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離散數學 第二版
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離散數學 第二版 版權信息
- ISBN：9787030535665
- 條形碼：9787030535665 ; 978-7-03-053566-5
- 裝幀：暫無
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：
離散數學 第二版 本書特色
本書主要讀者對象是省重點和一般院校計算機類、電子工程類、信息管理和信息工程類、數學類等理工科學生。也可作為重點大學非研究類型的理工科學生的教材或參考書。
離散數學 第二版 內容簡介
本書共分6章，分別是緒論、命題邏輯、謂詞邏輯、集合論、代數系統和圖論。主要內容包括離散量與離散數學、命題公式演*、命題邏輯的推理理論、歸結演繹推理、謂詞公式的解釋、謂詞公式演算、自然演繹推理、集合運算、集合計數、鴿籠原理、包含排除原理(容斥原理)、二元關系、函數與映射、代數運算、同態、同構、群、群在編碼理論中的應用、布爾代數、圖的基本概念、圖的矩陣表示、有向圖、歐拉圖、哈密頓圖、帶權圖和樹。本書設計為72學時，帶星號*的章節可視具體情況選講。
離散數學 第二版 目錄
目錄
前言
第1章 緒論 1
1.1 離散量與離散數學 1
1.2 離散數學的地位和作用 3
1.3 計算機為什么要依賴數學 5
1.4 如何學好離散數學 5
第2章 命題邏輯 8
2.1 命題邏輯概述 8
2.2 命題及命題聯結詞 9
習題2.2 13
2.3 命題公式及其賦值 14
習題2.3 24
2.4 用命題公式描述實際問題 25
習題2.4 31
2.5 命題公式的等值演算 32
習題2.5 41
2.6 命題公式的范式 41
習題2.6 55
2.7 命題邏輯的推理理論 57
習題2.7 64
2.8 命題邏輯的歸結演繹推理 66
習題2.8 71
第3章 謂詞邏輯 72
3.1 謂詞邏輯概述 72
習題3.1 75
3.2 謂詞公式 76
習題3.2 79
3.3 用謂詞公式描述實際問題 80
習題3.3 90
3.4 謂詞公式的解釋 91
習題3.4 96
3.5 謂詞公式的等值演算 97
習題3.5 104
3.6 謂詞邏輯的自然演繹推理 105
習題3.6 109
第4章 集合論 112
4.1 集合的基本概念 112
習題4.1 115
4.2 集合運算 116
習題4.2 121
4.3 集合的包含關系與恒等關系 121
習題4.3 125
4.4 有窮集合的計數 126
習題4.4 131
4.5 二元關系 131
習題4.5 160
4.6 函數與映射 163
習題4.6 167
第5章 代數系統 169
5.1 代數運算 169
習題5.1 173
5.2 代數系統 174
習題5.2 183
5.3 群 185
習題5.3 191
5.4 環與域 192
習題5.4 194
5.5 格 194
習題5.5 197
5.6 布爾代數 198
習題5.6 200
第6章 圖論 201
6.1 圖的基本概念 201
習題6.1 204
6.2 圖的連通性 205
習題6.2 208
6.3 圖的矩陣表示 210
習題6.3 212
6.4 有向圖 213
習題6.4 217
6.5 歐拉圖與哈密頓圖 218
習題6.5 224
6.6 帶權圖 225
習題6.6 229
6.7 樹 230
習題6.7 236
習題答案及提示 239
參考文獻 274
展開全部
離散數學 第二版 節選
第1章 緒論 1.1 離散量與離散數學 離散數學是包含數理邏輯、數論、代數、圖論等多個數學分支內容的一門學科，它的研究對象是離散量的結構以及離散量之間的相互關系。離散量用于描述量之間相互關聯的緊密程度。有些量之間的關聯是松散的，其分布是稀疏的，這些量稱為離散量。例如，整數全體、有限個實數、有限集合等所代表的量都是離散量。而有些量之間的關聯是緊致的，它們的分布是稠密的、連續的，這些量稱為連續量。例如，實數全體所代表的量是一個連續量。離散量是相對于連續量而言的，目前還沒有關于離散量的嚴格定義。為了更好地把握離散數學的研究對象，下面給出離散量的一個較為嚴格的定義！ 净玖俊慷x1.1 一個獨立的不再細分的對象稱為一個基本量。 例如，每一個自然數n都可以作為一個基本量；三個實數2、3、6.5可分別定義為三個基本量；集合A={a1，a2， ，ak}中的每一個元素都可以定義為一個基本量！ ∽ⅲ夯玖渴窃谟懻摼唧w問題時作為一個基準的量來定義的，當一個對象被定義為基本量以后，就不再進行進一步的分解！ ±，在購買飛機的交易中，其價格以元為基本量，那么無論飛機價格如何浮動，都要以元為*小的價格單位，不能有更小的零頭。又如，設集合A={[0，1]，[2，3]}，把A中的元素定義為基本量，則A有兩個基本量[0，1]和[2，3]。作為基本量，[0，1]不能再進一步分解，只能作為一個整體對待。 【可數無窮集】定義1.2 設A是一個集合，如果存在集合A與自然數集之間的雙射，則稱A為可數無窮集。 【離散型集合】定義1.3 設A是一個集合，若A是有限集或可數無窮集，則稱A是離散型集合！ 具B續統】定義1.4 全體實數所構成的集合稱為連續統(continuum)。 【連續型集合】定義1.5 設A是一個集合，如果存在集合A與連續統之間的雙射，則稱A為連續型集合！ 疽粋集合所代表的量】定義1.6 設A是一個集合，把A中的每一個元素都定義為一個基本量，則A中的基本量全體稱為A所代表的量！ 〖螦所代表的量是由A中所有成員構成的！凹螦”與“集合A所代表的量”這兩個概念具有不同的含義：對于集合A來說，A中的成員是A的元素，僅僅表示一個對象，沒有量的含義；而對于集合A所代表的量來說，A中的每一個成員是一個基本量，可以作為量來運算和操作。例如，設A={1，2，5，10，20，50，100}，作為集合，A由7個元素組成，每個元素都是數，不代表任何的量。若把A中的每一個元素都定義為一個基本量，則A代表了7個量。例如，可以用A所代表的量來表示人民幣的面值。 【離散量】定義1.7 設A是一個離散型集合，把A中的每一個元素都定義為一個基本量，則A所代表的量稱為離散量！ Q言之，設x是一個變量，若x的所有取值構成的集合是一個離散型集合，則稱x是一個離散量！ ±纾顇表示“一個姓張的中國人”，則x的所有取值構成的集合為M={a|a是中國人且姓張}，M是一個有限集，M是離散型集合，因此，x是一個離散量！ 具B續量】定義1.8 設A是一個連續型集合，把A中的每一個元素都定義為一個基本量，則A所代表的量稱為連續量。 換言之，設x是一個變量，若x的所有取值構成的集合是一個連續型集合，則稱x是一個連續量！ ±，令x表示“一個負數”，則x的所有取值構成的集合為H={b|b是實數且b＜0}，H是一個連續型集合，因此，x是一個連續量！ ±1.1 全體整數所代表的量是離散量；全體有理數所代表的量也是離散量！ 〗猓阂驗檎麛导痁是可數無窮集，有理數集Q也是可數無窮集，所以，按定義1.7，Z所代表的量是離散量，Q所代表的量也是離散量。 例1.2 開區間(0，1)上的全體實數所代表的量不是離散量。 解：因為區間(0，1)上的全體實數組成的集合不是可數無窮集，所以，該集合所代表的量不是離散量。 【離散數學與計算機數學】離散數學是在計算機科學與技術的發展過程中派生出來的一門學科，而不是在數學的研究過程中從某個數學領域(或數學專題)分離出來的一個數學分支。離散數學的誕生是計算機科學和技術發展的需要。早期，“離散數學”是作為大學計算機專業一門課程的名稱出現的。美國于20世紀70年代開始開設“離散數學”課程。隨著計算機硬件和軟件的迅速發展，計算機的應用領域不斷擴大，許多問題都借助于計算機來解決。但是，計算機不能完美地解決所有實際問題，這是由計算機的系統結構決定的。人們現在用的計算機的系統結構本質上仍屬于馮 諾依曼結構。這種系統結構的特征是，在計算機運行一個程序的過程中先將組成程序的指令和相關數據一同存放在計算機的存儲器中，然后在執行程序時計算機按照程序指定的邏輯順序把指令從存儲器中讀出來逐條執行。由于計算機以字節為單位存儲數據，且任何一臺計算機只能存儲有限字節，因而，一臺計算機只能存儲有限個數據和指令。所以，計算機只能處理離散型數據。另外，計算機在不同領域中的應用需要不同的數學工具和數學方法；在解決不同的實際問題時需要建立不同的數學模型和不同的算法。而這些數學工具和方法分布在多個數學分支中。于是，人們就把這些在計算機應用中常用到的數學知識和方法歸集到一起構成一門課程，給計算機專業的學生講授。由于這門課程的內容所涉及的量都是離散量，所以把這門課程稱為離散數學。 離散數學所涉及的數學分支主要包括：集合論、邏輯演算、遞歸論、數論、線性代數、抽象代數、布爾代數、組合論、圖論、概率論、近似計算、離散化方法等。到目前為止，從理論上講，離散數學還沒有自己獨*的理論體系，離散數學所討論的內容都是其他數學分支中已有的內容。離散數學只關注能在計算機上應用的數學方法。對于一些不能直接在計算機上應用的方法，如連續函數、積分等，離散數學關注的是如何將它們離散化，然后再用計算機來處理！ 】梢杂靡痪湓拋砀爬x散數學：離散數學就是應用于計算機上的數學內容和數學方法。所以，也有人把離散數學稱為計算機數學！ 1.2 離散數學的地位和作用 數學方法是計算機理論和技術的基礎，是計算機在實現方面*有力的工具之一，許多計算機課程都包含大量的數學內容。舉例說明如下。 (1) 在“C程序設計”中用到數理邏輯的知識。C語言是一種形式語言，C語言中的語句都可看做一個邏輯公式。IF語句就是一個典型的“蘊含式”邏輯公式。C語言中的關系運算、關系表達式和邏輯運算、邏輯表達式等都用到了邏輯演算的知識，它們的運算法則都遵循邏輯演算的規則。另外，C語言中表示n維數組的方法，就是集合論中表示n元關系的方法！ (2) 在“數據結構”中用到集合論、圖論、遞歸論方法等知識！ (3) 在“數據庫系統”中用到集合論和謂詞邏輯等知識。關系數據模型中的操作用到集合論中的關系運算；谶壿嫷臄祿Ｐ鸵砸浑A謂詞邏輯作為數據模型，其操作都是以邏輯演算方法為基礎的！ (4) 在“編譯原理”中用到形式語言、邏輯演算、圖論、布爾代數等知識！ (5) 在“數字電路與邏輯設計”中用到邏輯演算、布爾代數(也稱邏輯代數)等知識。 (6) 在“編碼理論”中用到抽象代數、線性代數、數論、布爾代數等知識。編碼理論是計算機加密技術的理論基礎！ (7) “操作系統”“算法設計與分析”“人工智能”“計算機網絡”等許多計算機專業課程都用到離散數學知識！ ≡凇半x散數學”課程出現之前，各門計算機課程所需要的數學知識都是在講授該課程時進行補充講授。由于沒有單獨開設數學課，學生在各門計算機課程中學到的數學知識是零碎的、不完整的，因此不能系統地掌握相關的數學知識。然而，數學知識的缺乏直接影響到計算機專業課程的預期目標。另外，許多計算機專業課程包含相同的數學內容，在多門計算機專業課程中分別重復講授相同的數學內容，造成了時間上的浪費。于是，美國的大學就把計算機專業課程中常用的數學知識匯編在一起作為單獨的一門課程來講授。這樣的課程是專為計算機專業提供數學基礎的，所以早期也把這樣的課程稱為“計算機數學基礎”。隨著計算機科學與技術的不斷發展及計算機在多個領域的廣泛應用，計算機對數學工具的要求越來越多。因而，離散數學所涉及的內容也越來越廣泛、越來越深入，現已發展成為一門獨立的數學學科。 由于許多學科的研究和應用都把計算機作為主要工具，許多信息和數據都需要用計算機表示(或顯示)。因此，離散數學也成為電子工程、信息技術等學科的數學基礎！ ‰x散數學不但作為理論基礎在計算機科學中有著重要的地位和作用，而且作為應用技術在計算機求解問題中也起著極大的作用。 用計算機求解實際問題的過程可分為四大步驟！ (1) 用數學語言描述問題，或稱為建立實際問題的數學模型！ (2) 給出解決問題的步驟，或稱為設計解決問題的算法！ (3) 寫出實現算法的程序！ (4) 在計算機上運行程序并驗證程序的正確性。 在這四個步驟當中，每一個步驟的完成都需要數學工具！ ≡**步中，需要用抽象的數學概念、數學符號和數學結構來表示實際問題。例如，開發一個城市道路交通管理系統，借助于計算機來管理城市交通。首先就要用圖論中的圖表示城市的交通網絡。實際生活中的交通網絡圖是地圖的樣式，兩地間道路的長短呈一定的比例，有些彎曲的道路在地圖上畫出來也是彎曲的。但是，用數學方法表示網絡圖中兩點間的連線時不用真正的線條，而是用頂點集中的一個序對來表示。例如，用(u，v)表示連接頂點u與頂點v的一條邊，用一個二元組G=？V，E？表示一個圖，其中，V是圖的頂點集，E是圖的邊集。也可以用一個矩陣來表示一個圖？傊，只有用數學模型把實際問題表示出來，才能用計算機解決問題！ ≡诘诙街，要給出解決問題的算法。例如，要確定某兩個地點之間是否有通路，有多少條通路？在實際生活的交通圖中，可以按某種經驗確定兩地間是否有通路。但在計算機求解問題過程中，必須先把實際問題轉化為數學問題，然后寫出求解數學問題的步驟。這種解決問題的步驟就是算法。這樣把實際問題(找兩地間的通路)轉化為數學問題(找圖中兩點間的通路)，解決這類問題的數學算法有圖的搜索算法或矩陣運算的算法等。 第三步是寫出實現算法的程序，也就是通常所說的編程。計算機不能直接運行用數學語言描述的算法，只能執行程序設計語言的指令，必須用程序設計語言的指令描述這些算法，才能在計算機上運行。算法中所描述的數據都是用數學結構表示的，所以在程序中描述數據也必須用數學方法來解決！ ≡诘谒牟街，把程序放到計算機上運行并驗證程序的正確性。在程序驗證過程中*重要的是驗證算法的正確性。一個算法的正確性是指對于待求解的這類問題的任何輸入實例，按照算法的操作都可得出正確的輸出結果。有些算法對某一組數據的輸入可得到正確的輸出結果，對另一組數據的輸入卻得到錯誤的輸出結果，這種算法就不是正確的算法。算法的正確性必須用數學方法(如數學歸納法等)或邏輯推理的方法來證明，不能用若干組數據來驗證。因為算法中有些變量可以取無窮多個值，此時，有限個值的驗證不能說明算法的正確性！ ∮梢陨戏治隹芍谟嬎銠C求解問題過程中，每一個步驟的實現都以數學知識和數學方法為基礎，沒有數學工具計算機就解決不了問題。至此，我們已經看到離散數學在計算機科學與技術中的地位和作用，同時也回答了為什么要學離散數學這個問題！ 1.3 計算機為什么要依賴數學 為什么計算機一定要依賴數學？在用計算機解決實際問題的過程中能否繞過數學或用別的辦法來替代數學的作用呢？例如，在處理文字、網頁、藝術、音樂、自然語言翻譯等與數學無關的問題時，能否避開數學工具和數學方法呢？我們的回答是：使用計算機的人在處理這些問題時可以不涉及數學，但開發這些應用軟件
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