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大學(xué)數(shù)學(xué)入門(1中文版)/中法工程師學(xué)院預(yù)科教學(xué)叢書 版權(quán)信息
- ISBN：9787030691835
- 條形碼：9787030691835 ; 978-7-03-069183-5
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數(shù)：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
大學(xué)數(shù)學(xué)入門(1中文版)/中法工程師學(xué)院預(yù)科教學(xué)叢書 本書特色
借鑒法國的培養(yǎng)模式，將本碩連讀分為預(yù)科教學(xué)和工程師教學(xué)兩個階段. 預(yù)科教學(xué)階段教學(xué)體系覆蓋面廣，同時更注重于知識的邏輯性和證明的規(guī)范性，以利于學(xué)生深入理解后能充分保有基礎(chǔ)創(chuàng)新潛力.
大學(xué)數(shù)學(xué)入門(1中文版)/中法工程師學(xué)院預(yù)科教學(xué)叢書 內(nèi)容簡介
本書是中山大學(xué)中法核工程與技術(shù)學(xué)院一年級學(xué)期的數(shù)學(xué)教材，包括以下主要內(nèi)容：微積分初步、常用函數(shù)、復(fù)數(shù)、常微分方程。本書側(cè)重于微積分基本理論的應(yīng)用，使讀者能夠快速掌握一年級理工類相關(guān)專業(yè)課程所需的數(shù)學(xué)知識和計算技巧。 本書可作為中法合作辦學(xué)單位的預(yù)科數(shù)學(xué)教材，也可作為理工科院校相關(guān)專業(yè)數(shù)學(xué)類課程的參考教材。
大學(xué)數(shù)學(xué)入門(1中文版)/中法工程師學(xué)院預(yù)科教學(xué)叢書 目錄
目錄
序
前言
作者的話
第1章 微積分初步 1
1.1 函數(shù)的極限 1
1.1.1 函數(shù)極限的描述性定義 1
1.1.2 極限的性質(zhì)、參考極限和極限運算法則 5
1.1.3 復(fù)合函數(shù)的極限 8
1.1.4 函數(shù)極限的判定 9
1.2 函數(shù)的連續(xù)性 10
1.2.1 定義 10
1.2.2 常見的連續(xù)函數(shù) 11
1.2.3 連續(xù)函數(shù)的運算 12
1.2.4 函數(shù)的連續(xù)延拓 13
1.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 14
1.3.1 有界性與*大值*小值定理 14
1.3.2 零點定理與介值定理 15
1.4 導(dǎo)數(shù) 16
1.4.1 導(dǎo)數(shù)的定義 16
1.4.2 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 19
1.4.3 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 20
1.4.4 函數(shù)的求導(dǎo)法則 22
1.4.5 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 24
1.4.6 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 24
1.4.7 高階導(dǎo)數(shù) 26
1.5 原函數(shù)與不定積分 27
1.5.1 定義與性質(zhì) 27
1.5.2 基本積分表 30
1.6 定積分 32
1.6.1 定積分的定義和幾何意義 32
1.6.2 定積分的基本性質(zhì) 34
1.6.3 定積分的計算 35
第2章 常用函數(shù) 39
2.1 有理函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù) 39
2.1.1 多項式函數(shù)和有理函數(shù) 39
2.1.2 自然對數(shù)函數(shù) 41
2.1.3 底是b的對數(shù)函數(shù) 46
2.1.4 反函數(shù)及其主要定理 46
2.1.5 指數(shù)函數(shù) 48
2.1.6 冪函數(shù) 52
2.1.7 比較增長率 54
2.2 雙曲函數(shù) 56
2.2.1 雙曲正弦函數(shù) 57
2.2.2 雙曲余弦函數(shù) 58
2.2.3 雙曲三角關(guān)系式 59
2.2.4 雙曲正切函數(shù) 60
2.3 反雙曲函數(shù) 61
2.3.1 反雙曲正弦函數(shù) 61
2.3.2 反雙曲余弦函數(shù) 63
2.3.3 反雙曲正切函數(shù) 65
2.4 三角函數(shù)及其反函數(shù) 67
2.4.1 三角函數(shù) 67
2.4.2 反正弦函數(shù) 67
2.4.3 反余弦函數(shù) 68
2.4.4 反正切函數(shù) 69
2.5 函數(shù)值的比較(在一點附近) 72
2.5.1 小o和大O 72
2.5.2 函數(shù)的等價性 74
第3章 復(fù)數(shù)81
3.1 復(fù)數(shù)的定義與幾何解釋 81
3.2 復(fù)數(shù)的運算和向量 83
3.3 復(fù)數(shù)的模與輻角 87
3.3.1 模與輻角的定義 87
3.3.2 模與輻角的性質(zhì) 91
3.4 指數(shù)形式與復(fù)指數(shù)及其應(yīng)用 95
3.4.1 指數(shù)形式 95
3.4.2 幺模群 96
3.4.3 復(fù)指數(shù) 97
3.4.4 三角函數(shù)的和差化積以及積化和差 98
3.5 復(fù)數(shù)的n次根 103
3.5.1 n次單位根群 103
3.5.2 解方程 zn = a 105
3.6 解二次復(fù)系數(shù)方程 106
3.7 實變量復(fù)值函數(shù) 111
第 4 章 常微分方程 113
4.1 定義 113
4.2 一階線性微分方程 115
4.2.1 指數(shù)函數(shù)及其特征 116
4.2.2 解集的構(gòu)成與疊加原理 118
4.2.3 齊次方程的解 119
4.2.4 常數(shù)變易法 120
4.2.5 非預(yù)解形式的一階方程舉例 125
4.2.6 初值問題:解的存在**性 129
4.3 二階線性常系數(shù)微分方程 130
4.3.1 定義與解集的構(gòu)成 130
4.3.2 齊次方程的解 131
4.3.3 右端項為指數(shù)函數(shù)與多項式函數(shù)之積時特解的尋求 134
4.3.4 初值問題:解的存在**性 135
索引 138
序
前言
作者的話
第1章 微積分初步 1
1.1 函數(shù)的極限 1
1.1.1 函數(shù)極限的描述性定義 1
1.1.2 極限的性質(zhì)、參考極限和極限運算法則 5
1.1.3 復(fù)合函數(shù)的極限 8
1.1.4 函數(shù)極限的判定 9
1.2 函數(shù)的連續(xù)性 10
1.2.1 定義 10
1.2.2 常見的連續(xù)函數(shù) 11
1.2.3 連續(xù)函數(shù)的運算 12
1.2.4 函數(shù)的連續(xù)延拓 13
1.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 14
1.3.1 有界性與*大值*小值定理 14
1.3.2 零點定理與介值定理 15
1.4 導(dǎo)數(shù) 16
1.4.1 導(dǎo)數(shù)的定義 16
1.4.2 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 19
1.4.3 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 20
1.4.4 函數(shù)的求導(dǎo)法則 22
1.4.5 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 24
1.4.6 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 24
1.4.7 高階導(dǎo)數(shù) 26
1.5 原函數(shù)與不定積分 27
1.5.1 定義與性質(zhì) 27
1.5.2 基本積分表 30
1.6 定積分 32
1.6.1 定積分的定義和幾何意義 32
1.6.2 定積分的基本性質(zhì) 34
1.6.3 定積分的計算 35
第2章 常用函數(shù) 39
2.1 有理函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù) 39
2.1.1 多項式函數(shù)和有理函數(shù) 39
2.1.2 自然對數(shù)函數(shù) 41
2.1.3 底是b的對數(shù)函數(shù) 46
2.1.4 反函數(shù)及其主要定理 46
2.1.5 指數(shù)函數(shù) 48
2.1.6 冪函數(shù) 52
2.1.7 比較增長率 54
2.2 雙曲函數(shù) 56
2.2.1 雙曲正弦函數(shù) 57
2.2.2 雙曲余弦函數(shù) 58
2.2.3 雙曲三角關(guān)系式 59
2.2.4 雙曲正切函數(shù) 60
2.3 反雙曲函數(shù) 61
2.3.1 反雙曲正弦函數(shù) 61
2.3.2 反雙曲余弦函數(shù) 63
2.3.3 反雙曲正切函數(shù) 65
2.4 三角函數(shù)及其反函數(shù) 67
2.4.1 三角函數(shù) 67
2.4.2 反正弦函數(shù) 67
2.4.3 反余弦函數(shù) 68
2.4.4 反正切函數(shù) 69
2.5 函數(shù)值的比較(在一點附近) 72
2.5.1 小o和大O 72
2.5.2 函數(shù)的等價性 74
第3章 復(fù)數(shù)81
3.1 復(fù)數(shù)的定義與幾何解釋 81
3.2 復(fù)數(shù)的運算和向量 83
3.3 復(fù)數(shù)的模與輻角 87
3.3.1 模與輻角的定義 87
3.3.2 模與輻角的性質(zhì) 91
3.4 指數(shù)形式與復(fù)指數(shù)及其應(yīng)用 95
3.4.1 指數(shù)形式 95
3.4.2 幺模群 96
3.4.3 復(fù)指數(shù) 97
3.4.4 三角函數(shù)的和差化積以及積化和差 98
3.5 復(fù)數(shù)的n次根 103
3.5.1 n次單位根群 103
3.5.2 解方程 zn = a 105
3.6 解二次復(fù)系數(shù)方程 106
3.7 實變量復(fù)值函數(shù) 111
第 4 章 常微分方程 113
4.1 定義 113
4.2 一階線性微分方程 115
4.2.1 指數(shù)函數(shù)及其特征 116
4.2.2 解集的構(gòu)成與疊加原理 118
4.2.3 齊次方程的解 119
4.2.4 常數(shù)變易法 120
4.2.5 非預(yù)解形式的一階方程舉例 125
4.2.6 初值問題:解的存在**性 129
4.3 二階線性常系數(shù)微分方程 130
4.3.1 定義與解集的構(gòu)成 130
4.3.2 齊次方程的解 131
4.3.3 右端項為指數(shù)函數(shù)與多項式函數(shù)之積時特解的尋求 134
4.3.4 初值問題:解的存在**性 135
索引 138
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大學(xué)數(shù)學(xué)入門(1中文版)/中法工程師學(xué)院預(yù)科教學(xué)叢書 節(jié)選
第1章 微積分初步 在物理世界中運動無處不在，而運動往往是通過量與量之間的依賴關(guān)系來刻畫的.這種變量之間的依賴關(guān)系就是數(shù)學(xué)中所謂的“函數(shù)”，它是微積分研究的基本對象.而極限方法是研究函數(shù)的一種基本方法，也是微積分的理論基礎(chǔ). 聲明本章僅給出極限的描述性定義.其嚴(yán)格的形式定義將在《大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中講述，在此之前，本章所給出的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等基本理論暫時無法給出證明，因此我們先承認(rèn)它們.本章旨在使讀者學(xué)會如何運用這些理論來解決微積分相關(guān)的問題，而這些理論的證明我們將在《大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中給出. 1.1 函數(shù)的極限 1.1.1 函數(shù)極限的描述性定義 函數(shù)的極限可以分為兩種情形:à自變量趨于有限數(shù)時函數(shù)的極限;á自變量趨于無窮大(又分為正無窮大和負(fù)無窮大)時函數(shù)的極限.下面給出它們各自的描述性定義. 定義1.1.1設(shè)函數(shù)附近有定義(可能在a處沒有定義). (i)如果存在常數(shù)，使得當(dāng)x無限接近于a時，函數(shù)值f(x)無限接近于l(即無限接近于0)，則稱函數(shù)f在a處存在有限的極限(或說極限存在且有限).l叫做函數(shù)f在a處的極限，記作 (ii)如果當(dāng)x無限接近于a時，函數(shù)值f(x)可以大于任何給定的(正)實數(shù)，則稱f在a處的極限為正無窮，記為 (iii)如果當(dāng)x無限接近于a時，函數(shù)值f(x)可以小于任何給定的(負(fù))實數(shù)，則稱f在a處的極限為負(fù)無窮，記為 注:點a的“附近”一般是指包含a的某個開區(qū)間，有時可能不包含a. 例1.1.1 從函數(shù)的圖像可以看出(圖1.1). 圖1.1 函數(shù)上的圖像 例1.1.2 不難看出 定義1.1.2設(shè);函數(shù)f在區(qū)間(或)上有定義. (i)如果存在常數(shù)，使得當(dāng)x趨于正無窮+∞(或負(fù)無窮-∞)時，函數(shù)值f(x)無限接近于l(即jf(x) lj無限接近于0)，則稱函數(shù)f在+∞(或/∞)處存在有限的極限(或說極限存在且有限).l叫做函數(shù)f在+∞(或-∞)處的極限，記作 (ii)如果當(dāng)x趨于正無窮+∞(或負(fù)無窮/∞)時，函數(shù)值f(x)可以大于任何給定的(正)實數(shù)，則稱f在+∞(或-∞)處的極限為正無窮，記為 (iii)如果當(dāng)x趨于正無窮+∞(或負(fù)無窮/∞)時，函數(shù)值f(x)可以小于任何給定的(負(fù))實數(shù)，則稱f在+∞(或-∞)處的極限為負(fù)無窮，記為 注:+∞和-∞只是表示數(shù)值變化趨勢的符號，并不是實數(shù)，即但是，對于任意實數(shù)x，我們有-∞ 例1.1.3 例1.1.4 在定義1.1.1中，并沒有指出x是以何種方式趨于a的.我們可以考慮x僅從a的左側(cè) 趨于a(即xa且)的情形. 記號 定義1.1.3設(shè):我們稱是f在a處的 (i)左極限:如果f在a的左側(cè)附近有定義，且當(dāng)x從a的左側(cè)趨于a但時，函數(shù)值f(x)無限接近于l，記作 (ii)右極限:如果f在a的右側(cè)附近有定義，且當(dāng)x從a的右側(cè)趨于a但時，函數(shù)值f(x)無限接近于l，記作 注:當(dāng)l=+∞時，函數(shù)值無限接近于l是指函數(shù)值可以大于任何給定的(正)實數(shù);當(dāng)l=-∞時，函數(shù)值無限接近于l是指函數(shù)值可以小于任何給定的(負(fù))實數(shù). 下面的極限存在定理給出了一個函數(shù)在一點處極限存在的充要條件. 定理1.1.4 設(shè)f在左右兩側(cè)附近均有定義.記Df為f的定義域. 情形1: 此時，存在當(dāng)且僅當(dāng)f在a處左、右極限存在且都與函數(shù)值f(a)相等.若f在a處極限存在，則 情形2: 此時，存在當(dāng)且僅當(dāng)f在a處左、右極限存在且相等. 若f在a處極限存在，則 例1.1.5 因此在0處極限不存在. 例1.1.6 定義函數(shù)f滿足:我們有 由于左、右極限不相等，根據(jù)極限存在定理，f在1處極限不存在. 例1.1.7 設(shè)判斷f和g在0處的極限是否存在.若存在，求出極限值. 解:首先， 對于:所以 因此f在0處存在極限，且 對于:所以對于:所以 g在0處的左、右極限不相等，因此根據(jù)極限存在定理，g在0處的極限不存在. 習(xí)題1.1.8 定義函數(shù)f滿足:確定f在1處的極限(即先判斷極限是否存在，若存在，求出極限值). 例1.1.9考慮向下取整函數(shù)，即對于是不超過x的*大的整數(shù).例如:時，始終有 f(x)=n-1，因此 而當(dāng)時，始終有f(x)=n，因此 也就是說，f在n處的左極限和右極限都存在，但是不相等.根據(jù)極限存在定理，函數(shù)f在n處的極限不存在. 1.1.2 極限的性質(zhì)、參考極限和極限運算法則 定理1.1.5 (極限的**性)如果存在，其中a2R，那么該極限**. 注:上述定理說明: (1)如果有，其中L;M2R，則必定有L=M; (2)如果有;則不可能存在使得; (3)如果有;則不可能存在使得 命題1.1.6 (參考極限)設(shè):我們有 命題1.1.7 (函數(shù)極限運算法則)設(shè)是常數(shù).如果函數(shù)f和g都在a處 存在有限的極限，那么有g(shù)在a處存在有限的極限，且 (ii)在a處存在有限的極限，且，特別 地，對在a處存在有限的極限，且 (iv)若f在a附近恒大于等于零，則在a處存在有限的極限并且 注:(1)上述命題每項都有兩個結(jié)論:一是說明極限存在;二是說明極限值是什么. (2)上述命題要求函數(shù)f和g在a點的極限都必須存在且有限. 例1.1.10 計算 解:由參考極限，以及極限的運算法則可知存在并且 命題1.1.8設(shè)，P是一個實系數(shù)多項式函數(shù)滿足 則存在且 注:(1)證明留作練習(xí). (2)是“求和符號”，就是. 命題1.1.9設(shè)R是一個實系數(shù)有理函數(shù)，即存在兩個實系數(shù)多項式函數(shù)P和Q，其中;使得:記R的定義域為DR，設(shè)，則存在且 注:(1)證明留作練習(xí). (2)即Q不是零函數(shù).但是Q可以有零點(即取值為0的點). (3)事實上，R的定義域是所有使得Q的值不為0的實數(shù)的集合. 例1.1.11 計算: 解:設(shè)，我們有 由參考極限，以及極限運算法則得 因此，所求極限存在且 習(xí)題1.1.12 計算:
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