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子流形幾何 版權信息
- ISBN：7312016189
- 條形碼：9787312016189 ; 978-7-312-01618-9
- 裝幀：簡裝本
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
子流形幾何 本書特色
本書主要研究超曲面的微分幾何。在介紹了黎曼幾何的基本概念以后，對歐氏空間、球空間、Lorentz-Minkowski空間、de Sitter空間、復雙曲空間中的超曲面進行了深入的研究，所獲得的結果都是*新的。本書可供微分幾何方向的研究生使用。
子流形幾何 內容簡介
本書主要研究超曲面的微分幾何。在介紹了黎曼幾何的基本概念以后，對歐氏空間、球空間、Lorentz-Minkowski空間、de Sitter空間、復雙曲空間中的超曲面進行了深入的研究，所獲得的結果都是*新的。本書可供微分幾何方向的研究生使用。
子流形幾何子流形幾何 前言
前言回到頂部↑
古典微分幾何研究三維歐氏空間中的曲線、曲面理論。而現代微分幾何研究黎曼空間的分析、拓撲、幾何等性質，所使用的數學工具包括：李群、微分拓撲、代數拓撲、微分方程、泛函分析等。作為子流形的特殊情況，超曲面的微分幾何有更加豐富的內容。從作者的博士論文中提取大部分內容，融入徐森林教授課題組關于子流形幾何研究的大部分結果，撰成本書，為那些想深入研究微分幾何的同仁們提供一本必要的參考書，這便是撰寫本書的宗旨。.
本書共有六章。
**章介紹了微分流形、切空間與切映射、線性聯絡、黎曼流形、黎曼子流形等基本概念，它們是以后各章學習的基礎。這些知識在一般的黎曼幾何書中都可以查到，因此，我們只作一些敘述，并且只對個別重要定理加以證明。
第二章研究歐氏空間中的極小超曲面。在給出了**、第二變分公式以后，首先引進調和指標和調和穩定的概念，使用這些概念去研究歐氏空間中極小超曲面在無窮遠處的連通性。獲得：歐氏空間中具有有限全數量曲率的定向完備且調和穩定的極小超曲面必是超平面。這一結果是在穩定條件下人們所獲得的結果的推廣。然后研究了歐氏空間中極小超曲面的調和指標與端點的關系，得到：對于歐氏空間中具有有限數量全曲率的定向完備極小超曲面，它上面的有界調和函數全體構成的向量空間的維數等于它的端點的個數，這個向量空間可以由這些端點處的調和函數的代表元所生成。..
第三章研究球空間Sn+p中的n維緊致極小子流形。首先對于數量曲率廠大于n(n-2)的緊致極小子流形M，當余維9小于等于2時，則M是全測地的。對于余維P大于2，當M在Sn+p中的法曲率有上界時，M是全測地的。另外獲得：法叢平坦且具有非負截面曲率的緊致極小子流形M的數量曲率廠一定介于n(n-p-1)和n(n-2)之間。特別，微分同胚于n維球面的具有非負截面曲率的緊致極小超曲面必須是全測地的，這個結果給出了丘成桐教授提出的一個問題的部分解答。然后通過計算并估計子流形的高斯映照的能量密度的拉普拉斯，給出了關于子流形的黎奇曲率及第二基本形式長度平方的一個“夾擊”定理，由此改進了潘養廉教授在歐氏空間中對應的一個結果。*后研究極小超曲面的剛性問題，得到：單位球面中的n維緊致極小超曲面M，如果它的第二基本形式長度平方S介于n和n+1／2之間，則S=n且M與Clifford環面等距。這個結果一方面表明Clifford環面具有一定的剛性，另一方面也給出了陳省身教授關于單位球面中常數量曲率的極小超曲面的數量曲率是離散的一個猜測的部分解答。第四章考慮Lorentz-Minkowski空間中的類空旋轉超曲面。對于滿足某種魏因加吞條件的這類超曲面，獲得了它們的生成曲線所滿足的微分方程，在給出這種超曲面的滾動構造后，將生成曲線的微分方程的求解轉化為對應的滾動曲線的微分方程的求解，這是三維歐式空間中Delaunay滾動構造定理的推廣。在這一章的*后，研究Bernstein型問題，獲得了常數平均曲率超曲面的整體解的唯一性。通過考察無窮遠處射影邊界的解，對它們進行了分類。也構造出具有常數平均曲率的超曲面所滿足的微分方程的漸近于光錐的任意二階光滑擾動解。
第五章考慮de Sitter空間中常數平均曲率的類空超曲面。獲得了一個外在剛性定理和兩個內在剛性定理，這些定理部分地回答了Goddard猜測，即：de Sider空間中常數平均曲率的完備類空超曲面必是全臍的。本章還給出了de Sitter空間中類空旋轉魏因加吞超曲面的一個存在性定理。對于常平均曲率的完備非緊類空超曲面，如果它的截面曲率非負，則它與歐氏空間等距或者與雙曲柱面等距。我們也研究了類空超曲面的高斯映照和守恒律，獲得：類空超曲面的高斯映照是調和的充要條件是超曲面是極小的，常平均曲率的完備非緊類空超曲面的高斯映照一定滿足守恒律。
第六章考慮復雙曲空間中的實超曲面。對于n=2的等參超曲面，給出了兩個定理，其一，削弱了Berndt分類定理的條件，其二，解決了Vernon遺漏的一個問題。另外，我們獲得：復雙曲空間中的實超曲面為等參超曲面當且僅當它的每個平行超曲面具有常數平均曲率，這一結果是Cartan在實空間形式中的一個定理的推廣。本章*后研究復雙曲空間中具有常數平均曲率實超曲面的穩定性，在給出了這類超曲面的第二變分公式后，獲得：復雙曲空間中具有常平均曲率的完備嵌入實超曲面是測地球、極限球或等距超曲面，它們中每一個都是某個群在復雙曲空間上作用的軌道，并且都是穩定的。
本書的寫法，簡明扼要，一些具體細節可在相關材料中找到，希望讀者充分利用書后的參考資料。
子流形幾何 目錄
前言
**章 黎曼幾何的基本概念
1.1 微分流形
1.2 切空間與切映射
1.3 線性聯絡
1.4 黎曼流形
1.5 黎曼子流形
第二章 歐氏空間中的極小超曲面
2.1 體積的**、第二變分公式
2.2 具有有限調和指標的極小超曲面
2.3 等參函數和F不變的極小超曲面
第三章 球空間中的極小子流形
3.1 數量曲率的夾擊
3.2 Gauss映照及其應用
3.3 極小超曲面的剛性
第四章 Lorentz-Minkowski空間中的旋轉超曲面
4.1 約化的常微分方程
4.2 滾動構造和Delaunay定理的推廣
4.3 給定主曲率函數的旋轉超曲面
4.4 Bernstein型問題
第五章 de Sitter空間中的類空超曲面
5.1 類空超曲面
5.2 剛性定理
5.3 非負曲率的完備超曲面
5.4 Gauss映照及其守恒律
5.5 類空旋轉W超曲面
第六章 復雙曲空間中的實超曲面
6.1 等參超曲面
6.2 切觸超曲面
6.3 平行直曲面簇
6.4 常平均曲率超曲面
參考文獻
索引
**章 黎曼幾何的基本概念
1.1 微分流形
1.2 切空間與切映射
1.3 線性聯絡
1.4 黎曼流形
1.5 黎曼子流形
第二章 歐氏空間中的極小超曲面
2.1 體積的**、第二變分公式
2.2 具有有限調和指標的極小超曲面
2.3 等參函數和F不變的極小超曲面
第三章 球空間中的極小子流形
3.1 數量曲率的夾擊
3.2 Gauss映照及其應用
3.3 極小超曲面的剛性
第四章 Lorentz-Minkowski空間中的旋轉超曲面
4.1 約化的常微分方程
4.2 滾動構造和Delaunay定理的推廣
4.3 給定主曲率函數的旋轉超曲面
4.4 Bernstein型問題
第五章 de Sitter空間中的類空超曲面
5.1 類空超曲面
5.2 剛性定理
5.3 非負曲率的完備超曲面
5.4 Gauss映照及其守恒律
5.5 類空旋轉W超曲面
第六章 復雙曲空間中的實超曲面
6.1 等參超曲面
6.2 切觸超曲面
6.3 平行直曲面簇
6.4 常平均曲率超曲面
參考文獻
索引
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子流形幾何 作者簡介
許志才，男，回族，1958年8月出生，安徽壽縣人，中共黨員，畢業于中國科學技術大學數學系（現數學科學學院），獲理學博士學位，安徽理工大學教授、碩士研究生導師，教育部本科教學水平評估專家組成員，全國模范教師，安徽省中青年學科帶頭人重點培養對象，安徽省教學名師，安徽省數學會常務理事，安徽省級教學團隊帶頭人（《應用數學》），原全國煤炭數學會副理事長，原安徽理工大學理學院院長兼安徽理工大學教學評估辦公室主任。
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