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力學分析中的對稱性和守恒律 版權信息
- ISBN：9787030742643
- 條形碼：9787030742643 ; 978-7-03-074264-3
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
力學分析中的對稱性和守恒律 內容簡介
對稱性和守恒律是物質的狀態和運動規律在對稱變換下的性質。本書以力學分析中的對稱性和守恒律為中心，盡量減少復雜數學理論的羅列，系統地、深入淺出地介紹了對稱性和守恒律的主要基本理論和相關應用。**篇首先介紹了Lie變換群、Lie代數等基本知識，討論了方程組和微分方程組的Lie對稱性和Lie-B?cklund對稱性、高階對稱性，之后分別介紹了Noether守恒律、Ibragimov守恒律和勢對稱。第二篇是**部分的推廣，研究了擾動微分方程組的對稱性與守恒律，分別給出近似Lie對稱、近似Noether守恒律、近似Ibragimov守恒律和近似勢對稱的求解方法。第三篇通過大量例子，介紹了對稱性和守恒律在彈性力學、流體力學、一般力學等領域的應用。
力學分析中的對稱性和守恒律 目錄
目錄
叢書序
前言
第1章 變分原理、Euler-Lagrange方程與微分算子 1
1.1 變分原理與泛函 1
1.2 Euler-Lagrange方程 2
1.2.1 一階泛函的駐立值問題 2
1.2.2 高階泛函的駐立值問題 4
1.3 微分算子 6
1.3.1 全微分算子 6
1.3.2 Euler-Lagrange算子 7
第2章 常微分方程的Lie 對稱分析 10
2.1 單參數Lie變換群及其延拓 10
2.1.1 單參數Lie變換群 10
2.1.2 無窮小生成元 14
2.1.3 正則坐標 16
2.1.4 對稱性 17
2.1.5 無窮小生成元的延拓 18
2.2 Lie代數 24
2.2.1 Lie代數與Lie括號 24
2.2.2 Lie代數的性質 25
2.2.3 可解Lie代數 28
2.3 正則變量方法求解微分方程 29
2.3.1 正則變量方法 29
2.3.2 求解微分方程步驟 30
2.4 微分方程的對稱性 34
2.4.1 微分方程的對稱性定理 34
2.4.2 一階微分方程的決定方程 35
2.4.3 二階微分方程的決定方程 37
2.5 Lie-B.cklund算子 41
2.6 Lie-B.cklund代數 45
2.7 Lie-B.cklund對稱性.50
2.7.1 擴展標架 50
2.7.2 Lie-B.cklund對稱性表達式 51
2.8 多參數Lie變換群及其延拓 56
2.8.1 多參數Lie變換群及其無窮小生成元 56
2.8.2 雙參數Lie變換群無窮小生成元的延拓 57
2.9 基于符號計算系統的Lie對稱分析 60
2.9.1 符號計算系統 60
2.9.2 常用符號計算軟件 61
第3章 偏微分方程組的Lie對稱分析 63
3.1 單參數Lie變換群及其延拓 63
3.1.1 單參數Lie變換群 63
3.1.2 無窮小生成元 66
3.1.3 無窮小生成元的延拓 68
3.2 方程組的對稱性 77
3.3 微分方程組的對稱性 80
3.4 Lie-B.cklund算子與代數 83
3.4.1 Lie-B.cklund算子 83
3.4.2 Lie-B.cklund代數 86
3.5 Lie-B.cklund對稱性 87
3.6 多參數Lie變換群及其延拓 94
3.6.1 多參數Lie變換群及其無窮小生成元 94
3.6.2 雙參數Lie變換群無窮小生成元的延拓 95
第4章 Noether守恒律 99
4.1 具有單變量的物理系統的Noether守恒律 100
4.1.1 單變量情形下的Euler-Lagrange方程 100
4.1.2 單變量情形下的Noether守恒律及其證明 100
4.2 具有多變量的物理系統的Noether守恒律 114
4.2.1 多變量情形下的Euler-Lagrange方程 114
4.2.2 多變量情形下的Noether守恒律及其證明 115
4.2.3 關于部分/全表面邊界條件的討論 130
4.3 雙參數變換群條件下的Noether守恒律 132
4.3.1 雙參數單變量Noether定理 132
4.3.2 雙參數多變量Noether定理 135
第5章 Ibragimov守恒律140
5.1 伴隨算子與伴隨方程（組） 140
5.1.1 伴隨算子 140
5.1.2 伴隨方程——線性微分方程 142
5.1.3 伴隨方程組——非線性微分方程組 148
5.2 伴隨方程（組）的對稱性 150
5.2.1 微分方程情形 150
5.2.2 微分方程組情形 155
5.3 Ibragimov守恒律表達式156
5.4 雙參數變換群條件下的Ibragimov守恒律 159
第6章 近似Lie對稱性 164
6.1 近似Lie代數 164
6.1.1 近似Lie代數的定義 164
6.1.2 近似對稱的代數性質 165
6.1.3 近似不變量 167
6.2 近似算子與算子近似階次確定 168
6.2.1 近似Lie算子與近似Lie-B.cklund算子 168
6.2.2 算子近似階次確定 169
6.3 微分方程（組）近似Lie對稱的性質 174
6.4 方程組的近似Lie對稱性 176
6.5 微分方程組的近似Lie對稱性 179
6.5.1 微分方程組近似Lie對稱性證明 179
6.5.2 近似Lie算子的延拓 183
6.6 近似Lie-B.cklund算子與對稱性 185
6.6.1 近似Lie-B.cklund算子的延拓 186
6.6.2 近似Lie-B.cklund對稱性 186
第7章 近似Noether守恒律 194
7.1 近似Noether算子與算子近似階數確定 194
7.1.1 近似Noether算子 194
7.1.2 算子近似階次確定 195
7.2 近似Noether守恒律及其求解方法 199
7.2.1 部分Lagrange函數 199
7.2.2 近似Noether守恒律表達式 200
7.2.3 求解方法總結 201
第8章 近似Ibragimov守恒律 202
8.1 伴隨方程（組）的對稱性 202
8.1.1 伴隨方程組 202
8.1.2 微分方程情形 203
8.1.3 微分方程組情形 206
8.2 近似Ibragimov守恒律表達式 209
第9章 勢對稱與近似勢對稱 212
9.1 勢對稱含義 212
9.2 微分方程的勢對稱 212
9.2.1 偏微分方程的勢對稱 213
9.2.2 常微分方程的勢對稱 218
9.2.3 原方程和輔助系統的Lie對稱變換 220
9.2.4 守恒形式 220
9.3 微分方程的近似勢對稱 221
第10章 彈性力學中的應用 224
10.1 桿的平衡方程的守恒律 224
10.2 梁的平衡方程的守恒律 226
10.3 平面問題的位移法方程的對稱性和守恒律 229
10.3.1 Lie對稱性 230
10.3.2 Noether守恒律 234
10.4 三維問題的位移法方程的對稱性 237
10.5 疲勞裂紋擴展方程的對稱性和守恒律 246
10.5.1 Lie對稱性 247
10.5.2 Lie-B.cklund對稱性 248
10.5.3 Noether守恒律 250
10.5.4 Ibragimov守恒律 250
10.6 功能梯度材料的路徑無關積分與裂紋擴展力 251
10.6.1 均質材料平面問題的守恒律 252
10.6.2 功能梯度材料的路徑無關積分 254
10.6.3 裂紋擴展力 256
10.7 物理平面上解析函數的守恒積分及其應用 257
10.7.1 解析函數的守恒積分 257
10.7.2 關于守恒積分的討論 262
10.7.3 平面彈性體裂紋的守恒積分 263
10.8 V型平面缺口問題中的守恒積分及其應用 265
10.8.1 基于平面彈性力學復勢理論的Lagrange函數 266
10.8.2 基于Noether定理的守恒律 269
10.8.3 在V型缺口問題中的應用 271
10.9 縱向剪切問題中V型缺口的守恒積分及其應用 276
10.9.1 Lie對稱分析 277
10.9.2 守恒積分 281
10.9.3 在尖銳V型缺口問題中的應用 283
第11章 流體力學中的應用 292
11.1 KdV方程的變分對稱性 292
11.2 KdV方程的高階對稱性 294
11.2.1 伴隨方程與Lagrange函數 294
11.2.2 守恒律 295
11.3 擾動KdV方程的高階近似對稱性 301
11.4 mKdV方程的Ibragimov守恒律 305
11.4.1 Ibragimov守恒律 305
11.4.2 微分Lagrange算子方法 .308
11.5 Maxwell分布的Ibragimov守恒律 310
11.6 Navier-Stokes系統的Ibragimov 守恒律 312
第12章 一般力學中的應用 316
12.1 三維情況質點系統的守恒定律 316
12.1.1 時間平移不變性——能量守恒 321
12.1.2 空間平移不變性——動量守恒 321
12.1.3 空間旋轉不變性——角動量守恒 322
12.2 自由落體運動的守恒律 323
12.3 一維阻尼振子的守恒律 325
12.4 一維運動方程的Ibragimov守恒律 325
12.5 兩質點系統擾動方程的近似對稱性和守恒律 327
12.5.1 近似Lie對稱性 328
12.5.2 近似Noether對稱性 331
12.5.3 近似Ibragimov守恒律 333
12.6 含擾動結構動力響應方程的近似對稱性和守恒律 334
12.6.1 近似Lie對稱性 335
12.6.2 近似Noether守恒律 343
12.7 非線性振動方程的對稱性和守恒律 348
12.7.1 一般形式非線性振動方程的對稱性和守恒律 348
12.7.2 Duffing振動方程的對稱性和守恒律 356
12.7.3 Duffing振動方程的分叉現象 362
12.7.4 Duffing振動方程的守恒律和分叉現象的關系 364
12.8 顫振方程的對稱性和守恒律 364
12.8.1 線性氣動力和力矩 365
12.8.2 非線性氣動力和力矩 374
第13章 數學物理方程中的應用 380
13.1 熱傳導方程的Ibragimov守恒律 380
13.1.1 伴隨方程與Lagrange函數 380
13.1.2 守恒律 381
13.2 非線性熱傳導方程的Ibragimov守恒律 385
13.2.1 伴隨方程與Lagrange函數 385
13.2.2 守恒律 390
13.3 非線性熱傳導方程的勢對稱 393
13.4 Burger方程的勢對稱 394
13.5 非均勻介質中波動方程的勢對稱 395
13.6 非均勻介質中擾動波動方程的近似勢對稱 398
13.7 帶有擾動對流項的非線性擴散方程的近似勢對稱 401
13.8 Duffing方程的Lie對稱性 404
13.8.1 確定性外力 405
13.8.2 均值為0的隨機
叢書序
前言
第1章 變分原理、Euler-Lagrange方程與微分算子 1
1.1 變分原理與泛函 1
1.2 Euler-Lagrange方程 2
1.2.1 一階泛函的駐立值問題 2
1.2.2 高階泛函的駐立值問題 4
1.3 微分算子 6
1.3.1 全微分算子 6
1.3.2 Euler-Lagrange算子 7
第2章 常微分方程的Lie 對稱分析 10
2.1 單參數Lie變換群及其延拓 10
2.1.1 單參數Lie變換群 10
2.1.2 無窮小生成元 14
2.1.3 正則坐標 16
2.1.4 對稱性 17
2.1.5 無窮小生成元的延拓 18
2.2 Lie代數 24
2.2.1 Lie代數與Lie括號 24
2.2.2 Lie代數的性質 25
2.2.3 可解Lie代數 28
2.3 正則變量方法求解微分方程 29
2.3.1 正則變量方法 29
2.3.2 求解微分方程步驟 30
2.4 微分方程的對稱性 34
2.4.1 微分方程的對稱性定理 34
2.4.2 一階微分方程的決定方程 35
2.4.3 二階微分方程的決定方程 37
2.5 Lie-B.cklund算子 41
2.6 Lie-B.cklund代數 45
2.7 Lie-B.cklund對稱性.50
2.7.1 擴展標架 50
2.7.2 Lie-B.cklund對稱性表達式 51
2.8 多參數Lie變換群及其延拓 56
2.8.1 多參數Lie變換群及其無窮小生成元 56
2.8.2 雙參數Lie變換群無窮小生成元的延拓 57
2.9 基于符號計算系統的Lie對稱分析 60
2.9.1 符號計算系統 60
2.9.2 常用符號計算軟件 61
第3章 偏微分方程組的Lie對稱分析 63
3.1 單參數Lie變換群及其延拓 63
3.1.1 單參數Lie變換群 63
3.1.2 無窮小生成元 66
3.1.3 無窮小生成元的延拓 68
3.2 方程組的對稱性 77
3.3 微分方程組的對稱性 80
3.4 Lie-B.cklund算子與代數 83
3.4.1 Lie-B.cklund算子 83
3.4.2 Lie-B.cklund代數 86
3.5 Lie-B.cklund對稱性 87
3.6 多參數Lie變換群及其延拓 94
3.6.1 多參數Lie變換群及其無窮小生成元 94
3.6.2 雙參數Lie變換群無窮小生成元的延拓 95
第4章 Noether守恒律 99
4.1 具有單變量的物理系統的Noether守恒律 100
4.1.1 單變量情形下的Euler-Lagrange方程 100
4.1.2 單變量情形下的Noether守恒律及其證明 100
4.2 具有多變量的物理系統的Noether守恒律 114
4.2.1 多變量情形下的Euler-Lagrange方程 114
4.2.2 多變量情形下的Noether守恒律及其證明 115
4.2.3 關于部分/全表面邊界條件的討論 130
4.3 雙參數變換群條件下的Noether守恒律 132
4.3.1 雙參數單變量Noether定理 132
4.3.2 雙參數多變量Noether定理 135
第5章 Ibragimov守恒律140
5.1 伴隨算子與伴隨方程（組） 140
5.1.1 伴隨算子 140
5.1.2 伴隨方程——線性微分方程 142
5.1.3 伴隨方程組——非線性微分方程組 148
5.2 伴隨方程（組）的對稱性 150
5.2.1 微分方程情形 150
5.2.2 微分方程組情形 155
5.3 Ibragimov守恒律表達式156
5.4 雙參數變換群條件下的Ibragimov守恒律 159
第6章 近似Lie對稱性 164
6.1 近似Lie代數 164
6.1.1 近似Lie代數的定義 164
6.1.2 近似對稱的代數性質 165
6.1.3 近似不變量 167
6.2 近似算子與算子近似階次確定 168
6.2.1 近似Lie算子與近似Lie-B.cklund算子 168
6.2.2 算子近似階次確定 169
6.3 微分方程（組）近似Lie對稱的性質 174
6.4 方程組的近似Lie對稱性 176
6.5 微分方程組的近似Lie對稱性 179
6.5.1 微分方程組近似Lie對稱性證明 179
6.5.2 近似Lie算子的延拓 183
6.6 近似Lie-B.cklund算子與對稱性 185
6.6.1 近似Lie-B.cklund算子的延拓 186
6.6.2 近似Lie-B.cklund對稱性 186
第7章 近似Noether守恒律 194
7.1 近似Noether算子與算子近似階數確定 194
7.1.1 近似Noether算子 194
7.1.2 算子近似階次確定 195
7.2 近似Noether守恒律及其求解方法 199
7.2.1 部分Lagrange函數 199
7.2.2 近似Noether守恒律表達式 200
7.2.3 求解方法總結 201
第8章 近似Ibragimov守恒律 202
8.1 伴隨方程（組）的對稱性 202
8.1.1 伴隨方程組 202
8.1.2 微分方程情形 203
8.1.3 微分方程組情形 206
8.2 近似Ibragimov守恒律表達式 209
第9章 勢對稱與近似勢對稱 212
9.1 勢對稱含義 212
9.2 微分方程的勢對稱 212
9.2.1 偏微分方程的勢對稱 213
9.2.2 常微分方程的勢對稱 218
9.2.3 原方程和輔助系統的Lie對稱變換 220
9.2.4 守恒形式 220
9.3 微分方程的近似勢對稱 221
第10章 彈性力學中的應用 224
10.1 桿的平衡方程的守恒律 224
10.2 梁的平衡方程的守恒律 226
10.3 平面問題的位移法方程的對稱性和守恒律 229
10.3.1 Lie對稱性 230
10.3.2 Noether守恒律 234
10.4 三維問題的位移法方程的對稱性 237
10.5 疲勞裂紋擴展方程的對稱性和守恒律 246
10.5.1 Lie對稱性 247
10.5.2 Lie-B.cklund對稱性 248
10.5.3 Noether守恒律 250
10.5.4 Ibragimov守恒律 250
10.6 功能梯度材料的路徑無關積分與裂紋擴展力 251
10.6.1 均質材料平面問題的守恒律 252
10.6.2 功能梯度材料的路徑無關積分 254
10.6.3 裂紋擴展力 256
10.7 物理平面上解析函數的守恒積分及其應用 257
10.7.1 解析函數的守恒積分 257
10.7.2 關于守恒積分的討論 262
10.7.3 平面彈性體裂紋的守恒積分 263
10.8 V型平面缺口問題中的守恒積分及其應用 265
10.8.1 基于平面彈性力學復勢理論的Lagrange函數 266
10.8.2 基于Noether定理的守恒律 269
10.8.3 在V型缺口問題中的應用 271
10.9 縱向剪切問題中V型缺口的守恒積分及其應用 276
10.9.1 Lie對稱分析 277
10.9.2 守恒積分 281
10.9.3 在尖銳V型缺口問題中的應用 283
第11章 流體力學中的應用 292
11.1 KdV方程的變分對稱性 292
11.2 KdV方程的高階對稱性 294
11.2.1 伴隨方程與Lagrange函數 294
11.2.2 守恒律 295
11.3 擾動KdV方程的高階近似對稱性 301
11.4 mKdV方程的Ibragimov守恒律 305
11.4.1 Ibragimov守恒律 305
11.4.2 微分Lagrange算子方法 .308
11.5 Maxwell分布的Ibragimov守恒律 310
11.6 Navier-Stokes系統的Ibragimov 守恒律 312
第12章 一般力學中的應用 316
12.1 三維情況質點系統的守恒定律 316
12.1.1 時間平移不變性——能量守恒 321
12.1.2 空間平移不變性——動量守恒 321
12.1.3 空間旋轉不變性——角動量守恒 322
12.2 自由落體運動的守恒律 323
12.3 一維阻尼振子的守恒律 325
12.4 一維運動方程的Ibragimov守恒律 325
12.5 兩質點系統擾動方程的近似對稱性和守恒律 327
12.5.1 近似Lie對稱性 328
12.5.2 近似Noether對稱性 331
12.5.3 近似Ibragimov守恒律 333
12.6 含擾動結構動力響應方程的近似對稱性和守恒律 334
12.6.1 近似Lie對稱性 335
12.6.2 近似Noether守恒律 343
12.7 非線性振動方程的對稱性和守恒律 348
12.7.1 一般形式非線性振動方程的對稱性和守恒律 348
12.7.2 Duffing振動方程的對稱性和守恒律 356
12.7.3 Duffing振動方程的分叉現象 362
12.7.4 Duffing振動方程的守恒律和分叉現象的關系 364
12.8 顫振方程的對稱性和守恒律 364
12.8.1 線性氣動力和力矩 365
12.8.2 非線性氣動力和力矩 374
第13章 數學物理方程中的應用 380
13.1 熱傳導方程的Ibragimov守恒律 380
13.1.1 伴隨方程與Lagrange函數 380
13.1.2 守恒律 381
13.2 非線性熱傳導方程的Ibragimov守恒律 385
13.2.1 伴隨方程與Lagrange函數 385
13.2.2 守恒律 390
13.3 非線性熱傳導方程的勢對稱 393
13.4 Burger方程的勢對稱 394
13.5 非均勻介質中波動方程的勢對稱 395
13.6 非均勻介質中擾動波動方程的近似勢對稱 398
13.7 帶有擾動對流項的非線性擴散方程的近似勢對稱 401
13.8 Duffing方程的Lie對稱性 404
13.8.1 確定性外力 405
13.8.2 均值為0的隨機
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力學分析中的對稱性和守恒律 節選
第1章變分原理、Euler-Lagrange方程與微分算子 本章由變分原理和泛函的概念引入，將泛函駐立值問題轉化為微分方程問題，導出Euler-Lagrange方程，從而引出對稱性和守恒律中常用的微分算子，作為后續對稱性和守恒律分析的預備知識。 1.1變分原理與泛函 變分原理是力學分析中重要的數學工具之一，能量法、有限元法、加權殘值法等力學方法都是以變分原理為數學基礎的。變分原理以變分形式表示物理定律，即在滿足一定約束條件的所有可能的物體運動狀態中，真實的運動狀態使某物理量（如勢能泛函）取極值或駐立值[1-5]。變分問題可以等價地轉換為微分方程問題，即物理問題可以有變分原理和微分方程兩種等價的表示方法[2]。 變分法的早期思想源于Johann Bernoulli在1696年以公開信的方式提出的*速降線命題，并于1697年得以解決。關于變分法的一般理論，是Euler于1774年、Lagrange于1762年共同奠基的，稱為Euler-Lagrange變分原理。1872年Betti提出了功的互等定理。1876年意大利學者Castigliano提出了*小功原理。德國學者Hellinger于1914年發表了有關不完全廣義變分原理的論文，后來美國學者Reissner發表了與Hellinger相類似的工作，此工作被稱為Hellinger-Reissner變分原理。我國學者錢令希于1950年發表《余能理論》論文[8]。胡海昌于1954年發表了有關廣義變分原理的論文，日本學者鷲津久一郎（Washizu）于1955年發表了與胡海昌相類似的工作，此工作被稱為胡–鷲變分原理。1956年Biot建立了熱彈性力學變分原理。此后，錢偉長提出了用Lagrange乘子構造廣義變分原理的方法。 在力學分析中，變分原理之所以非常重要，至少有三方面的因素：物理學中存在Lagrange極小值原理；許多物理問題的域內平衡微分方程和自然邊界條件可以直接從變分原理導出；從變分原理出發，可以用簡單的方式推導有限元等數值計算方法，也可以用變分原理直接計算許多問題的數值解。 變分原理是求解泛函駐立值的原理，泛函可以理解為函數的函數。函數是變量與變量之間的關系，泛函則是變量與函數之間的關系。在應用變分原理時，求泛函的一階變分和二階變分是*基本的兩個變分運算。 1.2Euler-Lagrange方程 力學涉及的泛函極值問題中，許多泛函都能用積分表達。從這類泛函極值問題出發，可以導出平衡方程（Euler-Lagrange方程）、邊界條件、幾何方程及本構方程等。本節介紹如何將泛函駐立值問題轉化為微分方程問題。 1.2.1一階泛函的駐立值問題 1.2.1.1單自變量–單因變量 首先考慮單自變量–單因變量情形。 一階泛函的駐立值問題如下： 在自變量x的區間內，確定因變量u（x），使其滿足邊界條件 （1.1） 并使泛函 （1.2） 取極值。 根據變分運算法則，對式（1.2）兩邊求變分[2] （1.3） 式（1.3）右邊轉化為 （1.4） 式（1.4）右邊第二項根據變分運算性質，有 （1.5） 因此式（1.4）進一步寫為 （1.6） （1.7） 式（1.7）右邊第二項根據邊界條件等于零，表示對x的全微分，根據復合函數求導的鏈式法則，任意函數對x的全微分的具體表達式為 （1.8） 由δu任意性知式（1.7）右邊**項被積函數恒等于零，即 （1.9） 式（1.9）稱為Euler-Lagrange方程，函數稱為方程的Lagrange函數。 1.2.1.2多自變量–多因變量 下面將單自變量–單因變量情形推廣至多自變量–多因變量情形。 此時一階泛函的駐立值問題為： 在自變量，的集合內，確定因變量，使其滿足邊界條件 （1.10） 其中表示V的邊界，并使泛函 （1.11） 取極值。式（1.11）中表示u的一階偏導的全體。 為便于表示，引入如下記法：第i個自變量記為xi，第j個因變量記為，第j個因變量對第i個自變量的偏導記為；乘積式子中使用求和約定，例如 同樣，對式（1.11）求變分 （1.12） （1.13） 根據變分性質，因此式（1.13）化為 （1.14） 將式（1.14）代入式（1.12），得到 （1.15） 對式（1.15）右邊第二項分部積分，得到 （1.16） 由邊界條件知邊界為零，表示對的全微分，根據復合函數求導的鏈式法則，任意函數對xi的全微分的具體表達式為 （1.17） 由任意性知式（1.16）右邊**項被積函數為零，即 （1.18） 式（1.18）為Euler-Lagrange方程組，注意第二項需對i求和。為該方程組的Lagrange函數。 1.2.2高階泛函的駐立值問題 考慮多自變量–多因變量情形下s階泛函的駐立值問題： 在自變量，的集合內，確定因變量，使其滿足邊界條件 （1.19） 其中，表示V的邊界，并使泛函 （1.20） 取極值。式（1.19）中u（i）表示u的i階偏導的全體。 對式（1.20）求變分 （1.21） 其中 （1.22） 根據變分性質，因此式（1.22）化為 （1.23） 將式（1.23）代入式（1.21），得 （1.24） 若對分部積分，并利用邊界條件（1.19），有 （1.25） 其中d/dxi表示對xi的全微分，根據復合函數求導的鏈式法則，任意函數，對的全微分的具體表達式為 （1.26） 依次在式（1.25）中取，并代入式（1.24），得到 （1.27） 由任意性知被積函數為零，即 （1.28） 式（1.28）為Euler-Lagrange方程組，注意第二項之后各項均需對相同指標求和。為該方程組的Lagrange函數。 1.3微分算子 微分算子是對函數的微分運算的抽象表述。本節介紹常用的兩個微分算子——全微分算子和Euler-Lagrange算子。 1.3.1全微分算子 考慮式（1.28）中對xi的全微分，由于式（1.26）中每一項均為關于函數G的微分運算，將G提出，得 （1.29） 對G的微分運算抽象出來，簡單記為Di，稱為全微分算子[14]。 定義1.1對變量xi的全微分算子為 （1.30）
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