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數(shù)學(xué)物理方程簡明教程 版權(quán)信息
- ISBN：9787030725288
- 條形碼：9787030725288 ; 978-7-03-072528-8
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數(shù)：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
數(shù)學(xué)物理方程簡明教程 本書特色
無論是對于從事相關(guān)基礎(chǔ)理論研究的科研人員， 還是從事工程技術(shù)應(yīng)用的科學(xué)技術(shù)工作者， 數(shù)學(xué)物理方程都非常重要.
數(shù)學(xué)物理方程簡明教程 內(nèi)容簡介
本書是數(shù)學(xué)物理方程的入門教材，主要介紹三個經(jīng)典方程（波動方程、熱傳導(dǎo)方程和Laplace方程）定解問題的導(dǎo)出及求解。通過介紹一般二階線性偏微分方程的分類與化簡，指明這三個方程代表著數(shù)學(xué)物理方程的三種類型。針對不同的定解問題，介紹了如分離變量法、積分變換法、通解法和Green函數(shù)法等常規(guī)的求解方法，還介紹了由分離變量法求解定解問題時引出的兩個特殊函數(shù)——Bessel函數(shù)和Legendre函數(shù)。本書沒有致力于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)理論分析，而是通過經(jīng)典的問題，向讀者展示數(shù)學(xué)物理方程定解問題適定性的分析方法，以期達(dá)到拋磚引玉的目的。本書可作為數(shù)學(xué)類專業(yè)本科生以及工科類專業(yè)研究生的教材，也可供從事相關(guān)專業(yè)的科研和工程技術(shù)人員參考。
數(shù)學(xué)物理方程簡明教程 目錄
目錄
前言
第1章 典型方程及其定解問題 1
1.1 偏微分方程的基本概念 1
1.2 典型方程及定解條件的導(dǎo)出 2
1.2.1 弦振動方程及其定解條件 3
1.2.2 熱傳導(dǎo)方程及其定解問題 7
1.2.3 位勢方程及定解條件 11
1.3 定解問題的適定性 13
習(xí)題 1 13
第2章 二階線性偏微分方程的分類與化簡 15
2.1 兩個自變量的二階線性偏微分方程 15
2.2 多個自變量的二階線性偏微分方程的分類 23
習(xí)題 2 25
第3章 分離變量法 26
3.1 齊次邊界齊次發(fā)展型方程的混合問題 26
3.1.1 求形式解 26
3.1.2 解的存在性 29
3.1.3 解的物理意義 34
3.1.4 熱傳導(dǎo)方程初邊值問題 35
3.2 齊次邊界非齊次發(fā)展型方程的混合問題 36
3.2.1 非齊次弦振動方程 36
3.2.2 非齊次熱傳導(dǎo)方程 39
3.3 一般發(fā)展型方程混合問題 44
3.4 具有第三類邊界條件的混合問題舉例 48
3.5 橢圓型方程邊值問題的分離變量法 55
3.5.1 矩形區(qū)域上 Laplace 方程邊值問題 55
3.5.2 圓域上 Laplace 方程**邊值問題 58
3.5.3 Poisson 方程**邊值問題 61
3.6 方程中含有一階空間導(dǎo)數(shù)的定解問題 64
習(xí)題 3 68
第4章 積分變換法 72
4.1 Fourier 積分與 Fourier 變換 72
4.2 Fourier 變換的性質(zhì) 76
4.3 Fourier 變換在解數(shù)學(xué)物理方程中的應(yīng)用 78
4.3.1 熱傳導(dǎo)方程問題 78
4.3.2 一維波動方程問題 83
4.3.3 半平面上 Laplace 方程的 Dirichlet 問題 89
4.4 Laplace 變換 89
4.4.1 定義 89
4.4.2 基本性質(zhì) 90
4.4.3 反演公式 92
4.4.4 Laplace 變換的應(yīng)用 94
習(xí)題 4 98
第5章 波動方程 101
5.1 通解法 101
5.1.1 達(dá)朗貝爾公式 101
5.1.2 達(dá)朗貝爾公式的物理意義 103
5.1.3 依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域 104
5.1.4 通解法的例題 105
5.2 球面平均法 108
5.2.1 三維齊次方程初值問題的球面平均法 108
5.2.2 三維非齊次波動方程初值問題 112
5.3 二維齊次波動方程初值問題的降維法 113
5.4 依賴區(qū)域、決定區(qū)域、影響區(qū)域和特征錐 114
5.5 Poisson 公式的物理意義、Huygens 原理 116
習(xí)題 5 117
第6章 橢圓型方程 120
6.1 δ-函數(shù)及其基本性質(zhì) 121
6.1.1 δ-函數(shù)的定義 121
6.1.2 δ-函數(shù)的基本性質(zhì) 123
6.2 橢圓型方程的基本解 124
6.2.1 三維 Laplace 方程 Δu= 0 124
6.2.2 三維 Helmholtz 方程 Δu + cu = 0 126
6.3 調(diào)和函數(shù)的基本積分表達(dá)式和一些基本性質(zhì) 128
6.3.1 調(diào)和函數(shù)的基本積分表達(dá)式 128
6.3.2 調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì) 130
6.4 Laplace 方程 Dirichlet 問題的 Green 函數(shù) 133
6.4.1 Green 函數(shù) 133
6.4.2 Green 函數(shù)的性質(zhì) 135
6.5 Helmholtz 方程 Dirichlet 問題的 Green 函數(shù) 138
6.6 某些特殊區(qū)域上 Laplace 方程 Dirichlet 問題的解 140
6.6.1 半空間上三維 Laplace 方程 Dirichlet 問題 140
6.6.2 球域上 Laplace 方程 Dirichlet 問題 142
習(xí)題 6 147
第7章 發(fā)展型方程定解問題的適定性 150
7.1 熱傳導(dǎo)方程初邊值問題 150
7.2 熱傳導(dǎo)方程初值問題 154
7.3 波動方程初邊值問題 158
7.4 波動方程初值問題 163
習(xí)題 7 167
第8章 特殊函數(shù) (一): Bessel 函數(shù) 170
8.1 引言 170
8.2 Bessel 方程的解 172
8.3 Bessel 函數(shù)的遞推公式 178
8.4 函數(shù)展開成 Bessel 函數(shù)的級數(shù) 180
8.4.1 的正交性 181
8.4.2 函數(shù)展開成的級數(shù) 183
8.5 Bessel 函數(shù)的應(yīng)用舉例 184
習(xí)題 8 193
第9章 特殊函數(shù) (二): Legendre 多項式 195
9.1 引言 195
9.2 Legendre 方程的解 197
9.3 Legendre 多項式的 Rodrigues 表達(dá)式 200
9.4 函數(shù)展開成 Legendre 多項式級數(shù) 202
9.4.1 Legendre 多項式的正交性 202
9.4.2 函數(shù)展開成 Legendre 多項式級數(shù) 204
9.5 Legendre 多項式的應(yīng)用舉例 207
習(xí)題 9 210
參考文獻(xiàn) 212
附錄 A Sturm-Liouville 固有值問題 213
A.1 固有值問題的提法 213
A.2 固有值問題的主要結(jié)論 214
附錄 B Fourier 變換表和 Laplace 變換表 219
前言
第1章 典型方程及其定解問題 1
1.1 偏微分方程的基本概念 1
1.2 典型方程及定解條件的導(dǎo)出 2
1.2.1 弦振動方程及其定解條件 3
1.2.2 熱傳導(dǎo)方程及其定解問題 7
1.2.3 位勢方程及定解條件 11
1.3 定解問題的適定性 13
習(xí)題 1 13
第2章 二階線性偏微分方程的分類與化簡 15
2.1 兩個自變量的二階線性偏微分方程 15
2.2 多個自變量的二階線性偏微分方程的分類 23
習(xí)題 2 25
第3章 分離變量法 26
3.1 齊次邊界齊次發(fā)展型方程的混合問題 26
3.1.1 求形式解 26
3.1.2 解的存在性 29
3.1.3 解的物理意義 34
3.1.4 熱傳導(dǎo)方程初邊值問題 35
3.2 齊次邊界非齊次發(fā)展型方程的混合問題 36
3.2.1 非齊次弦振動方程 36
3.2.2 非齊次熱傳導(dǎo)方程 39
3.3 一般發(fā)展型方程混合問題 44
3.4 具有第三類邊界條件的混合問題舉例 48
3.5 橢圓型方程邊值問題的分離變量法 55
3.5.1 矩形區(qū)域上 Laplace 方程邊值問題 55
3.5.2 圓域上 Laplace 方程**邊值問題 58
3.5.3 Poisson 方程**邊值問題 61
3.6 方程中含有一階空間導(dǎo)數(shù)的定解問題 64
習(xí)題 3 68
第4章 積分變換法 72
4.1 Fourier 積分與 Fourier 變換 72
4.2 Fourier 變換的性質(zhì) 76
4.3 Fourier 變換在解數(shù)學(xué)物理方程中的應(yīng)用 78
4.3.1 熱傳導(dǎo)方程問題 78
4.3.2 一維波動方程問題 83
4.3.3 半平面上 Laplace 方程的 Dirichlet 問題 89
4.4 Laplace 變換 89
4.4.1 定義 89
4.4.2 基本性質(zhì) 90
4.4.3 反演公式 92
4.4.4 Laplace 變換的應(yīng)用 94
習(xí)題 4 98
第5章 波動方程 101
5.1 通解法 101
5.1.1 達(dá)朗貝爾公式 101
5.1.2 達(dá)朗貝爾公式的物理意義 103
5.1.3 依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域 104
5.1.4 通解法的例題 105
5.2 球面平均法 108
5.2.1 三維齊次方程初值問題的球面平均法 108
5.2.2 三維非齊次波動方程初值問題 112
5.3 二維齊次波動方程初值問題的降維法 113
5.4 依賴區(qū)域、決定區(qū)域、影響區(qū)域和特征錐 114
5.5 Poisson 公式的物理意義、Huygens 原理 116
習(xí)題 5 117
第6章 橢圓型方程 120
6.1 δ-函數(shù)及其基本性質(zhì) 121
6.1.1 δ-函數(shù)的定義 121
6.1.2 δ-函數(shù)的基本性質(zhì) 123
6.2 橢圓型方程的基本解 124
6.2.1 三維 Laplace 方程 Δu= 0 124
6.2.2 三維 Helmholtz 方程 Δu + cu = 0 126
6.3 調(diào)和函數(shù)的基本積分表達(dá)式和一些基本性質(zhì) 128
6.3.1 調(diào)和函數(shù)的基本積分表達(dá)式 128
6.3.2 調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì) 130
6.4 Laplace 方程 Dirichlet 問題的 Green 函數(shù) 133
6.4.1 Green 函數(shù) 133
6.4.2 Green 函數(shù)的性質(zhì) 135
6.5 Helmholtz 方程 Dirichlet 問題的 Green 函數(shù) 138
6.6 某些特殊區(qū)域上 Laplace 方程 Dirichlet 問題的解 140
6.6.1 半空間上三維 Laplace 方程 Dirichlet 問題 140
6.6.2 球域上 Laplace 方程 Dirichlet 問題 142
習(xí)題 6 147
第7章 發(fā)展型方程定解問題的適定性 150
7.1 熱傳導(dǎo)方程初邊值問題 150
7.2 熱傳導(dǎo)方程初值問題 154
7.3 波動方程初邊值問題 158
7.4 波動方程初值問題 163
習(xí)題 7 167
第8章 特殊函數(shù) (一): Bessel 函數(shù) 170
8.1 引言 170
8.2 Bessel 方程的解 172
8.3 Bessel 函數(shù)的遞推公式 178
8.4 函數(shù)展開成 Bessel 函數(shù)的級數(shù) 180
8.4.1 的正交性 181
8.4.2 函數(shù)展開成的級數(shù) 183
8.5 Bessel 函數(shù)的應(yīng)用舉例 184
習(xí)題 8 193
第9章 特殊函數(shù) (二): Legendre 多項式 195
9.1 引言 195
9.2 Legendre 方程的解 197
9.3 Legendre 多項式的 Rodrigues 表達(dá)式 200
9.4 函數(shù)展開成 Legendre 多項式級數(shù) 202
9.4.1 Legendre 多項式的正交性 202
9.4.2 函數(shù)展開成 Legendre 多項式級數(shù) 204
9.5 Legendre 多項式的應(yīng)用舉例 207
習(xí)題 9 210
參考文獻(xiàn) 212
附錄 A Sturm-Liouville 固有值問題 213
A.1 固有值問題的提法 213
A.2 固有值問題的主要結(jié)論 214
附錄 B Fourier 變換表和 Laplace 變換表 219
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數(shù)學(xué)物理方程簡明教程 節(jié)選
第1章典型方程及其定解問題 數(shù)學(xué)物理方程是一個十分廣闊的領(lǐng)域，一般是指由物理學(xué)、力學(xué)和工程技術(shù)問題中導(dǎo)出并反映物理量之間關(guān)系的偏微分方程和積分方程等.作為基礎(chǔ)教材，本書將致力于討論三類典型的線性偏微分方程，即線性雙曲型方程、線性拋物型方程和線性橢圓型方程，研究其定解問題的建立、解析求解的方法及其解的適定性問題. 1.1偏微分方程的基本概念 當(dāng)研究依賴多個自變量的運動過程時常常會遇到偏微分方程.通常稱一個含有多元未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的等式為偏微分方程，其一般形式為 (1.1) 其中u為自變量x1，x2， ，xn的多元函數(shù).函數(shù)F的變量中自變量x1，x2， ，xn與u對自變量的低階導(dǎo)數(shù)可以不出現(xiàn).例如 (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.6) (1.7) (1.8) 等都是偏微分方程，其中a(x，t)，b(x，t)，c(x，t)，f(x，t)為已知函數(shù);α，K為常數(shù);u為未知函數(shù). 在偏微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的*高階稱為偏微分方程的階.如上面給出的偏微分方程中，(1.3)為一階，(1.8)為三階，其他方程為二階. 如果一個偏微分方程中，未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)都是一次，就稱為線性偏微分方程.否則稱為非線性偏微分方程(在許多偏微分方程的教材中，被稱為非線性的偏微分方程更細(xì)致地分為擬線性、半線性和非線性方程).如上面給出的方程中(1.2)—(1.5)為線性的，(1.6)—(1.8)為非線性的. 偏微分方程中不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項稱為自由項，不含有自由項的方程稱為齊次方程，否則稱為非齊次方程.例如上面例子中的(1.2)為非齊次方程，其他均為齊次方程. 若函數(shù)u滿足偏微分方程(即將u代入偏微分方程后，使其成為恒等式)，則稱u為該方程的解. 以上概念與常微分方程完全一致.另外，在常微分方程中還有一個普遍出現(xiàn)的概念:通解，但在偏微分方程中很少出現(xiàn).這是因為隨著自變量個數(shù)的增加，尋找通解有時變得非常困難.一般說來，一階偏微分方程的通解包含一個任意函數(shù)，二階偏微分方程的通解包含兩個任意函數(shù)，依次類推. 如果不考慮數(shù)學(xué)物理方程中的積分方程部分，則顯然偏微分方程涵蓋了數(shù)學(xué)物理方程.在數(shù)學(xué)物理方程的研究中，對自變量賦予物理意義，通常以t表示時間變量，以x，y，z表示空間變量，而把出現(xiàn)的空間變量的個數(shù)稱為數(shù)學(xué)物理方程的維數(shù)，如(1.4)稱為三維波動方程，而(1.5)稱為三維Laplace方程，(1.3)、(1.6)、(1.7)和(1.8)分別稱為一維對流方程、一維正則長波方程、一維非線性薛定諤方程和一維KdV(Korteweg-de Vries)方程. 1.2典型方程及定解條件的導(dǎo)出 本節(jié)我們將導(dǎo)出三個典型的二階線性偏微分方程. (1)波動方程: (2)熱傳導(dǎo)方程(擴(kuò)散方程): (3)位勢(Laplace)方程: 或這些方程的非齊次形式.此外，還將導(dǎo)出這些方程的定解條件.許多的數(shù)學(xué)物理問題都?xì)w結(jié)為求解上述偏微分方程的定解問題，因此求解這些方程的定解問題對物理、力學(xué)及工程問題的研究具有重要的意義，也構(gòu)成了本書的基本內(nèi)容. 1.2.1弦振動方程及其定解條件 現(xiàn)考慮弦的微小橫振動方程及其定解條件.所謂弦的微小橫振動，在物理上描述為:一長為l的柔軟均勻細(xì)弦，兩端沿直線拉緊后讓它離開平衡位置，在垂直于弦的外力的作用下做微小橫振動.為了將以上物理模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，需要對該物理模型中一些名詞的物理意義作如下解釋: 柔軟是指弦不抵抗彎曲，因此各點的張力沿該點的切線方向; 均勻是指弦上各點的密度相同; 細(xì)弦是指弦的重量與張力相比可忽略不計，即若用u表示位移，則有(g為重力加速度); 橫振動是指弦的運動發(fā)生在一個平面內(nèi)，而弦上各點的位移與平衡位置垂直;若取弦的平衡位置為x軸，則所謂微小振動是指. 建立如圖1.1所示坐標(biāo)系及振動示意圖. 圖1.1 圖1.1中兩個端點分別固定在x=0和x=l處，u(x，t)表示t時刻弦上的點x的位移，現(xiàn)用微元法導(dǎo)出方程. 如圖1.1，在弦上任取微弧段ds=MM′，設(shè)兩端的張力分別為T，T′，設(shè)f0(x，t)為作用在弦線上且垂直于平衡位置的外力密度(牛頓/米)，ρ為線密度(千克/米). 由于 故可認(rèn)為該微弧段在運動的過程中未伸長.由胡克(Hooke)定律，弦上每點的張力在運動過程中保持不變，即張力與時間無關(guān).根據(jù)橫振動的解釋，知M，M′在x軸上的對應(yīng)位置分別為x與x+Δx，故張力在x方向的合力為零，即 其中，α，α′分別為張力T，T′與x軸的夾角.由于是微小振動，故有α≈0，α′≈0.從而cosα≈1，cosα′≈1，于是有T′=T.另外，微弧段ds在u方向上滿足牛頓第二定律F=ma，即 由于，所以 對上式右端**項括號內(nèi)容應(yīng)用Lagrange中值定理 于是 兩端消去Δx后，令Δx→0，得弦的微小橫振動方程 (1.9) 其中.此方程簡稱為弦振動方程.當(dāng)f(x，t)=0時，稱為弦的強迫振動方程，當(dāng)f(x，t)=0時，即沒有外力的情況，稱為弦的自由振動方程.弦振動方程又稱為一維波動方程. 值得注意的是，我們看到在方程的推導(dǎo)過程中，所有的符號“≈”都用等號“=”代替了，因此導(dǎo)出的方程只是對所給物理現(xiàn)象的近似描述.后面所有的方程及其定解條件亦如此. 類似地，在研究薄膜的微小振動時，可以得到所謂二維波動方程 (1.10) (1.10)也稱為薄膜的振動方程.在研究空間電磁波的傳播等現(xiàn)象時，可以得到三維波動方程 (1.11) 弦振動方程描述了弦振動的一般規(guī)律，而其振動的具體狀態(tài)還依賴于初始條件與邊界條件.所謂初始條件，就是在初始時刻t=0時弦上各點的位移和速度 (1.12) (1.13) 其中φ(x)和ψ(x)為已知函數(shù)，當(dāng)φ(x)=ψ(x)=0時，稱為齊次初始條件. 所謂邊界條件就是弦在振動的過程中兩個端點x=0與x=l滿足的條件.*簡單的邊界條件是端點的位移規(guī)律是已知的，即 (1.14) 其中μ1(t)和μ2(t)為已知函數(shù)，這種條件稱為**類邊界條件或Dirichlet邊界條件.特別地，當(dāng)μ1(t)=μ2(t)=0時，稱之為齊次邊界條件，這表示端點是固定的情況. 現(xiàn)考慮弦的端點被束縛在彈性支撐上，并且當(dāng)弦振動時，彈簧只能在垂直于弦的平衡位置運動.以x=0為例，取弦上[0，Δx]內(nèi)的小弧段，設(shè)在x=0處有一彈性系數(shù)為K0>0的彈性支撐(圖1.2). 圖1.2 此小弧段在x方向上受到的力有:在x=0的彈性恢復(fù)力.K0u(0，t)，在x=Δx處的張力在u方向的分量，以及所施加的外力f(t)，根據(jù)牛頓第二定律F=ma得 令Δx→0，得到 故在x=0處有 (1.15) 其中為已知函數(shù)，為已知常數(shù). 類似地，若在x=l處也有彈性支撐，則可得到邊界條件 (1.16) 其中μ2(t)為已知函數(shù)，σ2>0為已知常數(shù).稱(1.15)和(1.16)為第三類邊界條件，或Robin條件.當(dāng)μ1(t)=μ2(t)=0時，稱為齊次邊界條件.特別地，當(dāng)K0≤T時，意味著彈簧很松軟，約束力很小，這時稱這端的弦是自由的，即 (1.17) 同理，若在x=l處滿足上述情況，則也有 (1.18) 稱(1.17)和(1.18)為第二類邊界條件或Neumann條件，同理，當(dāng)μ1(t)=μ2(t)=0時稱為齊次邊界條件. 初始條件與邊界條件統(tǒng)稱為定解條件.偏微分方程加上定解條件就構(gòu)成了一個定解問題，定解條件中既有初始條件又有邊界條件的定解問題，稱為混合問題或初邊值問題，如
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