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高等代數 版權信息
- ISBN：9787030693372
- 條形碼：9787030693372 ; 978-7-03-069337-2
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
高等代數 內容簡介
全書共九章，內容包括：行列式、矩陣、線性方程組、多項式、線性空間與線性變換、相似標準形、二次型、內積空間.本書遵循由淺入深，在介紹抽象的數學概念時注重來源和不同概念間的內在聯系，書中還有大量精選的例題和習題.
高等代數 目錄
目錄
前言
第1章 行列式 1
1.1 引言 1
1.2 排列 3
1.3 n階行列式 5
1.4 n階行列式的性質及計算 10
1.5 行列式按一行(列)展開 21
1.6 克拉默法則 31
1.7 拉普拉斯定理、行列式的乘法規則 36
復習與提高題1 43
第2章 矩陣 47
2.1 數域 47
2.2 矩陣的概念 49
2.3 矩陣的運算 52
2.4 方陣的逆 63
2.5 初等變換與初等矩陣 69
2.6 分塊矩陣 81
復習與提高題2 89
第3章 線性方程組 93
3.1 消元法 93
3.2 n維向量空間 101
3.3 向量組的線性關系 104
3.4 矩陣的秩 112
3.5 線性方程組的理論 122
復習與提高題3 134
第4章 多項式 138
4.1 一元多項式 138
4.2 多項式的整除 140
4.3 *大公因式 145
4.4 因式分解 150
4.5 多項式函數 155
4.6 復系數與實系數多項式的因式分解 158
4.7 有理系數多項式 161
4.8 多元多項式和對稱多項式 166
復習與提高題4 174
第5章 線性空間 176
5.1 線性空間的定義與簡單性質 176
5.2 維數、基與坐標 179
5.3 基變換與坐標變換 185
5.4 線性子空間 191
5.5 線性空間的同構 203
復習與提高題5 205
第6章 線性變換 208
6.1 線性變換的定義與簡單性質 208
6.2 線性變換的運算 213
6.3 線性變換的矩陣 217
6.4 線性變換的值域與核 226
6.5 特征向量與對角化 231
6.6 不變子空間 248
復習與提高題6 255
第7章 相似標準形 258
7.1λ-矩陣 258
7.2λ-矩陣的等價不變量 265
7.3 特征矩陣 275
7.4 若爾當標準形 284
復習與提高題7 293
第8章 二次型 295
8.1 二次型的矩陣表示與矩陣的合同 295
8.2 標準形 298
8.3 慣性定理 308
8.4 正定二次型與正定矩陣 312
復習與提高題8 318
第9章 內積空間及其線性變換 322
9.1 實內積空間的概念 322
9.2 歐氏空間的正交性 327
9.3 歐氏空間的線性變換 337
9.4 實對稱矩陣的標準形 342
9.5 向量到子空間的距離、*小二乘法 350
9.6 酉空間 355
復習與提高題9 357
參考文獻 360
前言
第1章 行列式 1
1.1 引言 1
1.2 排列 3
1.3 n階行列式 5
1.4 n階行列式的性質及計算 10
1.5 行列式按一行(列)展開 21
1.6 克拉默法則 31
1.7 拉普拉斯定理、行列式的乘法規則 36
復習與提高題1 43
第2章 矩陣 47
2.1 數域 47
2.2 矩陣的概念 49
2.3 矩陣的運算 52
2.4 方陣的逆 63
2.5 初等變換與初等矩陣 69
2.6 分塊矩陣 81
復習與提高題2 89
第3章 線性方程組 93
3.1 消元法 93
3.2 n維向量空間 101
3.3 向量組的線性關系 104
3.4 矩陣的秩 112
3.5 線性方程組的理論 122
復習與提高題3 134
第4章 多項式 138
4.1 一元多項式 138
4.2 多項式的整除 140
4.3 *大公因式 145
4.4 因式分解 150
4.5 多項式函數 155
4.6 復系數與實系數多項式的因式分解 158
4.7 有理系數多項式 161
4.8 多元多項式和對稱多項式 166
復習與提高題4 174
第5章 線性空間 176
5.1 線性空間的定義與簡單性質 176
5.2 維數、基與坐標 179
5.3 基變換與坐標變換 185
5.4 線性子空間 191
5.5 線性空間的同構 203
復習與提高題5 205
第6章 線性變換 208
6.1 線性變換的定義與簡單性質 208
6.2 線性變換的運算 213
6.3 線性變換的矩陣 217
6.4 線性變換的值域與核 226
6.5 特征向量與對角化 231
6.6 不變子空間 248
復習與提高題6 255
第7章 相似標準形 258
7.1λ-矩陣 258
7.2λ-矩陣的等價不變量 265
7.3 特征矩陣 275
7.4 若爾當標準形 284
復習與提高題7 293
第8章 二次型 295
8.1 二次型的矩陣表示與矩陣的合同 295
8.2 標準形 298
8.3 慣性定理 308
8.4 正定二次型與正定矩陣 312
復習與提高題8 318
第9章 內積空間及其線性變換 322
9.1 實內積空間的概念 322
9.2 歐氏空間的正交性 327
9.3 歐氏空間的線性變換 337
9.4 實對稱矩陣的標準形 342
9.5 向量到子空間的距離、*小二乘法 350
9.6 酉空間 355
復習與提高題9 357
參考文獻 360
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高等代數 節選
第1章 行列式 行列式來源于求解線性方程組，它不僅是學習線性代數的工具，而且在數學的許多領域及其他科學技術中都有廣泛的應用，本章將給出一般n階行列式的定義，討論它的性質和計算方法，并給出它在線性方程組中的初步應用． 1.1 引言 我們回憶一下中學代數課中學過的二元線性方程組的解法，先看一個簡單的例子． 例1.1.1 求解二元線性方程組 解 用消元法，**個方程兩邊乘以-3，得 將兩個方程左右分別相加，得，消去了x，解得y=1． 類似地，原方程組第二個方程兩邊乘以2，再與**個方程相加，可消去y，解得x=3． 這種方法也可以推廣到求解一般的二元線性方程組，并希望得到求解公式．設有二元線性方程組 (1.1.1) 在(1.1.1)中用a22乘以**式的兩邊，用.a12乘以第二式的兩邊得 將這兩個方程式相加得 當時，有 用類似的方法消去x1，解得. 我們注意到二元線性方程組的兩個解都表示成分數的形式，其中分母僅與未知數的系數有關．這個二元一次線性方程組的公式不好記憶． 如果我們引進二階行列式 (1.1.2) 則當二階行列式D.=0時，該方程組的**解可用行列式表示 (1.1.3) 在式(1.1.3)中，我們發現解有如下規律： (1)x1，x2的分母都是行列式，它是由原方程組未知數前的系數按方程組原來的順序排成的一個二階行列式． (2)x1的分子行列式的**列是原方程組的常數項，第二列由x2的系數組成，因此這個行列式是將x1，x2的分母行列式中的**列換成常數項而得的，這個規則對x2的分子行列式也適用．顯而易見，這樣的解的公式容易記憶且有規律可循． 對于三元線性方程組.仿照求解二元線性方程組的思路，我們引進三階行列式 (1.1.4) 當時，可求得上述三元線性方程組有**解為， 其中 在這一章我們要把這個結果推廣到n元線性方程組的情形．為此，我們首先要給出n階行列式的定義并討論它的性質，這就是本章的主要內容． 1.2 排列 作為定義n階行列式的準備，我們先來討論一下排列及其性質． 定義1.2.1由1，2， ，n組成的任意一組有序數i1i2 in稱為1，2， ，n的一個n階排列，其中i1，i2， ，in互異． 例如，由1，2，3這三個數組成的所有排列為123，132，213，231，312，321．我們知道，n階排列的總數是n (n.1) (n.2) 2 1．我們記1 2 (n.1) n=n!． 顯然12 n也是一個n階排列，這個排列具有自然順序，就是按遞增的順序排列起來的，其他的排列都或多或少地破壞了自然順序． 定義1.2.2 在一個n階排列i1i2 in中，如果一對數的前后位置與大小順序相反，即前面的數大于后面的數，那么它們就稱為一個逆序，逆序的總數就稱為排列i1i2 in的逆序數，記為． 例如 τ(123)=0，τ(132)=1，τ(213)=1，τ(231)=2，τ(312)=2，τ(321)=3．而τ(52341)=7． 定義1.2.3如果τ(i1i2 in)為偶數，則稱排列i1i2 in為偶排列，否則稱其為奇排列． 例如，4132是偶排列，52341是奇排列，12 n的逆序數是零，因此是偶排列． 應該指出，我們同樣可以考慮由任意n個不同的自然數所組成的排列，一般也稱為n階排列，對這樣一般的n階排列，同樣可以定義上面這些概念． 定義1.2.4 在一個排列中將某兩個數的位置互換，而其余的數不動，這樣一個變換稱為一個對換． 例如，經過1，2對換，排列45132就變成了45231，排列21345就變成了12345．顯然，如果連續施行兩次相同的對換，那么排列就還原了．由此得知，一個對換把全部n階排列兩兩配對，使每兩個配成對的n階排列在這個對換下互變． 定理1.2.1 對換改變排列的奇偶性． 證明首先考慮對換排列中相鄰的兩個數j和k，即 (1.2.1) 經過對換j，k變成 (1.2.2) 這里“ ”表示在對換下保持不動的數．顯然，在排列(1.2.1)中，如j，k與其他的數構成逆序，則在排列(1.2.2)中仍然構成逆序;如不構成逆序則在(1.2.2)中也不構成逆序，不同的只是j，k的次序．而由j，k引起的逆序個數，當j＜k時逆序數增加1，當j＞k時逆序數就減少1，因此排列的奇偶性改變了． 其次考慮排列中不相鄰的兩數j和k．設排列為 (1.2.3) 經過對換j，k，排列(1.2.3)變成 (1.2.4) 不難看出，這樣一個對換可以通過一系列的相鄰數的對換來實現．從排列(1.2.3)出發，把k與is對換，再與對換， ，也就是說，把k一位一位地向左移動．經過s+1次相鄰位置的對換，排列(1.2.3)就變成 (1.2.5) 從排列(1.2.5)出發，再把j一位一位地向右移動，經過s次相鄰位置的對換，排列(1.2.5)就變成了排列(1.2.4)，因此j，k對換可以通過2s+1次相鄰位置的對換來實現．2s+1是奇數，相鄰位置的對換改變排列的奇偶性，顯然，奇數次這樣的對換的*終結果還是改變奇偶性． 定理1.2.2 任意一個n階排列i1i2 in與排列12 n都可以經過一系列對換互換，并且所作對換的個數與τ(i1i2 in)的奇偶性相同． 證明我們對排列的階數n作數學歸納法，當n=1時，結論成立．假定對階排列結論成立，現證對n階排列的情形結論也成立． 設i1i2 in是任意一個n階排列，如果in=n，那么根據歸納法假設，階排列i1i2 in.1可以經過一系列對換變成12 n.1，于是這一系列對換也就把i1i2， in.1in變成12 n．如果in.=n，則在i1i2 in中，對換in和n，它就變成i′1i′2 i′n.1n，這就轉化成上面的情形，因此結論普遍成立． 相仿地，12 n也可用一系列對換變成i1i2 in，因為12 n是偶排列，所以根據定理1.2.2，所作對換的個數與排列i1i2 in有相同的奇偶性． 習題1.2 1．寫出第l，2個位置是2，4的全部五階排列，并求它們的逆序數． 2．求下列排列的逆序數： 317428695;528497631;987654321． 3．求下列排列的逆序數，并判斷其奇偶性： 4267351;l357246;5472l36;6147253． 4．確定i，j使 (1)215i7j946為奇排列;(2)3972i15j4為偶排列． 5．用對換將排列315694278變為自然順序排列，寫出所作的對換，并由此判斷這個排列的奇偶性． 6．求排列n(n.1) 21的逆序數，并討論它的奇偶性． 7．如果排列的逆序數為k，試計算的逆序數． 8．當時，試證明n個數的奇排列與偶排列的個數相等，各為個． 1.3 n階行列式 1.3.1 n階行列式的定義 從二階和三階行列式的定義(見式(1.1.2)和式(1.1.4))中可以發現下述規律： (1)它們都是一些乘積的代數和，而每一項乘積都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素構成的，并且展開式恰恰就是由所有這種可能的乘積組成的． 在n=2時，式(1.1.2)中由不同行不同列的元素構成的乘積只有a11a22與a12a21這兩項，均具有形式a1j1a2j2，這里j1j2是1，2的一個排列．而在n=3時，式(1.1.4)中共有6項，即3!項，它的任意項具有a1j1a2j2a3j3，這里j1j2j3是1，2，3的一個排列． (2)式(1.1.2)和式(1.1.4)中的每一項乘積都帶有符號，這符號是按什么原則判斷的呢？可以看出，當j1j2j3是偶排列時，對應的項在(1.1.4)中帶有正號，當j1j2j3是奇排列時帶有負號，這時，它的一般項可寫為，而且式(1.1.4)可寫為 (1.3.1) 這里表示對所有排列求和．此規律對二階行列式也成立． 現在根據式(1.3.1)定義n階行列式． 定義1.3.1 n階行列式定義為一個數 (1.3.2) 這里Xj1j2 jn表示對所有n階排列求和．這個數等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數和，這里j1j2 jn是1，2， ，n的一個排列，每一項(1.3.3)都按下列規則帶有符號：當j1j2 jn是偶排列時，式(1.3.3)前面帶有正號，當j1j2 jn是奇排列時，式(1.3.3)前面帶有負號． 由定義立即看出，n階行列式是由n!項組成的． (1.3.3) 例1.3.1 計算行列式 解 由定義，取自不同行和不同列的四個元素的乘積只有非零， 其余都是零，故行列式的值為．
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