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伯恩哈德·黎曼論奠定幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè) 版權(quán)信息
- ISBN：9787030680273
- 條形碼：9787030680273 ; 978-7-03-068027-3
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數(shù)：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
伯恩哈德·黎曼論奠定幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè) 內(nèi)容簡介
德國數(shù)學(xué)家JürgenJost的著作"BernhardRiemannOntheHypothesesWhichLieattheBasesofGeometry"，以一個(gè)微分幾何學(xué)家的獨(dú)特視角，將黎曼幾何學(xué)思想置于更為寬廣的背景--哲學(xué)、物理學(xué)以及幾何學(xué)--加以考察，并將黎曼的推理置于他的追隨者基于他的開創(chuàng)性思想所獲得的更普遍和更系統(tǒng)的視角進(jìn)行研究。作者遵循西方數(shù)學(xué)史家所主張的數(shù)學(xué)史研究方法論之"接受史"研究范式，考察了從亞里斯多德到牛頓的物理學(xué)中的空間觀念、康德的空間哲學(xué)、以及非歐幾何學(xué)發(fā)展的歷史，同時(shí)還從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)對黎曼關(guān)于幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)文本中所涉及的現(xiàn)代數(shù)學(xué)概念予以闡釋，探究黎曼幾何學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)和理論物理的深刻聯(lián)系。
伯恩哈德·黎曼論奠定幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè) 目錄
目錄
譯者序
前言
第1章 導(dǎo)言 1
第2章 歷史的概述 8
2.1 物理學(xué)中的空間概念， 從亞里士多德到牛頓 8
2.2 康德的空間哲學(xué) 14
2.3 作為基本模型的歐幾里得空間 18
2.4 幾何的發(fā)展: 非歐幾何和微分幾何 21
2.5 關(guān)于黎曼的就職演講 22
第3章 黎曼的演講 24
3.1 黎曼的就職演講 (根據(jù)“文集”第304-319頁轉(zhuǎn)載) 24
3.2 赫爾曼 外爾的數(shù)學(xué)評論 (根據(jù)伯恩哈德 黎曼文集第740-768頁) 33
3.2.1 《論奠定幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》單行本序言 33
3.2.2 《論奠定幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》單行本注釋 34
第4章 黎曼論文的呈現(xiàn) 51
4.1 論文概要 51
4.2 論文主要結(jié)果 52
4.3 黎曼的論證 53
第5章 黎曼論文的接受與影響 67
5.1 亥姆霍茲 67
5.2 黎曼幾何與愛因斯坦相對論的進(jìn)一步發(fā)展 74
5.3 李與對稱群理論 78
5.4 外爾和流形上的聯(lián)絡(luò)概念 79
5.5 空間作為結(jié)構(gòu)的幾何表示工具 81
5.6 黎曼、亥姆霍茲和新康德主義者 82
5.7 幾何公理基礎(chǔ) 83
5.8 傳統(tǒng)主義 86
5.9 抽象空間概念 87
第6章 現(xiàn)代研究 90
6.1 流形的全局結(jié)構(gòu) 90
6.2 黎曼幾何與現(xiàn)代物理學(xué) 93
第7章 附評注的書目選編 95
7.1 文本的不同版本 95
7.2 書目 97
7.3 介紹 98
7.4 重要專著和文章 101
術(shù)語表 104
傳記大綱及年表 105
術(shù)語索引 109
譯者序
前言
第1章 導(dǎo)言 1
第2章 歷史的概述 8
2.1 物理學(xué)中的空間概念， 從亞里士多德到牛頓 8
2.2 康德的空間哲學(xué) 14
2.3 作為基本模型的歐幾里得空間 18
2.4 幾何的發(fā)展: 非歐幾何和微分幾何 21
2.5 關(guān)于黎曼的就職演講 22
第3章 黎曼的演講 24
3.1 黎曼的就職演講 (根據(jù)“文集”第304-319頁轉(zhuǎn)載) 24
3.2 赫爾曼 外爾的數(shù)學(xué)評論 (根據(jù)伯恩哈德 黎曼文集第740-768頁) 33
3.2.1 《論奠定幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》單行本序言 33
3.2.2 《論奠定幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》單行本注釋 34
第4章 黎曼論文的呈現(xiàn) 51
4.1 論文概要 51
4.2 論文主要結(jié)果 52
4.3 黎曼的論證 53
第5章 黎曼論文的接受與影響 67
5.1 亥姆霍茲 67
5.2 黎曼幾何與愛因斯坦相對論的進(jìn)一步發(fā)展 74
5.3 李與對稱群理論 78
5.4 外爾和流形上的聯(lián)絡(luò)概念 79
5.5 空間作為結(jié)構(gòu)的幾何表示工具 81
5.6 黎曼、亥姆霍茲和新康德主義者 82
5.7 幾何公理基礎(chǔ) 83
5.8 傳統(tǒng)主義 86
5.9 抽象空間概念 87
第6章 現(xiàn)代研究 90
6.1 流形的全局結(jié)構(gòu) 90
6.2 黎曼幾何與現(xiàn)代物理學(xué) 93
第7章 附評注的書目選編 95
7.1 文本的不同版本 95
7.2 書目 97
7.3 介紹 98
7.4 重要專著和文章 101
術(shù)語表 104
傳記大綱及年表 105
術(shù)語索引 109
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伯恩哈德·黎曼論奠定幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè) 節(jié)選
第1章 導(dǎo)言 一篇沒有公式的數(shù)學(xué)講座， 一篇沒有圖片或插圖的幾何論文， 一份只有 16 頁而且偶然產(chǎn)生的數(shù)學(xué)手稿， 但是， 它像少數(shù)那些長得多、詳細(xì)得多、計(jì)算也仔細(xì)得多的重要著作一樣， 改變了數(shù)學(xué). 這方面， 我們可以提到 Leonhard Euler 所著的《尋求具有某種極大或極小性質(zhì)的曲線的方法》(Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprictate gaudentes)①創(chuàng)立了變分法；Carl Friedrich Gauss 的《算術(shù)研究》(Disquisitiones arithmeticae) 將數(shù)論確立為一門獨(dú)立的學(xué)科②；Georg Cantor 的集合論， 它在數(shù)學(xué)中引入了現(xiàn)代的無限概念；Sophus Lie 的變換群理論， 它關(guān)于對稱問題的系統(tǒng)研究構(gòu)成了量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；David Hilbert 關(guān)于各種數(shù)學(xué)學(xué)科公理基礎(chǔ)的綱領(lǐng)性著作；*近， Alexander Grothendieck 關(guān)于代數(shù)幾何和算術(shù)的系統(tǒng)統(tǒng)一上所做的工作. 我們在這里討論的是伯恩哈德 黎曼的 Ueber die Hypothesen，welche der Geometrie zu Grunde liegen(《論奠定幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》)， 這篇簡短的論文寫于 1854 年， 但直到 1868 年黎曼去世后才出版， 其廣泛的影響甚至超越了上述那些著作. 這是因?yàn)樗牡匚惶幱跀?shù)學(xué)、物理和哲學(xué)的交匯處， 它不僅建立并確立了一門核心的數(shù)學(xué)學(xué)科， 而且為 20 世紀(jì)的物理學(xué)鋪平了道路， 同時(shí)也代表了對某些空間哲學(xué)概念永恒的駁斥. 本書將對數(shù)學(xué)領(lǐng)域這一重要文獻(xiàn)進(jìn)行編輯， 對其所處時(shí)代的爭議進(jìn)行定位， 并將其對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響進(jìn)行分析和比較. 黎曼的論文“Ueber die Hypothesen， welche der Geometrie zu Grunde liegen”以一種與歐幾里得的《原本》、萊布尼茨和牛頓關(guān)于無窮微積分的著作或上面提到的所有著作截然不同的方式塑造和改造了數(shù)學(xué). 它在某種程度上影響了數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)的發(fā)展.此外， 本文對愛因斯坦的廣義相對論影響也是必不可少的. *近， 它還提供了量子場論及其在理論基礎(chǔ)粒子物理學(xué) (超弦理論、量子引力等) 中的發(fā)展等理論的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu). 然而， 其影響的歷史并不是線性的. 黎曼的例行學(xué)術(shù)報(bào)告 Ueber die Hypothesen，welche der Geometrie zu Grunde liegen 被召集到現(xiàn)場的是當(dāng)時(shí)領(lǐng)頭的德國物理學(xué)家赫爾曼 亥姆霍茲 (后來被封為爵士， 因此被封為馮 亥姆霍茲 (von Helmholtz))，他的反駁論文 . Uber die Thatsachen， die der Geometrie zu Grunde liegen(論幾何學(xué)基礎(chǔ)的事實(shí)) 的標(biāo)題已經(jīng)指出了一個(gè)相互矛盾的立場和方法. (不過， 在這篇文章中， 與黎曼的相似之處占主導(dǎo)地位，①其主旨不是反對黎曼， 而是反對康德的空間概念.) ②然而， 如果把亥姆霍茲在幾何學(xué)基礎(chǔ)上所作的工作簡單地看作是已建立的權(quán)威對年輕天才的反對， 是保守的科學(xué)態(tài)度對代表新科學(xué)方向的主角的反對 (這種反對現(xiàn)在已經(jīng)過時(shí)和被遺忘了)， 這是不正確的， 也是誤導(dǎo)人的. 黎曼的工作部分是由一些模糊的自然哲學(xué)思辨所推動(dòng)的， 反過來， 他的文章對自然哲學(xué)也有重要的影響，而亥姆霍茲的思考的起源是建立在感覺生理學(xué)上的， 在這里他的思想仍然高度相關(guān). 此外， 亥姆霍茲還影響了另一個(gè)基本的數(shù)學(xué)理論， 即李氏對稱群理論. 盡管 Lie對亥姆霍茲著作的數(shù)學(xué)方面提出了尖銳的批評， 但他還是采用了后者的概念方法.李氏對稱群理論已成為量子力學(xué)的基石之一. 對稱性和不變性的概念將現(xiàn)代物理學(xué)的直覺與黎曼和愛因斯坦意義上的幾何數(shù)學(xué)框架聯(lián)系起來. 從這個(gè)意義上說， 亥姆霍茲的論文包含了一個(gè)對現(xiàn)代物理學(xué)有遠(yuǎn)見卓識(shí)的方面， 盡管這一點(diǎn)只有在 Lie 的工作中才變得清楚， 而且很可能與亥姆霍茲的想法大相徑庭. 黎曼的動(dòng)機(jī)可能是一些模糊的自然哲學(xué)的思考， 他的工作反過來對自然哲學(xué)有重要的影響. 與此相反， 亥姆霍茲的思考首先是從感覺生理學(xué)開始的， 他的思想至今仍與此相關(guān)；其次， 他的思考還影響了一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)方向， 那就是李氏對稱群理論. 盡管 Lie 對亥姆霍茲論文的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)提出了尖銳的批評， 但他還是繼承了后者的概念方法. 李氏對稱群理論成為量子力學(xué)的重要基礎(chǔ)之一， 對稱性和不變性的概念將現(xiàn)代物理學(xué)的物理直覺與黎曼和愛因斯坦意義上的幾何數(shù)學(xué)框架聯(lián)系起來. 在這個(gè)意義上， 亥姆霍茲的文章也為現(xiàn)代物理學(xué)發(fā)揮了先鋒作用. 這種影響很可能與亥姆霍茲自己的想象大相徑庭. 這與黎曼的文章形成鮮明的對比， 黎曼文章的影響不是直接的， 而是通過 Lie 的工作產(chǎn)生的. 值得注意的是， 黎曼的“假設(shè)”作為數(shù)學(xué)中的關(guān)鍵文獻(xiàn)之一， 在沒有數(shù)學(xué)公式的情況下進(jìn)行 (在整個(gè)文本中， 只有一個(gè)公式， 它的重要性微乎其微). 這使得黎曼的文本有別于其他基礎(chǔ)數(shù)學(xué)著作， 如萊布尼茨的復(fù)雜和深思熟慮的象征主義或康托爾的無限的形式化. 甚至是他*重要的先驅(qū)， 高斯的著作 Disquisitiones generales circa superficies curvas(《關(guān)于曲面的一般研究》) 作為黎曼幾何的起點(diǎn)的現(xiàn)代微分幾何的創(chuàng)立， 在這方面卻有很大的不同. 至少在這種情況下， 數(shù)學(xué)的歷史不僅僅是一個(gè)漸進(jìn)的形式化過程， 而且事實(shí)證明， 數(shù)學(xué)抽象在原則上可以遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越公式①. 黎曼對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的決定性塑造， 達(dá)到了只有高斯 (Carl Friedrich Gauss) 的影響可以與之媲美的程度. 他不僅以在這里發(fā)表的他的就職演講而創(chuàng)立了現(xiàn)代幾何 (現(xiàn)代幾何學(xué)*重要的部分因此被稱為黎曼幾何)， 而且他還創(chuàng)造了許多基本理論， 介紹了許多基本概念， 這些概念指導(dǎo)和影響了許多其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域. 他的黎曼曲面概念巧妙地結(jié)合了復(fù)分析和橢圓積分理論. 這項(xiàng)工作同時(shí)也是拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展的起點(diǎn). 相對于黎曼幾何， 拓?fù)鋵W(xué)研究與度量屬性無關(guān)的形式和形狀. 它也對現(xiàn)代代數(shù)幾何產(chǎn)生了決定性的影響. 在此基礎(chǔ)上， 在復(fù)變函數(shù)理論中引入了全新的分析工具. 后者， 即使一開始， 魏爾斯特拉斯就發(fā)現(xiàn)并指出了分析上的重要漏洞 (這些漏洞后來才被希爾伯特所彌補(bǔ))， 為現(xiàn)代變分學(xué)和偏微分方程解的存在性理論奠定了基礎(chǔ). 反過來， 通過數(shù)值分析的方法來實(shí)現(xiàn)和控制它們， 這些構(gòu)成了現(xiàn)代工程的基本工具. 一個(gè)新穎而開創(chuàng)性的想法是， 黎曼不再試圖通過解析表達(dá)式來逼近復(fù)平面上的解析函數(shù)， 而是把它們看作是由它們的奇異點(diǎn)決定的 (極點(diǎn)， 即它們變成無窮大的點(diǎn)， 或者分支點(diǎn)). 這樣他就可以給這樣一個(gè)函數(shù)指定一個(gè)黎曼曲面， 然后根據(jù)黎曼曲面的拓?fù)鋪泶_定函數(shù)的定性性質(zhì). 它幾乎輻射到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域， 甚至革新了數(shù)論， 數(shù)論的解析表達(dá)式也可以用幾何方法來解釋和處理. 同樣， 黎曼曲面理論的一個(gè)開創(chuàng)性的方面是， 黎曼不僅研究單個(gè)數(shù)學(xué)對象， 而且通過參數(shù)的可變性來概念化一類對象. 這就引出了模空間理論， 它是代數(shù)幾何的基礎(chǔ). 因此， 黎曼曲面也構(gòu)成了目前*有希望的統(tǒng)一已知物理力的弦理論的基本對象， 該理論用于統(tǒng)一已知的物理力. 所謂黎曼{羅赫定理 (古斯塔夫 羅赫 (Gustav Roch， 1839-1866) 是黎曼早期已故的學(xué)生， 他完成了黎曼在這些問題上的工作) 是 20 世紀(jì)下半葉數(shù)學(xué)的指導(dǎo)原則之一， 并在 Hirzebruch， Atiyah-Singer 和 Grothendieck 的著作中產(chǎn)生了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要成果. 黎曼假設(shè)， 在其提出 150 多年后， 仍然被認(rèn)為是所有數(shù)學(xué)中*難和*深?yuàn)W的未解決問題. 黎曼傳記 伯恩哈德 黎曼 (Bernhard Riemann) 是下撒克遜新教牧師的兒子，生于 1826 年， 死于 1866 年. 他一直非常依賴于他的家庭， 由于家中的多名孩子早亡而導(dǎo)致家庭財(cái)務(wù)狀況無保障， 這使得黎曼處于非常困難的境地. 和數(shù)學(xué)史上大多數(shù)偉人一樣， 他在上學(xué)時(shí)就顯示出非凡的數(shù)學(xué)天賦. 猶豫了一陣之后， 他追隨自己的天賦， 在哥廷根和柏林的科學(xué)中心學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)而不是他父親所希望的神學(xué). 他的主要學(xué)術(shù)導(dǎo)師和榜樣是卡爾 弗里德里希 高斯①和彼得 古斯塔夫 勒瓊 狄利克雷 (Peter Gustav Lejeune Dirichlet， 1805-1859)②， 在高斯的指導(dǎo)下于 1851 年獲得博士學(xué)位， 并參加了狄利克雷在柏林的許多講座. 狄利克雷于 1855 年成為高斯在哥廷根的繼任者， 黎曼在 1857 年被任命為副教授， 隨后又于 1859 年作為哥廷根大學(xué)的一名全職教授而成為狄利克雷的繼任者. 他靦腆多病， 但他豐富的數(shù)學(xué)洞察力、他的數(shù)學(xué)理論的大膽和獨(dú)創(chuàng)性給科學(xué)界留下了深刻的印象. 他在家庭之外只與年輕的數(shù)學(xué)家理查德 戴德金 (Richard Dedekind， 1831-1916)③建立了更密切的個(gè)人聯(lián)系. 經(jīng)歷了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的學(xué)術(shù)生涯的步驟， 從講師到哥廷根教授. 教授的薪水大大緩解了他的經(jīng)濟(jì)狀況， 尤其是在他父母和弟弟去世后， 他還承擔(dān)了負(fù)責(zé)三個(gè)未婚姐妹的責(zé)任. 由于健康問題， 他不得不延長在意大利的逗留時(shí)間 (意大利的氣候更適合他)， 從而中斷這一職位， 但在那里， 他于 40 歲之前死于肺病， 留下了妻子和一個(gè)年幼的女兒. 黎曼既沒有像阿貝爾(Niels Hendrik Abel， 1802-1829) 和伽羅瓦 (Evariste Galois， 1811-1832) 那樣年輕時(shí)就去世了， 他們在短暫的一生中只創(chuàng)造了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)理論 (阿貝爾積分和群理論)， 他也沒有活到像經(jīng)常脾氣暴躁、性格孤僻的高斯那樣的老年. 他既沒有歐拉 (Leonhard Euler， 1707-1783) 那種幾乎無窮無盡的活力， 也沒有雅可比 (Carl Gustav Jacob Jacobi， 1804-1851) 和菲利克斯 克萊因 (Felix Klein， 1849-1925) 那樣的精力充沛. 他不能像大衛(wèi) 希爾伯特 (David Hilbert， 1862-1943) 那樣依賴一群才華橫溢的年輕學(xué)生和合作者， 因?yàn)楸匾闹贫鹊葪l件是后來由菲利克斯 克萊因等人在德國建立的 (后來又被納粹再次摧毀， 他們驅(qū)逐、謀殺猶太數(shù)學(xué)家， 并流放那些不是猶太人但持不同意見的人). 但是高斯和黎曼造就了數(shù)學(xué)在德國尤其是在哥廷根的興起， 而哥廷根首先使這種制度化成為可能. 據(jù)作者所知， 目前還沒有針對普通讀者的詳細(xì)的黎曼傳記①. 此外， 杰出數(shù)學(xué)家的傳記并不罕見， 在一些國家甚至構(gòu)成了民族自豪感的一種表達(dá)， 比如挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾和李 (Sophus Lie， 1842-1899) 的傳記， 作者是阿里爾德 斯塔豪格 (Arild Stubhaug). 在其他情況下， 例如由 Constance Reid 寫的 David Hilbert 和 Richard Courant(1888-1972) 的傳記在數(shù)學(xué)家中很受歡迎， 他們在當(dāng)時(shí)艱難困苦的環(huán)境下的生活以及影響他們的歷史事件也引起了人們的興趣. 由于黎曼的一生是在一段平靜的時(shí)間里度過的， 這段時(shí)間既沒有戲劇性的個(gè)人故事也沒有戲劇性的歷史事件， 因此也就沒有材料來講述一個(gè)引人入勝的傳奇故事. 同樣， 人們對天才的崇拜(實(shí)際上黎曼就是一個(gè)很好的例子) 也沒有像對待年輕的數(shù)學(xué)家阿貝爾和伽羅瓦或藝術(shù)家拉斐爾、莫扎特和席勒那樣對他們產(chǎn)生崇拜， 他們的壽命和黎曼相仿. 如果我們把當(dāng)時(shí)所謂的 “私人講師” (privatdozenten， 即 private lecturers 私人講師) 所處的不穩(wěn)定的財(cái)務(wù)狀況放在一邊， 則從今天的角度來看， 黎曼的學(xué)術(shù)生活似乎沒有問題. 這些私人講師都是博士或博士后級別卻沒有固定的教授職位
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