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大學數學入門(1中文版)/中法工程師學院預科教學叢書 版權信息
- ISBN：9787030691835
- 條形碼：9787030691835 ; 978-7-03-069183-5
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
大學數學入門(1中文版)/中法工程師學院預科教學叢書 本書特色
借鑒法國的培養模式，將本碩連讀分為預科教學和工程師教學兩個階段. 預科教學階段教學體系覆蓋面廣，同時更注重于知識的邏輯性和證明的規范性，以利于學生深入理解后能充分保有基礎創新潛力.
大學數學入門(1中文版)/中法工程師學院預科教學叢書 內容簡介
本書是中山大學中法核工程與技術學院一年級學期的數學教材，包括以下主要內容：微積分初步、常用函數、復數、常微分方程。本書側重于微積分基本理論的應用，使讀者能夠快速掌握一年級理工類相關專業課程所需的數學知識和計算技巧。 本書可作為中法合作辦學單位的預科數學教材，也可作為理工科院校相關專業數學類課程的參考教材。
大學數學入門(1中文版)/中法工程師學院預科教學叢書 目錄
目錄
序
前言
作者的話
第1章 微積分初步 1
1.1 函數的極限 1
1.1.1 函數極限的描述性定義 1
1.1.2 極限的性質、參考極限和極限運算法則 5
1.1.3 復合函數的極限 8
1.1.4 函數極限的判定 9
1.2 函數的連續性 10
1.2.1 定義 10
1.2.2 常見的連續函數 11
1.2.3 連續函數的運算 12
1.2.4 函數的連續延拓 13
1.3 閉區間上連續函數的性質 14
1.3.1 有界性與*大值*小值定理 14
1.3.2 零點定理與介值定理 15
1.4 導數 16
1.4.1 導數的定義 16
1.4.2 函數的可導性與連續性的關系 19
1.4.3 常見函數的導數 20
1.4.4 函數的求導法則 22
1.4.5 復合函數的導數 24
1.4.6 導數與函數的單調性 24
1.4.7 高階導數 26
1.5 原函數與不定積分 27
1.5.1 定義與性質 27
1.5.2 基本積分表 30
1.6 定積分 32
1.6.1 定積分的定義和幾何意義 32
1.6.2 定積分的基本性質 34
1.6.3 定積分的計算 35
第2章 常用函數 39
2.1 有理函數、對數函數、指數函數和冪函數 39
2.1.1 多項式函數和有理函數 39
2.1.2 自然對數函數 41
2.1.3 底是b的對數函數 46
2.1.4 反函數及其主要定理 46
2.1.5 指數函數 48
2.1.6 冪函數 52
2.1.7 比較增長率 54
2.2 雙曲函數 56
2.2.1 雙曲正弦函數 57
2.2.2 雙曲余弦函數 58
2.2.3 雙曲三角關系式 59
2.2.4 雙曲正切函數 60
2.3 反雙曲函數 61
2.3.1 反雙曲正弦函數 61
2.3.2 反雙曲余弦函數 63
2.3.3 反雙曲正切函數 65
2.4 三角函數及其反函數 67
2.4.1 三角函數 67
2.4.2 反正弦函數 67
2.4.3 反余弦函數 68
2.4.4 反正切函數 69
2.5 函數值的比較(在一點附近) 72
2.5.1 小o和大O 72
2.5.2 函數的等價性 74
第3章 復數81
3.1 復數的定義與幾何解釋 81
3.2 復數的運算和向量 83
3.3 復數的模與輻角 87
3.3.1 模與輻角的定義 87
3.3.2 模與輻角的性質 91
3.4 指數形式與復指數及其應用 95
3.4.1 指數形式 95
3.4.2 幺模群 96
3.4.3 復指數 97
3.4.4 三角函數的和差化積以及積化和差 98
3.5 復數的n次根 103
3.5.1 n次單位根群 103
3.5.2 解方程 zn = a 105
3.6 解二次復系數方程 106
3.7 實變量復值函數 111
第 4 章 常微分方程 113
4.1 定義 113
4.2 一階線性微分方程 115
4.2.1 指數函數及其特征 116
4.2.2 解集的構成與疊加原理 118
4.2.3 齊次方程的解 119
4.2.4 常數變易法 120
4.2.5 非預解形式的一階方程舉例 125
4.2.6 初值問題:解的存在**性 129
4.3 二階線性常系數微分方程 130
4.3.1 定義與解集的構成 130
4.3.2 齊次方程的解 131
4.3.3 右端項為指數函數與多項式函數之積時特解的尋求 134
4.3.4 初值問題:解的存在**性 135
索引 138
序
前言
作者的話
第1章 微積分初步 1
1.1 函數的極限 1
1.1.1 函數極限的描述性定義 1
1.1.2 極限的性質、參考極限和極限運算法則 5
1.1.3 復合函數的極限 8
1.1.4 函數極限的判定 9
1.2 函數的連續性 10
1.2.1 定義 10
1.2.2 常見的連續函數 11
1.2.3 連續函數的運算 12
1.2.4 函數的連續延拓 13
1.3 閉區間上連續函數的性質 14
1.3.1 有界性與*大值*小值定理 14
1.3.2 零點定理與介值定理 15
1.4 導數 16
1.4.1 導數的定義 16
1.4.2 函數的可導性與連續性的關系 19
1.4.3 常見函數的導數 20
1.4.4 函數的求導法則 22
1.4.5 復合函數的導數 24
1.4.6 導數與函數的單調性 24
1.4.7 高階導數 26
1.5 原函數與不定積分 27
1.5.1 定義與性質 27
1.5.2 基本積分表 30
1.6 定積分 32
1.6.1 定積分的定義和幾何意義 32
1.6.2 定積分的基本性質 34
1.6.3 定積分的計算 35
第2章 常用函數 39
2.1 有理函數、對數函數、指數函數和冪函數 39
2.1.1 多項式函數和有理函數 39
2.1.2 自然對數函數 41
2.1.3 底是b的對數函數 46
2.1.4 反函數及其主要定理 46
2.1.5 指數函數 48
2.1.6 冪函數 52
2.1.7 比較增長率 54
2.2 雙曲函數 56
2.2.1 雙曲正弦函數 57
2.2.2 雙曲余弦函數 58
2.2.3 雙曲三角關系式 59
2.2.4 雙曲正切函數 60
2.3 反雙曲函數 61
2.3.1 反雙曲正弦函數 61
2.3.2 反雙曲余弦函數 63
2.3.3 反雙曲正切函數 65
2.4 三角函數及其反函數 67
2.4.1 三角函數 67
2.4.2 反正弦函數 67
2.4.3 反余弦函數 68
2.4.4 反正切函數 69
2.5 函數值的比較(在一點附近) 72
2.5.1 小o和大O 72
2.5.2 函數的等價性 74
第3章 復數81
3.1 復數的定義與幾何解釋 81
3.2 復數的運算和向量 83
3.3 復數的模與輻角 87
3.3.1 模與輻角的定義 87
3.3.2 模與輻角的性質 91
3.4 指數形式與復指數及其應用 95
3.4.1 指數形式 95
3.4.2 幺模群 96
3.4.3 復指數 97
3.4.4 三角函數的和差化積以及積化和差 98
3.5 復數的n次根 103
3.5.1 n次單位根群 103
3.5.2 解方程 zn = a 105
3.6 解二次復系數方程 106
3.7 實變量復值函數 111
第 4 章 常微分方程 113
4.1 定義 113
4.2 一階線性微分方程 115
4.2.1 指數函數及其特征 116
4.2.2 解集的構成與疊加原理 118
4.2.3 齊次方程的解 119
4.2.4 常數變易法 120
4.2.5 非預解形式的一階方程舉例 125
4.2.6 初值問題:解的存在**性 129
4.3 二階線性常系數微分方程 130
4.3.1 定義與解集的構成 130
4.3.2 齊次方程的解 131
4.3.3 右端項為指數函數與多項式函數之積時特解的尋求 134
4.3.4 初值問題:解的存在**性 135
索引 138
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大學數學入門(1中文版)/中法工程師學院預科教學叢書 節選
第1章 微積分初步 在物理世界中運動無處不在，而運動往往是通過量與量之間的依賴關系來刻畫的.這種變量之間的依賴關系就是數學中所謂的“函數”，它是微積分研究的基本對象.而極限方法是研究函數的一種基本方法，也是微積分的理論基礎. 聲明本章僅給出極限的描述性定義.其嚴格的形式定義將在《大學數學基礎》中講述，在此之前，本章所給出的極限、連續、導數、積分等基本理論暫時無法給出證明，因此我們先承認它們.本章旨在使讀者學會如何運用這些理論來解決微積分相關的問題，而這些理論的證明我們將在《大學數學基礎》中給出. 1.1 函數的極限 1.1.1 函數極限的描述性定義 函數的極限可以分為兩種情形:à自變量趨于有限數時函數的極限;á自變量趨于無窮大(又分為正無窮大和負無窮大)時函數的極限.下面給出它們各自的描述性定義. 定義1.1.1設函數附近有定義(可能在a處沒有定義). (i)如果存在常數，使得當x無限接近于a時，函數值f(x)無限接近于l(即無限接近于0)，則稱函數f在a處存在有限的極限(或說極限存在且有限).l叫做函數f在a處的極限，記作 (ii)如果當x無限接近于a時，函數值f(x)可以大于任何給定的(正)實數，則稱f在a處的極限為正無窮，記為 (iii)如果當x無限接近于a時，函數值f(x)可以小于任何給定的(負)實數，則稱f在a處的極限為負無窮，記為 注:點a的“附近”一般是指包含a的某個開區間，有時可能不包含a. 例1.1.1 從函數的圖像可以看出(圖1.1). 圖1.1 函數上的圖像 例1.1.2 不難看出 定義1.1.2設;函數f在區間(或)上有定義. (i)如果存在常數，使得當x趨于正無窮+∞(或負無窮-∞)時，函數值f(x)無限接近于l(即jf(x) lj無限接近于0)，則稱函數f在+∞(或/∞)處存在有限的極限(或說極限存在且有限).l叫做函數f在+∞(或-∞)處的極限，記作 (ii)如果當x趨于正無窮+∞(或負無窮/∞)時，函數值f(x)可以大于任何給定的(正)實數，則稱f在+∞(或-∞)處的極限為正無窮，記為 (iii)如果當x趨于正無窮+∞(或負無窮/∞)時，函數值f(x)可以小于任何給定的(負)實數，則稱f在+∞(或-∞)處的極限為負無窮，記為 注:+∞和-∞只是表示數值變化趨勢的符號，并不是實數，即但是，對于任意實數x，我們有-∞ 例1.1.3 例1.1.4 在定義1.1.1中，并沒有指出x是以何種方式趨于a的.我們可以考慮x僅從a的左側 趨于a(即xa且)的情形. 記號 定義1.1.3設:我們稱是f在a處的 (i)左極限:如果f在a的左側附近有定義，且當x從a的左側趨于a但時，函數值f(x)無限接近于l，記作 (ii)右極限:如果f在a的右側附近有定義，且當x從a的右側趨于a但時，函數值f(x)無限接近于l，記作 注:當l=+∞時，函數值無限接近于l是指函數值可以大于任何給定的(正)實數;當l=-∞時，函數值無限接近于l是指函數值可以小于任何給定的(負)實數. 下面的極限存在定理給出了一個函數在一點處極限存在的充要條件. 定理1.1.4 設f在左右兩側附近均有定義.記Df為f的定義域. 情形1: 此時，存在當且僅當f在a處左、右極限存在且都與函數值f(a)相等.若f在a處極限存在，則 情形2: 此時，存在當且僅當f在a處左、右極限存在且相等. 若f在a處極限存在，則 例1.1.5 因此在0處極限不存在. 例1.1.6 定義函數f滿足:我們有 由于左、右極限不相等，根據極限存在定理，f在1處極限不存在. 例1.1.7 設判斷f和g在0處的極限是否存在.若存在，求出極限值. 解:首先， 對于:所以 因此f在0處存在極限，且 對于:所以對于:所以 g在0處的左、右極限不相等，因此根據極限存在定理，g在0處的極限不存在. 習題1.1.8 定義函數f滿足:確定f在1處的極限(即先判斷極限是否存在，若存在，求出極限值). 例1.1.9考慮向下取整函數，即對于是不超過x的*大的整數.例如:時，始終有 f(x)=n-1，因此 而當時，始終有f(x)=n，因此 也就是說，f在n處的左極限和右極限都存在，但是不相等.根據極限存在定理，函數f在n處的極限不存在. 1.1.2 極限的性質、參考極限和極限運算法則 定理1.1.5 (極限的**性)如果存在，其中a2R，那么該極限**. 注:上述定理說明: (1)如果有，其中L;M2R，則必定有L=M; (2)如果有;則不可能存在使得; (3)如果有;則不可能存在使得 命題1.1.6 (參考極限)設:我們有 命題1.1.7 (函數極限運算法則)設是常數.如果函數f和g都在a處 存在有限的極限，那么有g在a處存在有限的極限，且 (ii)在a處存在有限的極限，且，特別 地，對在a處存在有限的極限，且 (iv)若f在a附近恒大于等于零，則在a處存在有限的極限并且 注:(1)上述命題每項都有兩個結論:一是說明極限存在;二是說明極限值是什么. (2)上述命題要求函數f和g在a點的極限都必須存在且有限. 例1.1.10 計算 解:由參考極限，以及極限的運算法則可知存在并且 命題1.1.8設，P是一個實系數多項式函數滿足 則存在且 注:(1)證明留作練習. (2)是“求和符號”，就是. 命題1.1.9設R是一個實系數有理函數，即存在兩個實系數多項式函數P和Q，其中;使得:記R的定義域為DR，設，則存在且 注:(1)證明留作練習. (2)即Q不是零函數.但是Q可以有零點(即取值為0的點). (3)事實上，R的定義域是所有使得Q的值不為0的實數的集合. 例1.1.11 計算: 解:設，我們有 由參考極限，以及極限運算法則得 因此，所求極限存在且 習題1.1.12 計算:
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