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應用拓撲學基礎 版權信息
- ISBN：9787030695734
- 條形碼：9787030695734 ; 978-7-03-069573-4
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
應用拓撲學基礎 內容簡介
全書共8章.章是集合論基礎;第2章是拓撲空間與連續映射;第3章為構造新拓撲空間的方法;第4章是拓撲性質和相應的特殊類型拓撲空間;第5章介紹網和濾子的收斂,刻畫諸如閉包、連續映射、緊致性等概念;第6章為序結構與內蘊拓撲;第7章為同倫與基本群;第8章是可剖分空間及其單純同調群.書中給出了許多具體實例幫助理解相關概念和定理,各章節均配備了適量的習題以便讀者閱讀和練習.正文帶*號的內容是可不講的內容,習題帶*號的是難度較大的習題.
應用拓撲學基礎 目錄
目錄
前言
第1章 集合論基礎 1
1.1 集合及其基本運算 1
1.2 關系、映射與偏序 3
1.2.1 關系與映射 3
1.2.2 等價關系 6
1.2.3 預序、偏序及全序 7
1.3 集族及其運算 10
1.4 基數與序數 12
1.4.1 可數集 12
1.4.2 基數 13
1.4.3 序數 14
1.5 選擇公理與Zorn引理 16
第2章 拓撲空間與連續映射 18
2.1 度量與度量空間 18
2.2 拓撲與拓撲空間 20
2.3 開集與鄰域 22
2.4 閉集與閉包 24
2.5 內部與邊界 26
2.6 基與子基 27
2.7 連續映射與同胚 30
2.8 序列及其收斂 33
第3章 拓撲空間經典構造方法 35
3.1 子空間 35
3.2 積空間 38
3.3 商拓撲與商空間 41
3.4 商映射 42
第4章 拓撲性質及特殊類型拓撲空間 45
4.1 可分性與可分空間 45
4.2 可數性與可數性空間 46
4.3 連通性與連通空間 49
4.4 道路連通性與道路連通空間 53
4.4.1 道路與曲線 53
4.4.2 道路連通空間與道路連通分支 54
4.5 分離性與Ti空間 56
4.6 緊致性與緊致空間 65
4.7 仿緊性與仿緊空間 73
4.8 度量空間的拓撲性質 76
第5章 收斂理論與拓撲概念刻畫 82
5.1 網的收斂理論 82
5.1.1 網及其收斂 82
5.1.2 收斂類和拓撲 87
5.2 集合濾子及其收斂理論 89
5.3 緊致性的收斂式刻畫和序列緊性 92
第6章 序結構與內蘊拓撲 103
6.1 拓撲空間的特殊化序與Sober空間 103
6.2 分配格、dcpo和完備格 105
6.3 偏序集的內蘊拓撲 108
6.3.1 Alexandrov拓撲、上拓撲和下拓撲 108
6.3.2 Scott拓撲、Lawson拓撲和測度拓撲 109
6.4 偏序集上內蘊拓撲的連通性 113
第7章 同倫與基本群 117
7.1 映射的同倫 118
7.2 基本群 121
7.2.1 道路類的逆和乘積 121
7.2.2 基本群與基點的關系 123
7.3 簡單空間的基本群計算 125
7.3.1 S1的基本群 125
7.3.2 Sn(n2)的基本群 127
7.3.3 T2的基本群 128
7.4 拓撲空間的同倫等價 129
7.5 基本群的同倫不變性 132
7.6 Van-Kampen定理介紹 133
7.7 基本群的應用 135
第8章 可剖分空間及其單純同調群 137
8.1 單純復合形與三角剖分 137
8.1.1 單純形 137
8.1.2 單純復合形 139
8.1.3 多面體與可剖分空間 140
8.2 復形的鏈群與同調群 141
8.2.1 單形的定向與復形的鏈群 142
8.2.2 邊緣同態 143
8.2.3 復形的同調群 144
8.3 同調群的性質及幾何意義 145
8.3.1 同調群的性質 145
8.3.2 同調群的幾何意義 146
8.3.3 Euler-Poincaré公式 147
8.4 同調群計算舉例 148
8.5 單純映射與單純逼近 153
8.5.1 單純映射 153
8.5.2 單純逼近 155
8.6 重心重分與單純逼近存在定理 158
8.7 連續映射誘導的同調群同態 162
8.7.1 同調群的重分不變性 162
8.7.2 連續映射f誘導同態f*q 164
8.7.3 多面體與可剖分空間的同調群 166
8.8 同調群的同倫不變性 167
8.9 映射度與同調群應用 168
參考文獻 171
符號說明 172
名詞索引 178
前言
第1章 集合論基礎 1
1.1 集合及其基本運算 1
1.2 關系、映射與偏序 3
1.2.1 關系與映射 3
1.2.2 等價關系 6
1.2.3 預序、偏序及全序 7
1.3 集族及其運算 10
1.4 基數與序數 12
1.4.1 可數集 12
1.4.2 基數 13
1.4.3 序數 14
1.5 選擇公理與Zorn引理 16
第2章 拓撲空間與連續映射 18
2.1 度量與度量空間 18
2.2 拓撲與拓撲空間 20
2.3 開集與鄰域 22
2.4 閉集與閉包 24
2.5 內部與邊界 26
2.6 基與子基 27
2.7 連續映射與同胚 30
2.8 序列及其收斂 33
第3章 拓撲空間經典構造方法 35
3.1 子空間 35
3.2 積空間 38
3.3 商拓撲與商空間 41
3.4 商映射 42
第4章 拓撲性質及特殊類型拓撲空間 45
4.1 可分性與可分空間 45
4.2 可數性與可數性空間 46
4.3 連通性與連通空間 49
4.4 道路連通性與道路連通空間 53
4.4.1 道路與曲線 53
4.4.2 道路連通空間與道路連通分支 54
4.5 分離性與Ti空間 56
4.6 緊致性與緊致空間 65
4.7 仿緊性與仿緊空間 73
4.8 度量空間的拓撲性質 76
第5章 收斂理論與拓撲概念刻畫 82
5.1 網的收斂理論 82
5.1.1 網及其收斂 82
5.1.2 收斂類和拓撲 87
5.2 集合濾子及其收斂理論 89
5.3 緊致性的收斂式刻畫和序列緊性 92
第6章 序結構與內蘊拓撲 103
6.1 拓撲空間的特殊化序與Sober空間 103
6.2 分配格、dcpo和完備格 105
6.3 偏序集的內蘊拓撲 108
6.3.1 Alexandrov拓撲、上拓撲和下拓撲 108
6.3.2 Scott拓撲、Lawson拓撲和測度拓撲 109
6.4 偏序集上內蘊拓撲的連通性 113
第7章 同倫與基本群 117
7.1 映射的同倫 118
7.2 基本群 121
7.2.1 道路類的逆和乘積 121
7.2.2 基本群與基點的關系 123
7.3 簡單空間的基本群計算 125
7.3.1 S1的基本群 125
7.3.2 Sn(n2)的基本群 127
7.3.3 T2的基本群 128
7.4 拓撲空間的同倫等價 129
7.5 基本群的同倫不變性 132
7.6 Van-Kampen定理介紹 133
7.7 基本群的應用 135
第8章 可剖分空間及其單純同調群 137
8.1 單純復合形與三角剖分 137
8.1.1 單純形 137
8.1.2 單純復合形 139
8.1.3 多面體與可剖分空間 140
8.2 復形的鏈群與同調群 141
8.2.1 單形的定向與復形的鏈群 142
8.2.2 邊緣同態 143
8.2.3 復形的同調群 144
8.3 同調群的性質及幾何意義 145
8.3.1 同調群的性質 145
8.3.2 同調群的幾何意義 146
8.3.3 Euler-Poincaré公式 147
8.4 同調群計算舉例 148
8.5 單純映射與單純逼近 153
8.5.1 單純映射 153
8.5.2 單純逼近 155
8.6 重心重分與單純逼近存在定理 158
8.7 連續映射誘導的同調群同態 162
8.7.1 同調群的重分不變性 162
8.7.2 連續映射f誘導同態f*q 164
8.7.3 多面體與可剖分空間的同調群 166
8.8 同調群的同倫不變性 167
8.9 映射度與同調群應用 168
參考文獻 171
符號說明 172
名詞索引 178
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應用拓撲學基礎 節選
第1章 集合論基礎 本章介紹有關集合論的一些基本知識.這里所介紹的集合論通常稱為“樸素集合論”.我們從“集合”和“元素”兩個基本概念出發給出集合運算、關系、映射、偏序、集合的基數和選擇公理等方面的知識. 1.1 集合及其基本運算 集合是由某些具有某種共同特點的個體構成的全體.這些個體稱為集合的元素或元.我們通常用大寫字母A，B， 表示集合，小寫字母a，b， 表示集合的元素.如果a是A的元素，記作a∈A，讀為a屬于A.如果a不是A的元素，則記作a.∈A，讀為a不屬于A. 我們常用寫出集合全體元素都滿足的共同性質的方法來表示集合.例如，A={x|x是小于4的正整數}，在這里，花括號表示“ 的集合”，豎線表示“使得”這個詞，整個式子讀為“A是所有使得x為小于4的正整數x的集合”.又如，{x|x2=4，且x是正整數}即由一個元素2構成的集合.凡由一個元素構成的集合，常稱為獨點集或單點集.此外，也常將一個有限集合的所有元素列舉出來，再加花括號以表示這個集合.例如，{a，b，c}表示由元素a，b，c構成的集合.習慣上，用N表示全體自然數構成的集合，Z表示全體整數構成的集合，Q表示全體有理數構成的集合，R表示全體實數構成的集合，Z+表示全體正整數構成的集合，Q+表示全體正有理數構成的集合，C表示全體復數構成的集合. 集合也可以沒有元素.例如，平方等于2的有理數的集合.這種沒有元素的集合稱為空集，記作. 如果集合A與B的元素完全相同，就說A與B相等，記作A=B，否則就說A與B不相等，記作A.=B. 如果A的每一個元素都是B的元素，就說A是B的子集，記作A.B或B.A，分別讀為A包含于B或B包含A. 定理1.1.1 設A，B，C是集合，則 (1)A.A; (2)若A.B，B.A，則A=B; (3)若A.B，B.C，則A.C. 我們認為空集包含于任一集合，從而可以得到結論:空集是唯一的. 如果A.B且A.=B，即A的每一個元素都是B的元素，但B中至少有一個元素不是A的元素，就說A是B的真子集，記作A.B，A.B或B.A， B.A，分別讀為A真包含于B和B真包含A. 屬于一個集合的元素可以是各式各樣的.特別地，屬于某集合的元素，其本身也可以是一個集合.為了強調這個特點，這類集合常稱為集族，并用花寫字母A，B， 表示.例如，令A={{1}，.}，則它的元素分別是獨點集{1}和空集. 設X是一個集合，我們常用P(X)，PX或2X表示X的所有子集構成的集合，稱為集合X的冪集.例如，集合{a，b}的冪集. 給定兩個集合A，B，由A中所有元素及B中所有元素可以組成一個集合，稱為集合A與B的并，記作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}.在此采用“或”字并沒有兩者不可兼的意思，也就是說既屬于A又屬于B的元素也屬于A∪B.如果取A與B的公共部分，這個集合稱為集合A與B的交，記作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}.若集合A與B沒有公共元素，即則稱A與B不相交，或相交為空集. 在討論具體問題時，所涉及的各個集合往往都是某特定的集合U的子集.我們稱這樣的特定的集合U為宇宙集或基礎集.在基礎集U明確的情況下，設集A，B.U，則集合稱為A的余集，或補集，記作關于集合B的差集是B∩Ac，或者記作B.A，即B.A={x|x∈B且x.∈A}.這樣的集又稱為B與A之差. 集合的并、交、差三種運算之間，有以下的運算律. 定理1.1.2 設A，B，C是集合，則以下等式成立: (1)(冪等律)A∪A=A，A∩A=A; (2)(交換律)A∪B=B∪A，A∩B=B∩A; (3)(結合律)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C); (4)(分配律)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)，(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C); (5)(De Morgan律)A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)，A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C). 證明這里我們僅給出De Morgan律的**個等式的驗證過程，其余等式的驗證讀者可作為練習自證. 若，則x∈A且.故x∈A且.于且，從而.這說明. 反之，用類似的方法可得.由定理1.1.1(2)知. 在解析幾何中，平面上建立笛卡兒直角坐標系后，平面上的每一點對應著唯一的有序實數對.可以把有序實數對概念推廣到一般集合上.給定集合A，B，集合稱為A與B的笛卡兒積，或稱乘積，記作A×B.在有序偶(x，y)中，x稱為**個坐標，y稱為第二個坐標;A稱為A×B的**個坐標集，B稱為A×B的第二個坐標集.集合A與自身的笛卡兒積A×A常記作A2. 例1.1.3 平面點集R2=R×R是所有有序實數對(x，y)構成的集合. 兩個集合的笛卡兒積定義可以推廣到任意有限個集合的情形.對于任意n個集合A1，A2， ，An，n為正整數，集合{(x1，x2， ，xn)|x1∈A1，x2∈A2， ，xn∈An}稱為A1，A2， ，An的笛卡兒積，記作A1×A2× ×An，其中(x1，x2， ，xn)為有序n元組，xi(1.i.n)稱為(x1，x2， ，xn)的第i個坐標，稱為A1×A2× ×An的第i個坐標集.常記n個集合A的笛卡兒積為An.例如，Rn表示n個實數集R的笛卡兒積. 習題1.1 1.設A1，A2， ，An都是集合，其中n.1.證明:若，則A1=A2= =An. 2.設A是集合.試判斷以下關系式的正確與錯誤: 3.計算和. 4.設A，B1，B2， ，Bn是集合，n為正整數.證明: (1); (2). 5.設X，Y是集合且A，B.X，C，D.Y.證明: (1)(A×C)∩(B×D)=(A∩B)×(C∩D); (2)(A∪B)×(C∪D)=(A×C)∪(A×D)∪(B×C)∪(B×D). 6.設集合A含n個元素，問P(A)含多少個元素? 1.2 關系、映射與偏序 1.2.1 關系與映射 定義1.2.1若R是集合A與B的笛卡兒積A×B的一個子集，即R.A×B，則稱R是從A到B的一個關系.如果(x，y)∈R，則稱x與y是R-相關的，并記作xRy.若X.A，則稱集合{y∈B|存在x∈X，使得xRy}為集合X對于關系R而言的像集，并記作R(X). 定義1.2.2 從集合A到A的關系稱為集合A上的關系.集合A上的關系△(A)={(x，x)|x∈A}稱為恒同關系或者對角線關系，常簡寫△(A)為△. 定義1.2.3 (1)設R是從集合A到B的一個關系.則集合{是從B到A的一個關系，稱為關系R的逆，記作R.1.若Y.B，則A的子集R.1(Y)是集合Y的R.1像集，也稱為集合Y對于關系R而言的原像集. (2)若R是集合U上的關系，則也是U上的關系，稱為R的補關系. 定義1.2.4 設R是從A到B的關系，S是從B到C的關系.則集合存在y∈B使且是從A到C的一個關系，稱為關系R與S的復合，記作. 容易驗證關系的逆與復合運算之間有以下的運算律，證明從略. 定理1.2.5 設R是從集合A到B的一個關系，S是從集合B到C的一個關系，T是從集合C到D的一個關系.則 (1); (2); (3. 數學分析中的函數、群論中的同態、線性代數中的線性變換等概念都有賴于下面所討論的映射概念. 定義1.2.6 設R是從集合A到B的一個關系.如果對每一x∈A，存在唯一y∈B使xRy，則稱R為從集合A到B的映射，并記作R:A→B.此時A稱為映射R的定義域，B稱為映射R的陪域.對每一x∈A使得xRy的那個唯一y∈B稱為x的像或值，記作R(x).稱R(A)={R(a)|a∈A}為映射R的值域.對于每一個y∈B，如果存在x∈A使xRy，則稱x是y的一個原像，y的全體原像集記作R.1(y). 注意y∈B可以沒有原像，也可以有不止一個原像. 今后，常用小寫字母f，g，h， 表示映射. 例1.2.7 設X是集合，A.X.定義使.則易證iA是映射.稱映射iA為從A到X的包含映射，簡稱包含映射.包含映射有時簡記為i:A→X.集合X到X的包含映射特別稱為恒同映射或恒等映射，記作或. 定理1.2.8 設f:A→B是從集合A到B的映射.若，則 (1); (2); (3); (4). 證明(1)若，則f(x)∈X∪Y.故f(x)∈X或f(x)∈Y.于是或，從而.這說明.反之，用類似的方法可以得到. 由定理1.1.1(2)知. (2)和(3)的證明與(1)類似，讀者可作為練習自證. (4)若b∈f(W∪V)，則存在x∈W∪V使f(x)=b，于是，這說明.反過來，若，則存在x∈W∪V使f(x)=b，從而，這說明.由定理1.1.1(2)知(4)中等式成立. 定理1.2.8說明，求映射的像集運算保并，而求原像集運算保并、交、差. 定理1.2.9在證明涉及映射像集的包含式時很有用，我們把它叫做映射像引理. 定理1.2.9 (映射像引理)設f:A→B是映射，X-A，Y-B.則當且僅當. 證明設.下證f(X).Y.對任意y∈f(X)，存在x∈X使得y=f(x).由X.f.1(Y)知y=f(x)∈Y.從而f(X).Y.反過來，設.則對任意x∈X，由知f(x)∈Y.從而.故. 定理1.2.10 設均為映射.則f與g的復合是從集合A到C的映射，即為映射. 證明 注意到映射是特殊的關系，由定義1.2.4和定義1.2.6直接可得. 定義1.2.11 設f:A→B是映射.若B中每個元關于映射f都有原像，即f(A)=B，則稱f是滿射;若A中不同的元關于映射f的像是B中不同的元，即對任意x1，x2∈A，當時，有，則稱f是單射;若f既是單射也是滿射，則稱f是一一映射或一一對應，或雙射. 根據下面的定理(定理1.2.12)，一一映射也稱為可逆映射. 定理1.2.12 設f:A→B是一一映射，則f.1是從集合B到A的一一映射(可記作).并有. 證明因為f是既單且滿的，故對任意y∈B存在唯一x∈A使得x與y是f相關的，即y與x是f.1相關的.由定義1.2.6知f.1是從集合B到A的映射.對任意x∈A，令y=f(x)∈B.則x=f.1(y)，這說明f.1是滿射.又對任意y1，y2∈B，若，則y1=f(x)=y2，這說明是單射，從而是一一映射.由f.1的定義易見. 定義1.2.13 設A，B是集合，X.A.若映射f:A→B和g:X→B滿足條件g.f，即，有f(x)=g(x)，則稱g是f的限制，也稱f是g的一個擴張，記作. 若f:A→B為映射，f(A).D.B，則使任意也是映射，稱為f的一個余限制. 定義1.2.14 定義n個集合A1，A2， ，An的笛卡兒積A1×A2× ×An到它的第i個坐標集Ai的投影映射pi:A1×A2× ×An→Ai使得對任意.投影映射簡稱為投影. 1.2.2 等價關系 定義1.2.15 設R是集合A上的關系，x，y，z∈A. (1)(自反性)若由x∈A可得xRx，即，則稱R是自反關系; (2)(對稱性)若由xRy可得yRx，則稱R是對稱關系; (3)(反對稱性)若由xRy和yRx可得x=y，則稱R是反對稱關系;<
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