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經(jīng)典數(shù)論的現(xiàn)代導(dǎo)引 版權(quán)信息
- ISBN：9787030687548
- 條形碼：9787030687548 ; 978-7-03-068754-8
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊(cè)數(shù)：暫無(wú)
- 重量：暫無(wú)
- 所屬分類：>>
經(jīng)典數(shù)論的現(xiàn)代導(dǎo)引 本書特色
一本處處都有拓展閱讀材料的基礎(chǔ)數(shù)論課程的教材，數(shù)論研究者的參考書，數(shù)學(xué)愛好者的數(shù)論參考書
經(jīng)典數(shù)論的現(xiàn)代導(dǎo)引 內(nèi)容簡(jiǎn)介
經(jīng)典數(shù)論的主要內(nèi)容既包括整數(shù)理論、同余理論、一次到n次剩余方程、丟番圖方程、佩爾方程、連分?jǐn)?shù)、原根與指數(shù)，也包括費(fèi)爾馬歐拉定理、威爾遜高斯定理、秦九韶定理（中國(guó)剩余定理、勒讓德符號(hào)與二次互反律、表整數(shù)為平方和、荷斯泰荷姆定理等。此外，它還伴隨著遐邇聞名的完美數(shù)問(wèn)題、同余數(shù)問(wèn)題、費(fèi)爾馬大定理、哥德巴赫猜想、孿生素?cái)?shù)猜想、黎曼猜想、歐拉猜想、卡塔蘭猜想、華林問(wèn)題、3x＋1問(wèn)題、BSD猜想、abc猜想等。本書以一種特殊的方式（每節(jié)配以引人入勝的補(bǔ)充讀物）把這些素材聯(lián)起來(lái)，再通過(guò)引入加乘方程、形素?cái)?shù)、平方完美數(shù)、默比烏斯函數(shù)指數(shù)、橢圓曲線等新概念和方法，拓廣了包括希爾伯特第8問(wèn)題在內(nèi)的經(jīng)典數(shù)論問(wèn)題和猜想。與此同時(shí)，幾乎每個(gè)章節(jié)都提出或留有深淺不一的新問(wèn)題和新猜想。且在-5章每章習(xí)題后以二維碼形式鏈接了該章習(xí)題參考解答，供讀者查閱。 本書既適合數(shù)論專業(yè)的研究者和業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者閱讀，也適合用作高等院校本科生、研究生的基礎(chǔ)數(shù)論課程教材或參考書。
經(jīng)典數(shù)論的現(xiàn)代導(dǎo)引 目錄
目錄
序: 數(shù)是我們心靈的產(chǎn)物
第1章 整除的算法 1
1.1 自然數(shù)的來(lái)歷 1
完美數(shù)與親和數(shù) 5
1.2 自然數(shù)的奧妙 6
鑲嵌幾何與歐拉示性數(shù) 11
1.3 整除的算法 12
梅森素?cái)?shù)與費(fèi)爾馬素?cái)?shù) 16
1.4 *大公因數(shù) 24
格雷厄姆猜想 27
1.5 算術(shù)基本定理 29
希爾伯特第8問(wèn)題 35
習(xí)題1 40
第2章 同余的概念 42
2.1 同余的概念 42
高斯的《算術(shù)研究》 45
2.2 剩余類和剩余系 47
函數(shù)[x]與3x+1問(wèn)題 51
2.3 費(fèi)爾馬-歐拉定理 55
歐拉數(shù)和歐拉素?cái)?shù) 61
2.4 表分?jǐn)?shù)為循環(huán)小數(shù) 62
默比烏斯函數(shù) 65
2.5 密碼學(xué)中的應(yīng)用 69
廣義歐拉函數(shù) 72
習(xí)題2 75
第3章 同余式理論 77
3.1 秦九韶定理 77
斐波那契的兔子 80
3.2 威爾遜定理 84
高斯的《算術(shù)研究》 90
3.3 丟番圖方程 92
畢達(dá)哥拉斯數(shù)組 96
3.4 盧卡斯同余式 98
覆蓋同余系 103
3.5 素?cái)?shù)的真?zhèn)?105
素?cái)?shù)或合數(shù)之鏈 110
習(xí)題3 112
第4章 平方剩余 114
4.1 二次同余式 114
高斯環(huán)上的整數(shù) 117
4.2 勒讓德符號(hào) 120
表整數(shù)為平方和 124
4.3 二次互反律 131
n角形數(shù)與費(fèi)爾馬 133
4.4 雅可比符號(hào) 135
阿達(dá)馬矩陣和猜想 139
4.5 合數(shù)模同余 140
正十七邊形作圖法 143
習(xí)題4 145
第5章 n次剩余 146
5.1 指數(shù)的定義 146
埃及分?jǐn)?shù) 148
5.2 原根的存在性 150
阿廷猜想 152
5.3 n次剩余 153
佩爾方程 160
5.4 合數(shù)模的情形 164
丟番圖數(shù)組 165
5.5 狄利克雷特征 167
三類特殊指數(shù)和 171
習(xí)題5 174
第6章 整數(shù)冪模同余 176
6.1 貝努利數(shù)和多項(xiàng)式 176
庫(kù)默爾同余式 180
6.2 荷斯泰荷姆定理 182
橢圓曲線 186
6.3 拉赫曼同余式 190
abc猜想 196
6.4 莫利定理和雅克布斯坦定理 200
自守形式和模形式 207
6.5 一類調(diào)和和同余式 210
多項(xiàng)式系數(shù)非冪 214
第7章 加乘數(shù)論 219
7.1 新華林問(wèn)題 219
7.2 新費(fèi)爾馬定理 226
7.3 歐拉猜想 234
7.4 F完美數(shù)問(wèn)題 240
7.5 新同余數(shù)問(wèn)題 247
7.6 abcd方程 254
參考文獻(xiàn) 265
附錄 10000以內(nèi)素?cái)?shù)表 266
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經(jīng)典數(shù)論的現(xiàn)代導(dǎo)引 節(jié)選
第1章 整除的算法 1.1 自然數(shù)的來(lái)歷 在人類所有的發(fā)明中, *古老的無(wú)疑是數(shù)學(xué)和詩(shī)歌了. 可以說(shuō)自從有了人類的歷史, 就有了這兩樣?xùn)|西. 如果說(shuō)詩(shī)歌起源于農(nóng)人祈求豐收的禱告, 那么牧人計(jì)算家畜的只數(shù)便產(chǎn)生了數(shù)學(xué). 由此看來(lái), 它們均源于生存的需要. 隨著時(shí)間的推移, 人類漸漸有了明確的正整數(shù)概念: 1, 2, 3, …, 這些正整數(shù)的全體被稱為自然數(shù)(natural number, 有時(shí)也包含0), 顯然有著天然的或來(lái)自自然界的意思. *初, 可能因?yàn)檫@些牲畜的財(cái)物是如此重要, 人們?cè)诒磉_(dá)同一數(shù)量的不同對(duì)象時(shí)所用的量詞也不盡相同. 例如, 在古英語(yǔ)里使用過(guò)team of horses (共同拉車或拉犁的兩匹馬), yoke of oxen (共軛的兩頭牛), span of mules (兩只騾), brace of dogs (一對(duì)狗), pair of shoes (一雙鞋)等. 慢慢地, 只剩下pair一詞較為常用. 至于漢語(yǔ), 量詞的變化更為豐富, 且有許多一直保留至今. 很久以后, 人類才從無(wú)數(shù)生活經(jīng)驗(yàn)和社會(huì)實(shí)踐中, 把這樣的數(shù)(比如2)作為共同性質(zhì)抽象出來(lái), 這意味著自然數(shù)的誕生. 事實(shí)上, 它的意義遠(yuǎn)不止于此, 英國(guó)哲學(xué)家羅素(Russell, 1872—1970)指出: 當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)一對(duì)雛雞和兩天之間有某種共同的東西(數(shù)字2)時(shí), 數(shù)學(xué)就誕生了. 而在作者看來(lái), 數(shù)學(xué)的誕生或許稍晚一些, 即在人們從“3只雞蛋加上2只雞蛋等于5只雞蛋, 3枚箭矢加上2枚箭矢等于5枚箭矢, 等等”中抽象出“3 + 2 = 5”之時(shí). 也就是說(shuō), 在我們對(duì)自然數(shù)實(shí)行加法和減法運(yùn)算以后, 那可能比羅素所定義的要晚上幾千年. 當(dāng)人們需要進(jìn)行更廣泛、深入的數(shù)字交流時(shí), 就必須將計(jì)數(shù)方法系統(tǒng)化. 世界各地的不同民族不約而同地采取了以下方法: 把從1開始的若干連續(xù)的自然數(shù)作為基數(shù), 以它們的組合來(lái)表示大于這些數(shù)字的數(shù). 換言之, 采用了進(jìn)位制. 在不同民族和原始部落中, 使用過(guò)的有據(jù)可查的基數(shù)有2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 12, 16, 20和60等. 如同全才的古希臘哲學(xué)家亞里士多德(Aristotle, 公元前384—前322)所言, 由于“絕大多數(shù)人生來(lái)具有10個(gè)手指這個(gè)解剖學(xué)事實(shí)”, 十進(jìn)制*終被廣泛采納. 當(dāng)然, 古代巴比倫人發(fā)明的60進(jìn)制仍被保留下來(lái), 作為眾所周知的時(shí)間單位之間的一種換算. 有人這樣推算過(guò)巴比倫人的計(jì)算方法, 即利用了一只手拇指以外的12個(gè)關(guān)節(jié)和另一只手的5個(gè)手指. 至于二進(jìn)制, 有證據(jù)表明, 曾被澳大利亞昆士蘭原住民和非洲矮人使用過(guò), 而在三千多年前中國(guó)一部古老而深邃的典籍《易經(jīng)》里, 就已在六十四卦里藏匿了這一奧妙. 接下來(lái)是0的出現(xiàn)和記號(hào). 1881年在印度白沙瓦附近(今屬巴基斯坦)出土的“巴克沙利手稿”中, 記載了公元前后數(shù)個(gè)世紀(jì)的耆那教數(shù)學(xué). 里面出現(xiàn)了完整的10進(jìn)制數(shù), 包括用實(shí)心的點(diǎn)書寫的零. 至晚9世紀(jì), 印度人用圓圈代替了實(shí)心. 之后, 0連同其他9個(gè)數(shù)字的記號(hào)經(jīng)阿拉伯人的改造傳遞到了西方, 然后再次變更并傳遍整個(gè)世界, 且被訛傳為阿拉伯?dāng)?shù)字. 等到17世紀(jì), 德國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家萊布尼茨(Leibniz, 1646—1716)在他發(fā)明可以計(jì)算乘除的輪式計(jì)算機(jī)以前, 已建立起嚴(yán)格的二進(jìn)制. 他用0表示空位, 用1表示實(shí)位, 所有的自然數(shù)均可由這兩個(gè)數(shù)表示. 例如, 1=1, 2=10, 3=11, 4=100, 5=101, …. 遺憾的是, 萊布尼茨未能將兩者聯(lián)系起來(lái). 直到20世紀(jì)中葉, 匈牙利出生的美國(guó)數(shù)學(xué)家馮·諾依曼(von Neumann, 1903—1957)在為計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)的程序中, 作了一系列重要革新, 才用二進(jìn)制代替十進(jìn)制, 他也因此被譽(yù)為“電子計(jì)算機(jī)之父”. 對(duì)任意整數(shù)b>1, b進(jìn)制早就建立起來(lái)了. 可是, 對(duì)素?cái)?shù)p(定義見1.3節(jié)),p進(jìn)數(shù)(p-adic數(shù))卻是晚近才有的概念. 1897年, 德國(guó)數(shù)學(xué)家亨澤爾(Hensel, 1861—1941)通過(guò)對(duì)絕對(duì)值重新進(jìn)行解釋, 將有理數(shù)的算術(shù)用一種不同于實(shí)數(shù)系或復(fù)數(shù)系的方法進(jìn)行了擴(kuò)展. 如若, 則, 而對(duì)其余素?cái)?shù)p, . 故在五進(jìn)制數(shù)里, 下列級(jí)數(shù)是收斂的. 這是因?yàn)? 不僅如此, 我們還能求出S的值. 將上式兩端同乘以5, 可得 兩式相減, 即得, 因此. 但在本書里, 我們要討論的整數(shù)以10進(jìn)制的形式出現(xiàn). 在一些東方古國(guó), 都有過(guò)從自然界中提取出數(shù)的規(guī)律的偉大發(fā)現(xiàn), 比如巴比倫人和中國(guó)人各自發(fā)現(xiàn)了3平方數(shù)組, 即我們祖先所稱的勾股數(shù)或古希臘人所稱的畢達(dá)哥拉斯數(shù). 在中國(guó)*早的數(shù)學(xué)典籍《周髀算經(jīng)》(至晚公元前1世紀(jì))里, 記載了西周**個(gè)皇帝周武王的弟弟周公(公元前11世紀(jì))與大夫商高關(guān)于測(cè)量的一段對(duì)話, 其中提到 勾廣三, 股修四, 徑隅五. 《周髀算經(jīng)》里的勾股定理插圖 這應(yīng)該是現(xiàn)存(3, 4, 5)這組*小的勾股數(shù)的首次記錄. 雖然現(xiàn)藏紐約哥倫比亞大學(xué)的巴比倫泥版書“普林頓322號(hào)”歷史更為悠久, 但那上面*小的畢達(dá)哥拉斯數(shù)組卻是(45, 60, 75). 周公是孔子*崇敬的人, 《周禮》的作者, 書中提出了“六藝”, 數(shù)是其中之一. 在《周髀算經(jīng)》里, 還敘述了周公后人榮方與學(xué)者陳子(約公元前六七世紀(jì))的一段對(duì)話: 以日下為勾, 日高為股, 勾股各自乘, 并而開方除之, 得斜至日. 此即勾股定理, 用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)就是 每一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊長(zhǎng)的平方. 不過(guò), 西方人將此結(jié)論稱為畢達(dá)哥拉斯定理, 并早已約定俗成了. 一來(lái)古代東西方文化和科技交流幾乎隔絕, 二來(lái)畢達(dá)哥拉斯率先給出了證明. 畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras, 公元前580—前500)是古希臘**個(gè)堪稱偉大的數(shù)學(xué)家, 他生活的年代比陳子和榮方略晚. 值得一提的是, 畢達(dá)哥拉斯是用詩(shī)歌的語(yǔ)言來(lái)描述他所發(fā)現(xiàn)的**個(gè)定理的. 斜邊的平方, 如果我沒有弄錯(cuò), 等于其他兩邊的 平方之和. 畢達(dá)哥拉斯出生在地中海東端的薩摩斯島(今希臘), 曾游歷埃及和巴比倫, 后來(lái)他在克羅托內(nèi)(今意大利南方)創(chuàng)辦了一個(gè)秘密社團(tuán), 廣收弟子, 形成了所謂的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派, 其影響綿延后世兩千多年. 畢達(dá)哥拉斯*早認(rèn)識(shí)到在客觀世界和音樂(lè)中數(shù)的重要性, 并提出了“萬(wàn)物皆數(shù)”這一哲學(xué)命題. 在他和他的弟子們關(guān)于自然數(shù)的種種發(fā)現(xiàn)里面, *有意思的可能要數(shù)完美數(shù)和親和數(shù). 許多文明和民族都對(duì)自然數(shù)有著宗教般的信仰或幻想, 完美數(shù)便是其中一個(gè). 所謂完美數(shù)或完全數(shù)(perfect number)是這樣的自然數(shù)n, 它等于其真因子的和, 即滿足 此處表示d整除n(參見定義1.1). *小的兩個(gè)完美數(shù)是6和28, 這是因?yàn)?畢達(dá)哥拉斯或許*早研究了完美數(shù), 至遲到公元1世紀(jì), 希臘人已知道第3個(gè)完美數(shù)496和第4個(gè)完美數(shù)8128. 畢達(dá)哥拉斯和古羅馬思想家圣奧古斯丁(Saint Augustinus, 354—430)都認(rèn)定6是完美無(wú)缺的. 甚至《舊約圣經(jīng)》首卷《創(chuàng)世紀(jì)》里也提到, 上帝用6天的時(shí)間創(chuàng)造了世界(第7天是休息日). 相信地心說(shuō)的古希臘人則認(rèn)為, 月亮圍繞地球旋轉(zhuǎn)一圈所需的時(shí)間是28天. 在1.3節(jié)我們將會(huì)了解, 一個(gè)偶數(shù)n要成為完美數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它是下列形式 其中p和均為素?cái)?shù). 后者即著名的梅森素?cái)?shù), 也就是說(shuō), 有多少梅森素?cái)?shù), 就有多少偶完美數(shù), 反之亦然. 迄今為止, 人們已發(fā)現(xiàn)了51個(gè)梅森素?cái)?shù), 這也是已知完美數(shù)的數(shù)量. 另一方面, 既沒有人找到哪怕一個(gè)奇完美數(shù)(如果存在的話, 一定大于), 也沒有人能夠否定它的存在. 這些使得完美數(shù)問(wèn)題引人入勝, 我們將在1.3節(jié)給出上述充要條件的證明, 并在7.3節(jié)進(jìn)行更為細(xì)致深入的研究和拓展, 那也是本書*有價(jià)值的部分之一. 所謂親和數(shù)或友好數(shù)(amicable number)是指這樣一對(duì)數(shù), 其中的任意一個(gè)是另一個(gè)的真因子之和. 顯然, 完美數(shù)與其自身互為親和數(shù), 因此通常人們只考慮不同的兩個(gè)數(shù). 畢達(dá)哥拉斯找到了*小的一對(duì)親和數(shù)220和284, 這是因?yàn)?《創(chuàng)世紀(jì)》里也曾提到, 雅各送給孿生兄弟以掃220只羊, 以示摯愛之情. 后人為親和數(shù)添加了神秘色彩, 使其在魔法術(shù)和占星術(shù)方面得到應(yīng)用. 歐洲中世紀(jì)期間, 敘利亞數(shù)學(xué)家、阿基米德著作的阿拉伯文譯者塔比(Thabit, 826—901, 其出生地哈蘭, 今屬土耳其)認(rèn)為, 畢達(dá)哥拉斯和他的追隨者之所以研究完美數(shù)和親和數(shù), 是為了表達(dá)他們的哲學(xué)觀念. 塔比還率先給出了確定親和數(shù)的方法, 他指出, 對(duì)任意整數(shù), 若均為素?cái)?shù), 則必是一對(duì)親和數(shù). 當(dāng)n=2時(shí), 它對(duì)應(yīng)的就是畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的那一對(duì). 遺憾的是, 阿拉伯人并沒有用這種方法找到新的親和數(shù). 而事實(shí)上, 有兩對(duì)只是舉手之勞. 直到1636年, 第二對(duì)親和數(shù)(17296, 18416)才由有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美稱的法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬(Fermat, 1601—1665)找到; 同年, 費(fèi)爾馬的同胞、數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家笛卡兒(Descartes,1596—1650)找到了第三對(duì)(9363584, 9437056). 在此之前, 16世紀(jì)伊斯蘭世界的一位主要的數(shù)學(xué)家、伊朗人亞茲迪(Yazdi)已找到這對(duì). 這兩對(duì)分別對(duì)應(yīng)于塔比數(shù)組n=4和n=7的情形. 到了1747年, 瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler, 1707—1783)利用自己的方法, 一下子找到了30多對(duì)親和數(shù). 他一生共找到了60多對(duì), 其中一對(duì)(10744, 10856)比費(fèi)爾馬所得的還小. 第二小的一對(duì)親和數(shù)是(1184, 1210), 這是在1866年, 由一位16歲的意大利男孩帕格尼尼(Paganini)發(fā)現(xiàn)的. 歐拉還把塔比的親和數(shù)公式作了推廣, 對(duì)任意的整數(shù), 若 均為素?cái)?shù), 則必是一對(duì)親和數(shù). 當(dāng)m=n1時(shí), 此即為塔比公式, 但歐拉的公式只提供了兩對(duì)新的親和數(shù), 即當(dāng)(m,n)=(1,8)和(29,40)時(shí). 迄今為止, 人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的親和數(shù)遠(yuǎn)比完美數(shù)要多, 有1200多萬(wàn)對(duì). 可是, 無(wú)論親和數(shù)還是完美數(shù), 我們都不知道是否有無(wú)限多對(duì)(個(gè)). 1955年, 匈牙利數(shù)學(xué)家愛多士(Erds, 1913—1996)證明, 親和數(shù)在自然數(shù)中的密度為0. 而假如親和數(shù)有無(wú)限多對(duì), 我們想問(wèn), 親和數(shù)對(duì)兩數(shù)之比是否趨向于1? 1.2 自然數(shù)的奧妙 在自然數(shù)中間存在著無(wú)窮無(wú)盡的奧妙, 這使得研究整數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支——數(shù)論充滿了魅力, 吸引了古往今來(lái)不計(jì)其數(shù)的數(shù)學(xué)天才和業(yè)余愛好者. 有著“數(shù)學(xué)王子”美譽(yù)的德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯(Gauss, 1777—1855)曾談道:“任何一個(gè)花過(guò)一點(diǎn)功
經(jīng)典數(shù)論的現(xiàn)代導(dǎo)引 作者簡(jiǎn)介
蔡天新，浙江臺(tái)州人，山東大學(xué)理學(xué)博士，浙江大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師、求是特聘學(xué)者，專攻數(shù)論。他提出了形素?cái)?shù)和加乘方程的概念，后者被德國(guó)數(shù)學(xué)家普萊達(dá)·米哈伊列斯庫(kù)贊為“陰陽(yáng)方程”，而有關(guān)華林問(wèn)題的研究被英國(guó)數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎(jiǎng)得主阿蘭·貝克贊為“真正原創(chuàng)性的貢獻(xiàn)”。 讀研期間，繆斯的偶然光顧催發(fā)了他的詩(shī)情，至今已出版文學(xué)、學(xué)術(shù)和普及著作30多部，作品被譯成20多種語(yǔ)言，并已出版外版著作20多種。其中《數(shù)學(xué)傳奇——那些難以企及的人物》獲國(guó)家科學(xué)技術(shù)進(jìn)步獎(jiǎng)，《數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史》獲吳大猷原創(chuàng)科普著作佳作獎(jiǎng)，“科學(xué)與人類文明”課程獲國(guó)家教學(xué)成果獎(jiǎng)。
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