 微分方程中所含未知函數導數的*高階數稱為微分方程的階. 例如， 方程y′= 3x2是一階微分方程; 方程s″(t) = g是二階微分方程. 又如 y(n) + 1 = 0 是n階微分方程. 一般n階微分方程的形式是 (7.1.7) 這里F(x， y， y′， ， y(n))表示含x， y， y′， ， y(n)的一個數學表達式， 而且一定含有y(n)， 其他量x， y， y′， ， y(n-1)可以不出現. 若能從式(7.1.7)中解出*高階導數， 則可得微分方程 (7.1.8) 在研究某些實際問題時， 先要建立微分方程， 然后求出未知函數， 即求微分方程的解. 定義7.1.2 設函數f = f (x)在區間I上有n階連續導數， 若在區間I上， 有 則函數f = f (x)稱為微分方程F(x， y， y′， ， y(n)) = 0在區間I上的解. 例如， 式(7.1.5)和式(7.1.6)是微分方程式(7.1.3)的解， y = x3 + C和y = x3 + 1都是滿足式(7.1.1)的解. 定義 7.1.3 如果微分方程的解中含有任意常數， 且獨立的任意常數的個數與微分方程的階數相同， 這樣的解稱為微分方程的通解. 例如， 式(7.1.2)、式(7.1.5)分別是微分方程式(7.1.1)和式(7.1.3)的通解. 微分方程的通解所確定的曲線， 稱為方程的積分曲線簇. 往往要求方程的解滿足某些特定條件， 如例7.1.1和例7.1.2中的條件. 通過這些條件， 可以確定通解中的任意常數. 定義7.1.4 對于n階微分方程式(7.1.8)， 給出條件， 當x = x0時， (7.1.9) 式中: y0， y1， ， yn-1是給定的n個常數. 稱式(7.1.9)為n階微分方程式(7.1.8)的初始條件， 將求微分方程式(7.1.8)滿足初始條件式(7.1.9)的求解問題稱為初值問題. 定義7.1.5 微分方程式(7.1.8)的解中不含任何的任意常數， 則稱該解為微分方程(7.18)的特解. 也就是利用初始條件， 確定通解中的任意常數后， 就得到了微分方程的特解. 例如， 函數y = x3 + 1是式(7.1.1)滿足初始條件的特解; 式(7.1.6)是式(7.1.3)滿足初始條件的特解. 例7.1.3 驗證函數y = C1e-x + C2e4x是微分方程 (7.1.10) 的解. 證 求函數的一階導數和二階導數: 將y、y′、y″代入式(7.1.10)， 有 滿足該方程. 故函數y = C1e-x + C2e4x是式(7.1.10)的解. 例7.1.4 已知y = C1e-x + C2e4x是式(7.1.10)的通解， 求滿足y|x = 0 = 0， y′|x = 0 = 5的特解. 解 將y|x - 0 = 0代入y = C1e-x + C2e4x， 得 (7.1.11) 將y′|x = 0 = -5代入y′=-C1e-x + 4C2e4x， 得 (7.1.12) 聯立式(7.1.11)、式(7.1.12)， 解得C1 = 1， C2 =-1. 故所求方程的特解為 y = e-x-e4x. 例7.1.5 求y = C1x + C2e2x(C1、C2為任意常數)所滿足的階數*低的微分方程. 解 將原方程兩邊分別求一階導數和二階導數， 得 由 ， 消去C1、C2， 得所求微分方程為 注意 若將y″= 4C2e2x兩邊求導得， 由此消去C2得微分方程， 這也是原曲線族所滿足的微分方程. 但是滿足條件的階數*低的微分方程. 習題7.1 1. 驗證下列各函數是否為所給微分方程的解. (1) y = 3sinx-4cosx， y″ + y = 0; (2) y = 5x2， xy′= 2y. 2. 在下列各題中確定函數式中所含參數， 使函數滿足所給的初始條件. (1) x2-y2 = C， y|x = 0 = 5; (2) . 3. 求以y = C1e2x + C2e3x為通解的微分方程. 4. 曲線上點P(x， y)處的法線與x軸的交點為Q， 且線段PQ被y軸平分， 寫出該曲線滿足的微分方程. 5. 用微分方程表示一物理命題: 某種氣體的氣壓P對于溫度T的變化率與氣壓成正比， 與溫度的平方成反比. 7.2 一階微分方程及其解法 一階微分方程的一般形式為F(x， y， y′) = 0. 在一定條件下， F(x， y， y′) = 0可寫成y′= f (x， y)或M(x， y)dx + N(x， y)dy = 0.
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