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大學數學基礎1(法文版) 版權信息
- ISBN：9787030696021
- 條形碼：9787030696021 ; 978-7-03-069602-1
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
大學數學基礎1(法文版) 內容簡介
本教科書介紹了高等數學的基本概念。我們介紹了代數結構（例如群，環，域，向量空間和代數等）和線性代數的基本概念（向量空間，直和，線性映射等）,通過介紹多項式（和有理分式）的形式概念來介紹和研究代數的概念。我們還介紹了集合的基本概念，例如有序集，上界，下界，并研究了自然數集N，整數集Z，有理數集Q和實數集R的性質。書中還簡要地介紹了Z中的算術知識,并將這些概念拓展到多項式集合中。在分析學方面，我們主要引入極限的形式定義(包括序列的極限,實值和復值函數的極限),給出了極限（或連續性）理論中核心的定理及其形式證明(證明要點和方法),我們還介紹了正項級數和級數-積分比較等理論，以及諸如Lipschitz函數，有界函數等概念。
大學數學基礎1(法文版) 目錄
Table des matières
Préface et remerciements
Chapitre 1 Groupes， anneaux et corps 1
1.1 Groupes 2
1.1.1 Loi de composition interne 2
1.1.2 Définition d’un groupe et règles de calcul 7
1.1.3 Sous-groupes 13
1.1.4 Opérations sur les sous-groupes 15
1.1.5 Morphismes de groupes 17
1.2 Anneaux et corps 23
1.2.1 Définitions 23
1.2.2 Sous-anneaux et sous-corps 25
1.2.3 Règles de calcul dans un anneau 28
1.2.4 Opérations sur les sous-anneaux et sous-corps 32
1.2.5 Morphismes d’anneaux (ou de corps) 33
1.3 Exercices 37
Chapitre 2 Relations， ensembles N， Z， Q et R 44
2.1 Relations 45
2.1.1 Généralités sur les relations 45
2.1.2 Relation d’ordre 47
2.1.3 Relation d’équivalence 58
2.2 Ensemble N et principe de récurrence 59
2.2.1 Définition de l’ensemble N 59
2.2.2 Principe de récurrence 60
2.3 Ensemble Z et valeur absolue 67
2.3.1 Ensemble Z et structure d’anneau 67
2.3.2 Valeur absolue dans Z 69
2.4 Ensembles des nombres réels 69
2.4.1 Corps des nombres rationnels 69
2.4.2 Corps des nombres réels et relation d’ordre 70
2.4.3 Valeur absolue 70
2.4.4 Propriétés de la borne supérieure et de la borne inférieure 73
2.4.5 Partie entière 77
2.4.6 Caractérisation des intervalles de R 79
2.4.7 Droite numérique achevée 82
2.4.8 Densité de Q et de R n Q 82
2.4.9 Valeurs décimales approchées d’un nombre réel 85
2.5 Exercices 86
2.6 Annexe 93
2.6.1 Construction de Z 93
2.6.2 Ensembles finis et dénombrements 103
Chapitre 3 Suites de nombres réels ou complexes 125
3.1 Suites de nombres réels 126
3.1.1 Généralités 126
3.1.2 Opérations sur les suites 129
3.1.3 Suites extraites 134
3.2 Suites définies par une relation de récurrence 135
3.2.1 Suites arithmétiques et géométriques 136
3.2.2 Notations et Ⅱ 137
3.2.3 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constants 142
3.3 Limite d’une suite 150
3.3.1 Convergence vers un réel l: définition et propriétés 150
3.3.2 Convergence et signe 154
3.3.3 Divergence d’une suite 155
3.3.4 Opérations sur les suites convergentes 158
3.3.5 Compatibilité du passage à la limite avec la relation d’ordre 164
3.3.6 Convergence et suites extraites 169
3.3.7 Caractérisation de la densité par les suites 173
3.4 Théorèmes d’existence de limite 174
3.4.1 Théorèmes de convergence et de divergence monotone 174
3.4.2 Application du théorème de la limite monotone aux séries à termes positifs 178
3.4.3 Théorème des suites adjacentes et théorème des segments embo.tés 187
3.4.4 Théorème de Bolzano-Weierstrass 190
3.5 Relations de comparaison 192
3.5.1 Suites dominées ou négligeables par rapport à une autre 192
3.5.2 Suites équivalentes 193
3.5.3 Comparaison des suites de référence 198
3.5.4 Développement asymptotique d’une suite 199
3.6 Suites à valeurs complexes 202
3.6.1 Définitions et convergence d’une suite complexe 202
3.6.2 Lien avec les parties réelle et imaginaire 204
3.7 Exercices 204
Chapitre 4 Espaces vectoriels et applications linéaires 215
4.1 Espaces vectoriels 216
4.1.1 Définition et exemples usuels 216
4.1.2 Règles de calcul dans un espace vectoriel 219
4.1.3 Sous-espaces vectoriels 222
4.2 Opérations sur les espaces vectoriels 226
4.2.1 Intersection et sous-espace engendré par une partie 226
4.2.2 Somme de sous-espaces vectoriels 233
4.2.3 Sommes directes et sous-espaces vectoriels supplémentaires 237
4.2.4 Produit cartésien de deux espaces vectoriels 242
4.3 Sous-espaces affines 245
4.3.1 Translations et groupes des translations d’un espace vectoriel 245
4.3.2 Définition d’un sous-espace affine 246
4.3.3 Parallélisme 249
4.3.4 Intersection de deux sous-espaces affines 250
4.4 Applications linéaires 251
4.4.1 Définition et exemples 251
4.4.2 Noyau et image d’une application linéaire 255
4.4.3 équations linéaires 260
4.4.4 Ensembles des applications linéaires L(E， F) 261
4.4.5 Isomorphismes， automorphismes et groupe linéaire 265
4.4.6 Restriction et recollement 268
4.4.7 Hyperplans d’un espace vectoriel et formes linéaires 271
4.4.8 étude d’applications linéaires remarquables 274
4.5 Exercices 283
Chapitre 5 Arithmétique dans Z 291
5.1 Arithmétique dans Z 292
5.1.1 Diviseurs et congruences 292
5.1.2 Nombres premiers et décomposition en produit de facteurs premiers 295
5.1.3 Division euclidienne 298
5.1.4 Sous-groupes de (Z，+) 299
5.1.5 Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple 300
5.1.6 Théorème de Bézout et algorithme d’Euclide 303
5.1.7 Lemme d’Euclide et théorème de Gauss 307
5.2 Exercices 313
5.3 Annexe 316
5.3.1 Anneaux Z/nZ et quelques propriétés 316
5.3.2 Corps Z/pZ et éléments inversibles de Z/nZ 318
Chapitre 6 Fonctions réelles ou complexes d’une variable réelle 320
6.1 Généralités sur les fonctions d’une variable réelle 321
6.1.1 Ensemble
Préface et remerciements
Chapitre 1 Groupes， anneaux et corps 1
1.1 Groupes 2
1.1.1 Loi de composition interne 2
1.1.2 Définition d’un groupe et règles de calcul 7
1.1.3 Sous-groupes 13
1.1.4 Opérations sur les sous-groupes 15
1.1.5 Morphismes de groupes 17
1.2 Anneaux et corps 23
1.2.1 Définitions 23
1.2.2 Sous-anneaux et sous-corps 25
1.2.3 Règles de calcul dans un anneau 28
1.2.4 Opérations sur les sous-anneaux et sous-corps 32
1.2.5 Morphismes d’anneaux (ou de corps) 33
1.3 Exercices 37
Chapitre 2 Relations， ensembles N， Z， Q et R 44
2.1 Relations 45
2.1.1 Généralités sur les relations 45
2.1.2 Relation d’ordre 47
2.1.3 Relation d’équivalence 58
2.2 Ensemble N et principe de récurrence 59
2.2.1 Définition de l’ensemble N 59
2.2.2 Principe de récurrence 60
2.3 Ensemble Z et valeur absolue 67
2.3.1 Ensemble Z et structure d’anneau 67
2.3.2 Valeur absolue dans Z 69
2.4 Ensembles des nombres réels 69
2.4.1 Corps des nombres rationnels 69
2.4.2 Corps des nombres réels et relation d’ordre 70
2.4.3 Valeur absolue 70
2.4.4 Propriétés de la borne supérieure et de la borne inférieure 73
2.4.5 Partie entière 77
2.4.6 Caractérisation des intervalles de R 79
2.4.7 Droite numérique achevée 82
2.4.8 Densité de Q et de R n Q 82
2.4.9 Valeurs décimales approchées d’un nombre réel 85
2.5 Exercices 86
2.6 Annexe 93
2.6.1 Construction de Z 93
2.6.2 Ensembles finis et dénombrements 103
Chapitre 3 Suites de nombres réels ou complexes 125
3.1 Suites de nombres réels 126
3.1.1 Généralités 126
3.1.2 Opérations sur les suites 129
3.1.3 Suites extraites 134
3.2 Suites définies par une relation de récurrence 135
3.2.1 Suites arithmétiques et géométriques 136
3.2.2 Notations et Ⅱ 137
3.2.3 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constants 142
3.3 Limite d’une suite 150
3.3.1 Convergence vers un réel l: définition et propriétés 150
3.3.2 Convergence et signe 154
3.3.3 Divergence d’une suite 155
3.3.4 Opérations sur les suites convergentes 158
3.3.5 Compatibilité du passage à la limite avec la relation d’ordre 164
3.3.6 Convergence et suites extraites 169
3.3.7 Caractérisation de la densité par les suites 173
3.4 Théorèmes d’existence de limite 174
3.4.1 Théorèmes de convergence et de divergence monotone 174
3.4.2 Application du théorème de la limite monotone aux séries à termes positifs 178
3.4.3 Théorème des suites adjacentes et théorème des segments embo.tés 187
3.4.4 Théorème de Bolzano-Weierstrass 190
3.5 Relations de comparaison 192
3.5.1 Suites dominées ou négligeables par rapport à une autre 192
3.5.2 Suites équivalentes 193
3.5.3 Comparaison des suites de référence 198
3.5.4 Développement asymptotique d’une suite 199
3.6 Suites à valeurs complexes 202
3.6.1 Définitions et convergence d’une suite complexe 202
3.6.2 Lien avec les parties réelle et imaginaire 204
3.7 Exercices 204
Chapitre 4 Espaces vectoriels et applications linéaires 215
4.1 Espaces vectoriels 216
4.1.1 Définition et exemples usuels 216
4.1.2 Règles de calcul dans un espace vectoriel 219
4.1.3 Sous-espaces vectoriels 222
4.2 Opérations sur les espaces vectoriels 226
4.2.1 Intersection et sous-espace engendré par une partie 226
4.2.2 Somme de sous-espaces vectoriels 233
4.2.3 Sommes directes et sous-espaces vectoriels supplémentaires 237
4.2.4 Produit cartésien de deux espaces vectoriels 242
4.3 Sous-espaces affines 245
4.3.1 Translations et groupes des translations d’un espace vectoriel 245
4.3.2 Définition d’un sous-espace affine 246
4.3.3 Parallélisme 249
4.3.4 Intersection de deux sous-espaces affines 250
4.4 Applications linéaires 251
4.4.1 Définition et exemples 251
4.4.2 Noyau et image d’une application linéaire 255
4.4.3 équations linéaires 260
4.4.4 Ensembles des applications linéaires L(E， F) 261
4.4.5 Isomorphismes， automorphismes et groupe linéaire 265
4.4.6 Restriction et recollement 268
4.4.7 Hyperplans d’un espace vectoriel et formes linéaires 271
4.4.8 étude d’applications linéaires remarquables 274
4.5 Exercices 283
Chapitre 5 Arithmétique dans Z 291
5.1 Arithmétique dans Z 292
5.1.1 Diviseurs et congruences 292
5.1.2 Nombres premiers et décomposition en produit de facteurs premiers 295
5.1.3 Division euclidienne 298
5.1.4 Sous-groupes de (Z，+) 299
5.1.5 Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple 300
5.1.6 Théorème de Bézout et algorithme d’Euclide 303
5.1.7 Lemme d’Euclide et théorème de Gauss 307
5.2 Exercices 313
5.3 Annexe 316
5.3.1 Anneaux Z/nZ et quelques propriétés 316
5.3.2 Corps Z/pZ et éléments inversibles de Z/nZ 318
Chapitre 6 Fonctions réelles ou complexes d’une variable réelle 320
6.1 Généralités sur les fonctions d’une variable réelle 321
6.1.1 Ensemble
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大學數學基礎1(法文版) 節選
Chapitre 1 Groupes， anneaux et corps Prérequis : dans tout ce chapitre， les notions suivantes sont supposées connues : . le cours de logique (en particulier， implications et équivalences) ; . notion d’ensemble et opérations usuelles sur les ensembles ; . image directe et image réciproque d’une partie par une application ; . composition d’applications， propriétés de la composition ; . injection， surjection， bijection et leurs propriétés ; . produit scalaire et déterminant dans le plan et dans l’espace， produit vectoriel dans l’espace. Vous connaissez depuis longtemps l’addition et la multiplication de nombres réels (ou de nombres entiers). En fait， vous avez appris que ce sont des opérations qui ont un certain nombre de règles de calculs. Dans ce chapitre， on va généraliser ces “opérations” (ce qu’on appellera des lois de composition interne) et les règles de calcul. Ceci va nous amener à définir des notions de structures algébriques : notions fondamentales en mathématiques qui permettent essentiellement de manipuler des objets (des nombres， des ensembles， des applications， des vecteurs ) et de faire des “calculs” avec ces objets. Vous verrez par la suite que ces structures reviennent naturellement dans tous les domaines mathématiques， mais aussi dans tous les domaines scientifiques. 1.1 Groupes 1.1.1 Loi de composition interne Définition 1.1.1.1 Soit E un ensemble non vide. On appelle loi de composition interne sur E toute application La valeur f(x; y) pour un couple s’appelle le composé de x et y pour cette loi. Exemple 1.1.1.2 Voici quelques exemples et contre-exemples de lois de composition interne : . l’addition sur N est une loi de composition interne ; . la multiplication dans C est une loi de composition interne sur C; . si E est un ensemble donné， alors [ est une loi de composition interne sur P(E) ; . le produit vectoriel ^ est une loi de composition interne sur R3 ; . la loi est une loi de composition interne sur F(E;E) mais n’est pas une loi de composition interne sur F(E; F) (lorsque E et F sont deux ensembles distincts) ; . par contre， le déterminant dans le plan n’est pas une loi de composition interne : àdeux vecteurs， on associe un nombre réel et non pas un vecteur. Notations : . on utilise souvent l’expression “l.c.i.” pour dire “loi de composition interne”. C’est une abréviation qui est tolérée ; . en général， on utilise un symbole pour désigner le composé de x et y， comme par exemple On dira donc souvent : “soit * une loi de composition interne sur E” (au lieu de f) et on notera y au lieu de f(x; y). Définition 1.1.1.3 Soient E un ensemble non vide et une loi de composition interne sur E. On dit que : . * est associative si ; . * est commutative si; . * possède un élément neutre s’il existe e2E tel que. Exemple 1.1.1.4 Reprenons les exemples précédents. . La loi sur N est associative， commutative et admet 0 pour élément neutre. . La loi sur C est associative， commutative et admet 1 pour neutre. . La loi est associative， commutative et admet ; pour neutre. . La loi n’est ni associative， ni commutative et n’admet pas d’élément neutre. En effet， On peut remarquer que dans la pratique， ceci signifie que les règles de calcul de produit vectoriel sont “plus difficiles” que les règles de calcul dans R par exemple. Pour s’en convaincre， il suffit d’écrire la formule du “double produit vectoriel” et de comparer avec le “double produit” dans R : alors que pour; wtrois vecteurs de l’espace : Formule nettement plus “difficile”， ne serait-ce qu’à retenir. . Si E est un ensemble， la loi sur F(E;E) est associative， admet un élément neutre (IdE) mais n’est pas commutative si E contient au moins deux éléments). Dans toute la suite， sauf mention explicite du contraire， E est un ensemble quelconque non vide. Proposition 1.1.1.5 Soit * une loi de composition interne sur E. Si * admet un élément neutre， alors il est unique. Preuve : Définition 1.1.1.6 Soit * une loi de composition interne sur E admettant un élément neutre e. Soit x un élément de E. On dit que x est inversible pour la loi * s’il existe y 2 E tel que . Un tel y est alors appelé un inverse de x. Attention : il faut bien vérifier les deux égalités se peut qu’il existe y 2 E tel que mais que. Par exemple， si est muni de la loi ， on a vu que IdN est l’élément neutre et si on considère les applications f et g définies par : Proposition 1.1.1.7 Soit * une loi de composition interne sur E， associative et possédant un neutre. Six 2E est inversible， alors son inverse est unique. Son inverse est alors noté. Preuve : Remarque : on peut plus généralement définir les notions d’élément inversible à droite，d’élément inversible à gauche， d’inverse à droite et d’inverse à gauche de la fa.on suivante : . on dit que est invers
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