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高等數(shù)學(xué)(下)(第二版) 版權(quán)信息
- ISBN：9787030690463
- 條形碼：9787030690463 ; 978-7-03-069046-3
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數(shù)：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
高等數(shù)學(xué)(下)(第二版) 內(nèi)容簡介
《高等數(shù)學(xué)(上、下)》(第二版)是根據(jù)編者多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和研究成果,按照新形勢下教材改革精神,結(jié)合**《工科類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求》編寫而成的.
本書為下冊,內(nèi)容包含常微分方程、空間解析幾何與向量代數(shù)、多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用、重積分、曲線積分與曲面積分、無窮級數(shù)等內(nèi)容.書中每節(jié)配有習(xí)題,每章末配有綜合性習(xí)題,書末附有習(xí)題答案與提示.本書對概念、方法的描述力求循序漸進(jìn)、簡明易懂;內(nèi)容重點(diǎn)突出、難點(diǎn)分散;精選例題和習(xí)題,具有代表性和啟發(fā)性.
高等數(shù)學(xué)(下)(第二版) 目錄
目錄
第7章 常微分方程 1
7.1 微分方程的基本概念 1
習(xí)題7.1 3
7.2 一階微分方程及其解法 3
7.2.1 可分離變量的微分方程 4
7.2.2 齊次方程 7
7.2.3 一階線性微分方程 8
*7.2.4 伯努利方程 11
習(xí)題7.2 14
7.3 可降階的高階微分方程 15
7.3.1 y(n) = f (x)型的微分方程 15
7.3.2 y″= f (x， y′)型的微分方程 16
7.3.3 y″= f (y， y′)型的微分方程 17
習(xí)題7.3 19
7.4 高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 20
7.4.1 函數(shù)組的線性相關(guān)與線性無關(guān) 20
7.4.2 齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 21
7.4.3 非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 22
習(xí)題7.4 23
7.5 常系數(shù)齊次線性微分方程 23
7.5.1 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 23
7.5.2 n階常系數(shù)齊次線性微分方程 26
習(xí)題7.5 28
7.6 常系數(shù)非齊次線性微分方程 28
7.6.1 f (x) = Pm(x)eλx型 29
7.6.2 f (x) = eλx[Pl(x)cos ωx + (x)sin ωx]型 30
習(xí)題7.6 32
*7.7 差分方程 33
7.7.1 差分的定義 33
7.7.2 差分方程的概念 35
7.7.3 常系數(shù)線性差分方程的解 36
習(xí)題7.7 44
數(shù)學(xué)家簡介7 45
總習(xí)題7 46
第8章 空間解析幾何與向量代數(shù) 49
8.1 向量及其線性運(yùn)算 49
8.1.1 空間直角坐標(biāo)系 49
8.1.2 向量概念 50
8.1.3 向量的線性運(yùn)算 51
8.1.4 向量的模、方向角、投影 54
習(xí)題8.1 55
8.2 數(shù)量積與向量積 56
8.2.1 兩向量的數(shù)量積 56
8.2.2 兩向量的向量積 58
*8.2.3 向量的混合積 60
習(xí)題8.2 61
8.3 平面及其方程 61
8.3.1 曲面方程與空間曲線的方程的概念 61
8.3.2 平面的點(diǎn)法式方程 62
8.3.3 平面的一般方程 63
8.3.4 兩平面的夾角 64
8.3.5 點(diǎn)到平面的距離 65
習(xí)題8.3 65
8.4 空間直線及其方程 66
8.4.1 空間直線的一般方程 66
8.4.2 空間直線的點(diǎn)向式方程與參數(shù)方程 66
8.4.3 兩直線的夾角 67
8.4.4 直線與平面的夾角 68
習(xí)題8.4 70
8.5 曲面及其方程 71
8.5.1 球面方程 71
8.5.2 旋轉(zhuǎn)曲面 72
8.5.3 柱面 73
8.5.4 二次曲面 75
習(xí)題8.5 78
8.6 空間曲線及其方程 79
8.6.1 空間曲線的一般方程 79
8.6.2 空間曲線的參數(shù)方程 80
8.6.3 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 81
習(xí)題8.6 82
數(shù)學(xué)家簡介8 83
總習(xí)題8 84
第9章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用 85
9.1 多元函數(shù)的基本概念 85
9.1.1 平面點(diǎn)集與n維空間 85
9.1.2 多元函數(shù)的概念 87
9.1.3 二元函數(shù)的極限 89
9.1.4 二元函數(shù)的連續(xù)性 91
習(xí)題9.1 92
9.2 偏導(dǎo)數(shù) 93
9.2.1 偏導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義 93
9.2.2 高階偏導(dǎo)數(shù) 96
習(xí)題9.2 98
9.3 全微分及其應(yīng)用 99
9.3.1 全微分的概念 99
9.3.2 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 102
習(xí)題9.3 103
9.4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及全微分形式不變性 103
9.4.1 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 103
9.4.2 全微分形式不變性 107
習(xí)題9.4 108
9.5 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 109
9.5.1 一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的情形 109
9.5.2 方程組確定的隱函數(shù)(組)的情形 112
習(xí)題9.5 115
9.6 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 116
9.6.1 向量值函數(shù)的概念 116
9.6.2 空間曲線的切線與法平面 117
9.6.3 曲面的切平面與法線 119
習(xí)題9.6 121
9.7 方向?qū)?shù)與梯度 122
9.7.1 方向?qū)?shù) 122
9.7.2 梯度 124
9.7.3 方向?qū)?shù)和梯度向量的關(guān)系 125
9.7.4 梯度的幾何意義 127
習(xí)題9.7 127
9.8 多元函數(shù)的極值及其求法 128
9.8.1 多元函數(shù)的極值 128
9.8.2 *大值與*小值問題 130
9.8.3 多元函數(shù)的條件極值 131
習(xí)題9.8 133
數(shù)學(xué)家簡介9 134
總習(xí)題9 134
第10章 重積分 137
10.1 二重積分的概念與性質(zhì) 137
10.1.1 二重積分的概念 137
10.1.2 二重積分的性質(zhì) 139
習(xí)題10.1 141
10.2 二重積分的計(jì)算法 142
10.2.1 利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 142
10.2.2 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 146
習(xí)題10.2 149
10.3 三重積分 150
10.3.1 三重積分的概念 150
10.3.2 三重積分的計(jì)算 151
習(xí)題10.3 157
10.4 重積分的應(yīng)用 158
10.4.1 曲面的面積 159
10.4.2 平面薄片與物質(zhì)的質(zhì)心 161
10.4.3 平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 163
10.4.4 引力 164
習(xí)題10.4 165
數(shù)學(xué)家簡介10 166
總習(xí)題10 167
第11章 曲線積分與曲面積分 169
11.1 對弧長的曲線積分 169
11.1.1 對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì) 169
11.1.2 對弧長的曲線積分的計(jì)算法 170
習(xí)題11.1 173
11.2 對坐標(biāo)的曲線積分 174
11.2.1 對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì) 174
11.2.2 對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法 176
11.2.3 兩類曲線積分的關(guān)系 177
習(xí)題11.2 179
11.3 格林公式及其應(yīng)用 179
11.3.1 格林公式的概念 179
11.3.2 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件 183
11.3.3 二元函數(shù)的全微分求積 185
習(xí)題11.3 186
11.4 對面積的曲面積分 187
11.4.1 對面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 187
11.4.2 對面積的曲面積分的計(jì)算法 188
習(xí)題11.4 190
11.5 對坐標(biāo)的曲面積分 190
11.5.1 對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 190
11.5.2 對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法 193
11.5.3 兩類曲面積分間的關(guān)系 195
習(xí)題11.5 197
11.6 高斯公式和*通量與散度 198
11.6.1 高斯公式 198
*11.6.2 通量與散度 200
習(xí)題11.6 201
11.7 斯托克斯公式和*環(huán)流量與旋度 202
11.7.1 斯托克斯公式 202
*11.7.2 環(huán)流量與旋度 204
習(xí)題11.7 205
數(shù)學(xué)家簡介11 205
總習(xí)題11 206
第12章 無窮級數(shù) 209
12.1 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念與性質(zhì) 209
12.1.1 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 209
12.1.2 收斂級數(shù)的基本性質(zhì) 212
習(xí)題12.1 213
12.2 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法 214
12.2.1 正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法 214
12.2.2 交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法 219
12.2.3 絕對收斂與條件收斂 221
習(xí)題12.2 222
12.3 冪級數(shù) 223
12.3.1 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 223
12.3.2 冪級數(shù)及其收斂性 224
12.3.3 冪級數(shù)的運(yùn)算 228
習(xí)題12.3 230
12.4 函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應(yīng)用 231
12.4.1 函數(shù)展開成冪級數(shù) 231
12.4.2 函數(shù)展開成冪級數(shù)的應(yīng)用 237
習(xí)題12.4 240
12.5 傅里葉級數(shù) 240
12.5.1 問題的提出 241
12.5.2 三角級數(shù)、三角函數(shù)系的正交性 242
12.5.3 函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) 243
習(xí)題12.5 248
12.6 周期函數(shù)的傅里葉級數(shù) 248
12.6.1 奇函數(shù)、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù) 248
12.6.2 周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù) 251
習(xí)題12.6 254
數(shù)學(xué)家簡介12 254
總習(xí)題12 255
參考文獻(xiàn) 258
習(xí)題答案與提示 259
第7章 常微分方程 1
7.1 微分方程的基本概念 1
習(xí)題7.1 3
7.2 一階微分方程及其解法 3
7.2.1 可分離變量的微分方程 4
7.2.2 齊次方程 7
7.2.3 一階線性微分方程 8
*7.2.4 伯努利方程 11
習(xí)題7.2 14
7.3 可降階的高階微分方程 15
7.3.1 y(n) = f (x)型的微分方程 15
7.3.2 y″= f (x， y′)型的微分方程 16
7.3.3 y″= f (y， y′)型的微分方程 17
習(xí)題7.3 19
7.4 高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 20
7.4.1 函數(shù)組的線性相關(guān)與線性無關(guān) 20
7.4.2 齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 21
7.4.3 非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 22
習(xí)題7.4 23
7.5 常系數(shù)齊次線性微分方程 23
7.5.1 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 23
7.5.2 n階常系數(shù)齊次線性微分方程 26
習(xí)題7.5 28
7.6 常系數(shù)非齊次線性微分方程 28
7.6.1 f (x) = Pm(x)eλx型 29
7.6.2 f (x) = eλx[Pl(x)cos ωx + (x)sin ωx]型 30
習(xí)題7.6 32
*7.7 差分方程 33
7.7.1 差分的定義 33
7.7.2 差分方程的概念 35
7.7.3 常系數(shù)線性差分方程的解 36
習(xí)題7.7 44
數(shù)學(xué)家簡介7 45
總習(xí)題7 46
第8章 空間解析幾何與向量代數(shù) 49
8.1 向量及其線性運(yùn)算 49
8.1.1 空間直角坐標(biāo)系 49
8.1.2 向量概念 50
8.1.3 向量的線性運(yùn)算 51
8.1.4 向量的模、方向角、投影 54
習(xí)題8.1 55
8.2 數(shù)量積與向量積 56
8.2.1 兩向量的數(shù)量積 56
8.2.2 兩向量的向量積 58
*8.2.3 向量的混合積 60
習(xí)題8.2 61
8.3 平面及其方程 61
8.3.1 曲面方程與空間曲線的方程的概念 61
8.3.2 平面的點(diǎn)法式方程 62
8.3.3 平面的一般方程 63
8.3.4 兩平面的夾角 64
8.3.5 點(diǎn)到平面的距離 65
習(xí)題8.3 65
8.4 空間直線及其方程 66
8.4.1 空間直線的一般方程 66
8.4.2 空間直線的點(diǎn)向式方程與參數(shù)方程 66
8.4.3 兩直線的夾角 67
8.4.4 直線與平面的夾角 68
習(xí)題8.4 70
8.5 曲面及其方程 71
8.5.1 球面方程 71
8.5.2 旋轉(zhuǎn)曲面 72
8.5.3 柱面 73
8.5.4 二次曲面 75
習(xí)題8.5 78
8.6 空間曲線及其方程 79
8.6.1 空間曲線的一般方程 79
8.6.2 空間曲線的參數(shù)方程 80
8.6.3 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 81
習(xí)題8.6 82
數(shù)學(xué)家簡介8 83
總習(xí)題8 84
第9章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用 85
9.1 多元函數(shù)的基本概念 85
9.1.1 平面點(diǎn)集與n維空間 85
9.1.2 多元函數(shù)的概念 87
9.1.3 二元函數(shù)的極限 89
9.1.4 二元函數(shù)的連續(xù)性 91
習(xí)題9.1 92
9.2 偏導(dǎo)數(shù) 93
9.2.1 偏導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義 93
9.2.2 高階偏導(dǎo)數(shù) 96
習(xí)題9.2 98
9.3 全微分及其應(yīng)用 99
9.3.1 全微分的概念 99
9.3.2 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 102
習(xí)題9.3 103
9.4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及全微分形式不變性 103
9.4.1 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 103
9.4.2 全微分形式不變性 107
習(xí)題9.4 108
9.5 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 109
9.5.1 一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的情形 109
9.5.2 方程組確定的隱函數(shù)(組)的情形 112
習(xí)題9.5 115
9.6 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 116
9.6.1 向量值函數(shù)的概念 116
9.6.2 空間曲線的切線與法平面 117
9.6.3 曲面的切平面與法線 119
習(xí)題9.6 121
9.7 方向?qū)?shù)與梯度 122
9.7.1 方向?qū)?shù) 122
9.7.2 梯度 124
9.7.3 方向?qū)?shù)和梯度向量的關(guān)系 125
9.7.4 梯度的幾何意義 127
習(xí)題9.7 127
9.8 多元函數(shù)的極值及其求法 128
9.8.1 多元函數(shù)的極值 128
9.8.2 *大值與*小值問題 130
9.8.3 多元函數(shù)的條件極值 131
習(xí)題9.8 133
數(shù)學(xué)家簡介9 134
總習(xí)題9 134
第10章 重積分 137
10.1 二重積分的概念與性質(zhì) 137
10.1.1 二重積分的概念 137
10.1.2 二重積分的性質(zhì) 139
習(xí)題10.1 141
10.2 二重積分的計(jì)算法 142
10.2.1 利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 142
10.2.2 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 146
習(xí)題10.2 149
10.3 三重積分 150
10.3.1 三重積分的概念 150
10.3.2 三重積分的計(jì)算 151
習(xí)題10.3 157
10.4 重積分的應(yīng)用 158
10.4.1 曲面的面積 159
10.4.2 平面薄片與物質(zhì)的質(zhì)心 161
10.4.3 平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 163
10.4.4 引力 164
習(xí)題10.4 165
數(shù)學(xué)家簡介10 166
總習(xí)題10 167
第11章 曲線積分與曲面積分 169
11.1 對弧長的曲線積分 169
11.1.1 對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì) 169
11.1.2 對弧長的曲線積分的計(jì)算法 170
習(xí)題11.1 173
11.2 對坐標(biāo)的曲線積分 174
11.2.1 對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì) 174
11.2.2 對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法 176
11.2.3 兩類曲線積分的關(guān)系 177
習(xí)題11.2 179
11.3 格林公式及其應(yīng)用 179
11.3.1 格林公式的概念 179
11.3.2 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件 183
11.3.3 二元函數(shù)的全微分求積 185
習(xí)題11.3 186
11.4 對面積的曲面積分 187
11.4.1 對面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 187
11.4.2 對面積的曲面積分的計(jì)算法 188
習(xí)題11.4 190
11.5 對坐標(biāo)的曲面積分 190
11.5.1 對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 190
11.5.2 對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法 193
11.5.3 兩類曲面積分間的關(guān)系 195
習(xí)題11.5 197
11.6 高斯公式和*通量與散度 198
11.6.1 高斯公式 198
*11.6.2 通量與散度 200
習(xí)題11.6 201
11.7 斯托克斯公式和*環(huán)流量與旋度 202
11.7.1 斯托克斯公式 202
*11.7.2 環(huán)流量與旋度 204
習(xí)題11.7 205
數(shù)學(xué)家簡介11 205
總習(xí)題11 206
第12章 無窮級數(shù) 209
12.1 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念與性質(zhì) 209
12.1.1 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 209
12.1.2 收斂級數(shù)的基本性質(zhì) 212
習(xí)題12.1 213
12.2 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法 214
12.2.1 正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法 214
12.2.2 交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法 219
12.2.3 絕對收斂與條件收斂 221
習(xí)題12.2 222
12.3 冪級數(shù) 223
12.3.1 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 223
12.3.2 冪級數(shù)及其收斂性 224
12.3.3 冪級數(shù)的運(yùn)算 228
習(xí)題12.3 230
12.4 函數(shù)展開成冪級數(shù)及其應(yīng)用 231
12.4.1 函數(shù)展開成冪級數(shù) 231
12.4.2 函數(shù)展開成冪級數(shù)的應(yīng)用 237
習(xí)題12.4 240
12.5 傅里葉級數(shù) 240
12.5.1 問題的提出 241
12.5.2 三角級數(shù)、三角函數(shù)系的正交性 242
12.5.3 函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) 243
習(xí)題12.5 248
12.6 周期函數(shù)的傅里葉級數(shù) 248
12.6.1 奇函數(shù)、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù) 248
12.6.2 周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù) 251
習(xí)題12.6 254
數(shù)學(xué)家簡介12 254
總習(xí)題12 255
參考文獻(xiàn) 258
習(xí)題答案與提示 259
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高等數(shù)學(xué)(下)(第二版) 節(jié)選
第7章 常微分方程 研究變量間的函數(shù)關(guān)系， 是在各學(xué)科領(lǐng)域經(jīng)常遇到的問題. 為了探求這些函數(shù)關(guān)系， 需要建立方程， 而其中有些方程常常歸納為聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程， 即微分方程. 其在物理、化學(xué)、生物學(xué)、工程技術(shù)和一些社會(huì)科學(xué)中都有廣泛應(yīng)用. 微分方程是一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科， 有完整的理論體系， 本章只介紹常微分方程的一些基本概念和幾種常用的微分方程解法. 7.1 微分方程的基本概念 為了更好地理解微分方程的基本概念， 先看下面幾個(gè)例子. 例7.1.1 一曲線過點(diǎn)A(0， 1)， 且在該曲線上任一點(diǎn)M(x， y)處的導(dǎo)數(shù)都等于3x2， 求該曲線方程. 解 設(shè)所求曲線為y = f (x)， 由題意可知 (7.1.1) 且曲線滿足下列條件: 對式(7.1.1)兩邊同時(shí)積分， 得 (7.1.2) 將f (0) = 1代入式(7.1.2)， 有C = 1， 故所求曲線方程為y = x3 + 1. 例7.1.2 (自由落體運(yùn)動(dòng))設(shè)質(zhì)量為m的物體， 只受重力的作用， 在距地面s0處， 以初速度v0下落， 求下落距離s(t)(坐標(biāo)向上為正)隨時(shí)間t的變化規(guī)律. 解 由牛頓第二定律， 該問題歸結(jié)為求滿足下列方程 (7.1.3) 以及條件的函數(shù)s(t)(g為重力加速度). 對式(7.1.3)兩端積分得 (7.1.4) 再對式(7.1.4)兩端積分得 (7.1.5) 式中: C1、C2為任意常數(shù). 將條件代入式(7.1.4)得C1 = v0， 將條件s|t = 0 = s0代入式(7.1.5)得C2 = s0. 故 (7.1.6) 以上兩個(gè)例題中的式(7.1.1)、式(7.1.3)都含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， 它們都是微分方程. 定義7.1.1 (微分方程)表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程， 稱為微分方程. 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程， 稱為常微分方程. 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程， 稱為偏微分方程. 本書只研究常微分方程. 微分方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的*高階數(shù)稱為微分方程的階. 例如， 方程y′= 3x2是一階微分方程; 方程s″(t) = g是二階微分方程. 又如 y(n) + 1 = 0 是n階微分方程. 一般n階微分方程的形式是 (7.1.7) 這里F(x， y， y′， ， y(n))表示含x， y， y′， ， y(n)的一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式， 而且一定含有y(n)， 其他量x， y， y′， ， y(n-1)可以不出現(xiàn). 若能從式(7.1.7)中解出*高階導(dǎo)數(shù)， 則可得微分方程 (7.1.8) 在研究某些實(shí)際問題時(shí)， 先要建立微分方程， 然后求出未知函數(shù)， 即求微分方程的解. 定義7.1.2 設(shè)函數(shù)f = f (x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， 若在區(qū)間I上， 有 則函數(shù)f = f (x)稱為微分方程F(x， y， y′， ， y(n)) = 0在區(qū)間I上的解. 例如， 式(7.1.5)和式(7.1.6)是微分方程式(7.1.3)的解， y = x3 + C和y = x3 + 1都是滿足式(7.1.1)的解. 定義 7.1.3 如果微分方程的解中含有任意常數(shù)， 且獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同， 這樣的解稱為微分方程的通解. 例如， 式(7.1.2)、式(7.1.5)分別是微分方程式(7.1.1)和式(7.1.3)的通解. 微分方程的通解所確定的曲線， 稱為方程的積分曲線簇. 往往要求方程的解滿足某些特定條件， 如例7.1.1和例7.1.2中的條件. 通過這些條件， 可以確定通解中的任意常數(shù). 定義7.1.4 對于n階微分方程式(7.1.8)， 給出條件， 當(dāng)x = x0時(shí)， (7.1.9) 式中: y0， y1， ， yn-1是給定的n個(gè)常數(shù). 稱式(7.1.9)為n階微分方程式(7.1.8)的初始條件， 將求微分方程式(7.1.8)滿足初始條件式(7.1.9)的求解問題稱為初值問題. 定義7.1.5 微分方程式(7.1.8)的解中不含任何的任意常數(shù)， 則稱該解為微分方程(7.18)的特解. 也就是利用初始條件， 確定通解中的任意常數(shù)后， 就得到了微分方程的特解. 例如， 函數(shù)y = x3 + 1是式(7.1.1)滿足初始條件的特解; 式(7.1.6)是式(7.1.3)滿足初始條件的特解. 例7.1.3 驗(yàn)證函數(shù)y = C1e-x + C2e4x是微分方程 (7.1.10) 的解. 證 求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù): 將y、y′、y″代入式(7.1.10)， 有 滿足該方程. 故函數(shù)y = C1e-x + C2e4x是式(7.1.10)的解. 例7.1.4 已知y = C1e-x + C2e4x是式(7.1.10)的通解， 求滿足y|x = 0 = 0， y′|x = 0 = 5的特解. 解 將y|x - 0 = 0代入y = C1e-x + C2e4x， 得 (7.1.11) 將y′|x = 0 = -5代入y′=-C1e-x + 4C2e4x， 得 (7.1.12) 聯(lián)立式(7.1.11)、式(7.1.12)， 解得C1 = 1， C2 =-1. 故所求方程的特解為 y = e-x-e4x. 例7.1.5 求y = C1x + C2e2x(C1、C2為任意常數(shù))所滿足的階數(shù)*低的微分方程. 解 將原方程兩邊分別求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)， 得 由 ， 消去C1、C2， 得所求微分方程為 注意 若將y″= 4C2e2x兩邊求導(dǎo)得， 由此消去C2得微分方程， 這也是原曲線族所滿足的微分方程. 但是滿足條件的階數(shù)*低的微分方程. 習(xí)題7.1 1. 驗(yàn)證下列各函數(shù)是否為所給微分方程的解. (1) y = 3sinx-4cosx， y″ + y = 0; (2) y = 5x2， xy′= 2y. 2. 在下列各題中確定函數(shù)式中所含參數(shù)， 使函數(shù)滿足所給的初始條件. (1) x2-y2 = C， y|x = 0 = 5; (2) . 3. 求以y = C1e2x + C2e3x為通解的微分方程. 4. 曲線上點(diǎn)P(x， y)處的法線與x軸的交點(diǎn)為Q， 且線段PQ被y軸平分， 寫出該曲線滿足的微分方程. 5. 用微分方程表示一物理命題: 某種氣體的氣壓P對于溫度T的變化率與氣壓成正比， 與溫度的平方成反比. 7.2 一階微分方程及其解法 一階微分方程的一般形式為F(x， y， y′) = 0. 在一定條件下， F(x， y， y′) = 0可寫成y′= f (x， y)或M(x， y)dx + N(x， y)dy = 0.
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