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機器人學的現代數學理論基礎 版權信息
- ISBN：9787030691842
- 條形碼：9787030691842 ; 978-7-03-069184-2
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
機器人學的現代數學理論基礎 內容簡介
本書全面深入地闡述了旋量理論與李群、李代數理論及其關聯關系, 反映了李群、李代數與機器人機構學相結合的*新理論研究成果。全書共9章, **章為緒論。第二章到第四章主要講述了旋量、李群、李代數等數學理論, 揭示了剛體位移的固有特性以及與有限位移旋量和李群的內在統一性。第五章介紹了旋量理論在機器人運動學的應用實例。為了更充分地展示現代數學在機器人學研究中的重要意義, 根據作者在機器人學理論上的研究進展, 第六章到第八章分別闡述了機器人的質心運動學、多足機器人運動規劃及動力學。第九章介紹了李群李代數和旋量理論在柔性機器人機構學方面的拓展應用。本書內容涵蓋了深厚的數學基礎、寬廣的背景知識、嚴謹的分析推導以及緊密的實際應用。
機器人學的現代數學理論基礎 目錄
目錄
第1章 緒論 1
1.1 幾何代數的發展 1
1.2 現代機構學的發展 3
1.3 機器人機構學與幾何代數 4
第2章 李群與李子群 6
2.1 群的相關定義 6
2.2 群的典型例子 7
2.3 剛體運動與剛體變換 10
2.3.1 剛體的位姿描述 12
2.3.2 剛體轉動與三維旋轉群 12
2.4 一般剛體運動與剛體變換群 15
2.4.1 一般剛體運動與齊次變換矩陣 15
2.4.2 三維特殊歐氏群SE(3)與一般剛體運動 16
2.5 李子群及其運算 19
2.6 機械關節 21
2.7 SE(3)全部子群與位移子群 24
2.8 Chasles 理論的延伸 27
第3章 李群與李代數 29
3.1 李代數 29
3.2 指數映射 32
3.3 伴隨表達 35
3.4 由李代數到李群的指數映射 37
第4章 旋量 40
4.1 點、線、面的齊次表示與Plücker坐標 40
4.2 線幾何 42
4.2.1 線矢量的定義與Plücker坐標 42
4.2.2 線矢量的運算 44
4.3 旋量的基本概念 45
4.3.1 旋量的定義 45
4.3.2 旋量的性質與運算 47
4.4 旋量與螺旋運動 49
4.4.1 螺旋運動的表達 49
4.4.2 運動旋量與瞬時螺旋運動 49
第5章 機器人運動學 53
5.1 串聯機器人正向運動學的指數積(POE)公式 53
5.1.1 正向運動學的指數積公式 53
5.1.2 基坐標系與初始位形的選擇 55
5.1.3 實例分析 55
5.2 串聯機器人逆運動學的指數積公式 59
5.2.1 逆運動學的指數積公式 59
5.2.2 子問題的分類與求解 62
5.3 雅可比矩陣 63
5.4 并聯機構的自由度與過約束分析 66
5.5 并聯機器人的速度雅可比矩陣 74
第6章 機器人質心運動學理論 77
6.1 質心與其運動學概述 77
6.2 質量位移矩陣 78
6.3 單分支系統質心運動學 81
6.4 多分支系統質心運動學 83
第7章 多足機器人運動規劃 90
7.1 足式機器人的靈活性 90
7.2 足式機器人的穩定評價分類 94
7.3 四足機器人步態分析 96
7.3.1 四足機器人步態分類 96
7.3.2 典型步態的運動規劃 98
7.4 六足機器人步態分析 103
7.4.1 六足機器人步態分類 103
7.4.2 典型步態的穩定性分析 107
第8章 基于慣性中心的足式機器人動力學 112
8.1 機器人系統的慣性中心 112
8.2 四足機器人動力學 114
8.2.1 動力學模型建立 115
8.2.2 擺動腿的力矩控制 116
8.2.3 支撐腿的力矩控制 118
8.3 六足機器人動力學 125
8.3.1 基于慣性中心的六足機器人動力學 126
8.3.2 基于拉格朗日方法的六足機器人動力學 131
第9章 柔性機器人機構學 135
9.1 變形旋量 135
9.2 連續梁的彈性表達 136
9.3 串聯彈性機構的剛度分析 138
9.3.1 含空間柔性構件的串聯操作器的旋量理論 138
9.3.2 含兩空間柔性連桿的串聯機器人的特征柔度分析 140
9.4 并聯彈性機構的剛度分析 142
9.4.1 運動學和柔性分析 142
9.4.2 基于并聯平臺特征柔度的彈性和設計參數影響分析 145
9.5 螺旋彈簧的剛度分析 147
9.5.1 螺旋彈簧的空間柔性 147
9.5.2 螺旋彈簧的柔性行為分析 149
9.6 串聯彈性機器人機構的動力學分析 151
9.6.1 基于能量法的動力學建模 151
9.6.2 算例 152
9.7 微納器件并聯彈性振動篩的動力學分析 156
9.7.1 系統能量 156
9.7.2 形函數和特征方程分析 158
9.7.3 系統阻尼和完整系統特征方程 159
9.7.4 設計參數對振動頻率的影響和模態分析 160
參考文獻 162
附錄 彈性關節和連桿的串聯機器人的李群理論 166
A1 含彈性關節的串聯機器人 166
A2 馮 米塞斯(von Mises)梁理論 166
A3 運動學 167
A4 剛度分析 168
第1章 緒論 1
1.1 幾何代數的發展 1
1.2 現代機構學的發展 3
1.3 機器人機構學與幾何代數 4
第2章 李群與李子群 6
2.1 群的相關定義 6
2.2 群的典型例子 7
2.3 剛體運動與剛體變換 10
2.3.1 剛體的位姿描述 12
2.3.2 剛體轉動與三維旋轉群 12
2.4 一般剛體運動與剛體變換群 15
2.4.1 一般剛體運動與齊次變換矩陣 15
2.4.2 三維特殊歐氏群SE(3)與一般剛體運動 16
2.5 李子群及其運算 19
2.6 機械關節 21
2.7 SE(3)全部子群與位移子群 24
2.8 Chasles 理論的延伸 27
第3章 李群與李代數 29
3.1 李代數 29
3.2 指數映射 32
3.3 伴隨表達 35
3.4 由李代數到李群的指數映射 37
第4章 旋量 40
4.1 點、線、面的齊次表示與Plücker坐標 40
4.2 線幾何 42
4.2.1 線矢量的定義與Plücker坐標 42
4.2.2 線矢量的運算 44
4.3 旋量的基本概念 45
4.3.1 旋量的定義 45
4.3.2 旋量的性質與運算 47
4.4 旋量與螺旋運動 49
4.4.1 螺旋運動的表達 49
4.4.2 運動旋量與瞬時螺旋運動 49
第5章 機器人運動學 53
5.1 串聯機器人正向運動學的指數積(POE)公式 53
5.1.1 正向運動學的指數積公式 53
5.1.2 基坐標系與初始位形的選擇 55
5.1.3 實例分析 55
5.2 串聯機器人逆運動學的指數積公式 59
5.2.1 逆運動學的指數積公式 59
5.2.2 子問題的分類與求解 62
5.3 雅可比矩陣 63
5.4 并聯機構的自由度與過約束分析 66
5.5 并聯機器人的速度雅可比矩陣 74
第6章 機器人質心運動學理論 77
6.1 質心與其運動學概述 77
6.2 質量位移矩陣 78
6.3 單分支系統質心運動學 81
6.4 多分支系統質心運動學 83
第7章 多足機器人運動規劃 90
7.1 足式機器人的靈活性 90
7.2 足式機器人的穩定評價分類 94
7.3 四足機器人步態分析 96
7.3.1 四足機器人步態分類 96
7.3.2 典型步態的運動規劃 98
7.4 六足機器人步態分析 103
7.4.1 六足機器人步態分類 103
7.4.2 典型步態的穩定性分析 107
第8章 基于慣性中心的足式機器人動力學 112
8.1 機器人系統的慣性中心 112
8.2 四足機器人動力學 114
8.2.1 動力學模型建立 115
8.2.2 擺動腿的力矩控制 116
8.2.3 支撐腿的力矩控制 118
8.3 六足機器人動力學 125
8.3.1 基于慣性中心的六足機器人動力學 126
8.3.2 基于拉格朗日方法的六足機器人動力學 131
第9章 柔性機器人機構學 135
9.1 變形旋量 135
9.2 連續梁的彈性表達 136
9.3 串聯彈性機構的剛度分析 138
9.3.1 含空間柔性構件的串聯操作器的旋量理論 138
9.3.2 含兩空間柔性連桿的串聯機器人的特征柔度分析 140
9.4 并聯彈性機構的剛度分析 142
9.4.1 運動學和柔性分析 142
9.4.2 基于并聯平臺特征柔度的彈性和設計參數影響分析 145
9.5 螺旋彈簧的剛度分析 147
9.5.1 螺旋彈簧的空間柔性 147
9.5.2 螺旋彈簧的柔性行為分析 149
9.6 串聯彈性機器人機構的動力學分析 151
9.6.1 基于能量法的動力學建模 151
9.6.2 算例 152
9.7 微納器件并聯彈性振動篩的動力學分析 156
9.7.1 系統能量 156
9.7.2 形函數和特征方程分析 158
9.7.3 系統阻尼和完整系統特征方程 159
9.7.4 設計參數對振動頻率的影響和模態分析 160
參考文獻 162
附錄 彈性關節和連桿的串聯機器人的李群理論 166
A1 含彈性關節的串聯機器人 166
A2 馮 米塞斯(von Mises)梁理論 166
A3 運動學 167
A4 剛度分析 168
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機器人學的現代數學理論基礎 節選
第1章 緒論 1.1 幾何代數的發展 David Hestenes將應用幾何方法描繪和分析代數問題的數學計算工具命名為幾何代數。為了紀念William K. Clifford為幾何代數發展所做出的奠基性貢獻，幾何代數又稱克利福德代數(Clifford algebra)。發展到19世紀上半葉，數學上出現了兩項革命性的發現—非歐幾何與不可交換代數。 歐氏幾何是人類創立的**個相對完整嚴密的數學體系，對科學和哲學的影響極其深遠。約在1826年，俄國數學家Nikolas lvanovich Lobachevsky和匈牙利數學家JánosBolyai首先提出了與通常的歐幾里得幾何不同的、但也是正確的幾何—非歐幾何。非歐幾何的創立打破了兩千多年來歐氏幾何一統天下的局面，它開辟了幾何學的新領域，將研究提升到了一個嶄新的高度，是自古希臘輝煌成就以來數學的一次偉大變革，是20世紀相對論產生的前奏和準備。非歐幾何所導致的思想解放對現代數學和現代科學有著極為重要的意義，使得人類終于開始突破感官的局限而探究自然的更深層次本質。 德國數學家Georg Friedrich Bernhard Riemann 1854年推廣了空間的概念，建立了一種更廣泛的幾何領域—黎曼幾何。黎曼幾何的創立既承認了Lobachevsky 建立的羅氏幾何，又顯示了其他非歐幾何創造的可能性。19世紀后期，數學家EugenioBeltrami、Felix Christian Klein、Jules Henri Poincaré在歐氏空間建立了非歐幾何的模型，非歐幾何得到了認可。而非歐幾何的發現還促進了對公理方法的深入探討，1899年德國數學家David Hilbert 發表論文Foundations of Geometry，以此分析了公理的完備性、相容性和獨立性等問題，做出了突出的貢獻。 另外，關于代數的發展方面，1798年意大利人Paolo Ruffini首次發表了一元五次方程不能用根式求解的證明。但是當時并沒有人理解，直到19 世紀20 年代中期，挪威數學家Niels Henrik Abel 給出了對這個方法的不可能性的完整證明。1828 年阿貝爾在一元四次以上方程的根式求解條件的探究中，引進了置換群的概念，現在通常把置換群叫作阿貝爾群。1829 年法國天才數學家évariste Galois進一步發展了這一思想，把全部根式求解問題轉化或者歸結為置換群及其子群結構的分析，創立了群論。古典代數的內容是以討論方程的解法為中心的，而群論出現之后，多種代數系統(環、域、格、布爾代數、線性空間等)被建立起來，Abel 和Galois開創了近代代數學的研究。這時代數學的研究對象擴大為向量、矩陣等，并轉向代數系統結構本身的研究。 1843年，愛爾蘭數學家和物理學家William Rowan Hamilton發現了一種乘法交換律不成立的代數—四元數代數，其標志著向量術語在物理學理論中普遍應用的開始，它的革命思想打開了近代代數的大門。 隨著幾何和代數的發展，二者的研究進一步融合。在19世紀60年代，英國數學家Arthur Cayley基于1806年法國數學家Louis Poinsot 提出的剛體力分析的力中心軸理論以及1830 年法國數學家Michel Floreal Chasles 提出的剛體位移理論，建立了空間直線的六維坐標；德國數學家Julius Plücker 確定了表示直線空間和位置的六個坐標，即Plücker 坐標。在直線幾何和線性代數的研究基礎之上，1876年愛爾蘭數學家、天文學家Robert Stawell Ball 出版了旋量理論的初始論著。英國數學家Clifford在1873 年提出對偶四元數之后，又于1882 年系統地研究了旋量同向量、四元數及對偶四元數的關系。進而，Robert Stawell Ball 結合其之前關于旋量理論的系列研究成果，于1900 年出版了劃時代經典著作A Treatise on the Theory of Screw，為旋量理論的發展奠定了基礎。 隨著幾何代數的發展，群的概念早已被人們認為是現代數學中*基本的概念之一。群不僅在幾何學、代數拓撲學、函數論、泛函分析及其他許多數學分支中起著重要的作用，還形成了一些新的學科，如拓撲群、李群等。李群、李代數產生于19 世紀末，并應用在物理、化學、工程學等多個領域中。 19世紀70年代，為了把伽羅瓦理論應用到微分方程的對稱性理論中，挪威數學家Marius Sophus Lie 開始進行李群理論的相關研究。(Lie *初所研究的是局部李變換群及李代數。)1880 年，Lie發表文章Theorie der Transformations Gruppen Ⅰ，正式給出了“變換群”的定義，將群的封閉性確切地予以表示，這篇文章也是李群的分類工作的開端。1884 年，Lie 發表了李群理論研究的一些結果，定義了無限連續群。在19 世紀后期，李代數是Lie 研究連續變換群時引進的一個數學概念。1888～1893 年，在德國數學家Friedrich Engel 的協助下，Lie的主要著作Theorie der TransformationsGruppen Ⅲ 陸續出版，這些工作解決了李群與李代數之間的關系，即李的基本定理。 德國數學家基靈(Wilhelm Killing)對李群的結構理論的進步有著重大貢獻，他的工作對數學的發展也有著深刻的影響。1884 年，基靈開始研究變換群，發表了文章Erweiterung des Raumbegriffes；1886 年，他發表了文章Zur Theorie der Lie'schenTransformations Gruppen。1884 年，Lie 發現研究與無窮小運動相關的空間形式就相當于用無窮小自同構群來對這些空間形式的幾何進行分類，這直接將基靈的研究導向了李代數的分類問題。1888年，Killing 發表了兩篇Die Zusammensetzung der StetigenEndlichen Transformations Gruppen 系列文章，接著在隨后的兩年又發表了兩篇，幾乎完成了單李代數的分類。其結果簡潔而又能揭示更多性質，開創了新的方法和方向。基于Killing 的工作，Elie Cartan進一步進行了研究。1913年，Cartan 開始研究群的表示理論。1914 年，發表文章Les groupes reels simples finis et continus，完成了實數域上有限維單李代數的分類。從1925 年起，Cartan 再次對單李群和半單李群的線性表示理論進行了深入研究，并且開展了“對稱黎曼空間”的相關研究，從此開創了微分幾何研究的新時代。 1925年，德國數學家Hermann Weyl 發表了三篇系列文章，發展了真正融合幾何、代數和分析方法的李群表示論的核心理論，李群理論開始成熟。在其出版的著作TheTheory of Groups and Quantum Mechanics 中，首次將李群表示論應用于量子力學中，應用了轉動群的線性表示。Weyl 的研究工作使李群理論從真正意義上走進了現代李群發展階段。Chevally *早把李群理論用現代數學的語言系統地予以重新整理。 李群、李代數是現代數學的基本研究對象，也是現代數學的一個重要領域，對數學、物理等許多領域的影響與日俱增。隨著在物理學、幾何學等多學科上應用的巨大成功，李群、李代數理論也在不斷成長。在近年的發展中，李群和李代數及其推廣，如Kac Moody 群和代數、李超代數、量子群等的研究更是全面地展開，這些充分展示了李群和李代數理論的重要性。 1.2 現代機構學的發展 機構學在廣義上又稱機構與機器科學(mechanism and machine science)，作為機械工程學科的重要研究分支，旨在研究機構的構型原理與新機構的發明創造、運動學與動力學及其性能分析評價。機構的組成要素是構件和運動副。 機構學的發展可以追溯到古代的水車、門鎖等簡單機械，從東漢時期的渾天儀、文藝復興時期的計時裝置和天文觀測器發展到現在的巨型射電望遠鏡平臺，從達 芬奇的軍事機械、工業革命時期的蒸汽機到現代的機器人，從百年前萊特兄弟的飛機、奔馳的汽車到現如今的高鐵、飛機，從20 世紀60 年代的登月飛船到現代的航天飛機和星球探測器。機構是機械裝備創新的基石和源泉，對現代工業技術的發展貢獻巨大。 隨著機構學的深入研究與發展，標志性成果不斷涌現。瑞士數學家Leonhard Euler首先把平面運動看成一點的平動和繞該點的轉動，這一疊加理論奠定了機構運動學分析的基礎。法國的Coriolis 推導了相對速度和加速度的關系，即科氏定理，形成了機構的運動分析原理。英國的James Watt 發明了保證蒸汽機氣缸推桿與氣泵近似直線運動的連桿機構，即瓦特連桿。英國劍橋大學教授Robert Willis 的著作Principles ofMechanisms 建立了機構運動學的基礎。德國的Franz Reuleaux 在其專著Kinematics ofMachinery 中建立了構件、運動副、運動鏈及運動簡圖等概念，被譽為機構學的奠基人。德國學者Ludwig Burmester 提出了機構綜合的圖解法，為機構綜合幾何圖解法體系奠定了基礎。俄國科學院院士Chebyschev 首次建立了平面機構的自由度計算數學公式，向機構的數綜合(number synthesis)邁出了重要一步。 機構是機器人構造和基本運動功能實現的基礎，機器人機構學是機器人研究的核心理論，也是現代機構學發展的一個重要標志和重要組成部分。隨著機器人應用領域的拓展和任務需求的變化，其技術研發越來越復雜、多元、深入，機器人機構由傳統的關節串聯型(工業機器人的典型機型)發展成多分支的并聯型以及混聯型，由剛性機器人發展成柔性機器人再到軟體機器人，由全自由度機器人發展到少自由度機器人、欠驅動機器人、冗余度機器人，由宏觀機器人發展到微納機器人等。機器人機構學的發展為機器人技術的繁榮發展注入了蓬勃的生機和活力，同時推動了對現代機構學的深入研究和廣泛應用，形成了一些新的研究方向。 1.3 機器人機構學與幾何代數 隨著數學在物理學中的廣泛應用，越來越多的數學家開始探索幾何代數在機構學領域的應用，推動了運動幾何學和機構學的發展。機構學的誕生及其早期發展與數學的發展息息相關。20 世紀50～60年代以后，隨著控制理論、計算機技術的發展，幾何代數逐漸成為研究機構學的重要方法。歐氏幾何、線性代數與矩陣理論、用于拓撲分析與綜合的圖論(graph theory)以及四元數方法、線幾何(line geometry)、旋量理論(screw theory)、李群和李代數(Lie group and Lie algebra)等先后被應用到了機構學領域，促進了機構學的發展。機構學的發展中，剛體位移及其相關理論的研究奠定了機器人機構學研究的基礎。不同的數學方法在機構學中的作用各有側重。旋量代數和李群、李代數以其對空間直線運動及相關代數運算描述的幾何直觀性與代數抽象性而成為21世紀機構學與機器人學研究中*受歡迎的數學工具。 美國哥倫比亞大學的Freudenstein 教授利用圖論實現了機構拓撲結構的描述，針對平面機構和空間機構的構型綜合進行了深入的研究。并且基于解析方法進行了機構運動學和動力學分析與綜合，開辟了用計算機進行機構運動學綜合的道路。隨著不斷地研究，線幾何、四元數、旋量理論、位移群、微分流形等現代數學工具也被應用到機構的分析與綜合中。 由于四元數方法具有存儲空間小、計算準確率、效率高、表達簡潔等優點，近年來在機構運動學、控制、機器人動畫等領域廣泛應用。 旋量理論起源于19世紀，其物理
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