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醫學高等數學(第四版) 版權信息
- ISBN：9787030600509
- 條形碼：9787030600509 ; 978-7-03-060050-9
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
醫學高等數學(第四版) 內容簡介
全書依據普通高等醫藥院校數學教學要求編寫而成。書中講述了微積分、常微分方程、概率論及線性代數等方面的基礎知識，重點突出了基本概念、基本理論和數學方法。書中結合具體的醫藥學問題給出了例題和習題，并介紹了借助計算機軟件，用數學方法處理醫學實際問題。
醫學高等數學(第四版) 目錄
目錄
第四版前言
**章 函數、極限與連續 1
1.1* 函數 1
1.1.1 函數的概念 1
1.1.2 函數的特性 3
1.1.3 初等函數 5
1.1.4 分段函數和反函數 9
1.2 函數的極限 10
1.2.1 數列極限 10
1.2.2 函數極限 12
1.2.3 無窮小量 14
1.2.4 極限的運算 16
1.2.5 無窮小量的比較 20
1.2.6* 用Matlab軟件觀察極限動態變化趨勢 21
1.3 函數的連續性 21
1.3.1 函數連續性的概念 21
1.3.2 間斷點 23
1.3.3 初等函數的連續性 25
1.3.4 閉區間上連續函數的性質 26
小結 27
習題 28
第二章 一元函數微分學 32
2.1 導數的概念 32
2.1.1 兩個變化率問題 32
2.1.2 導數的定義 33
2.1.3 導數的幾何意義 35
2.1.4 函數的連續性與可導性的關系 36
2.2 導數的運算 36
2.2.1 幾個基本初等函數的導數 37
2.2.2 導數的四則運算法則 38
2.2.3 復合函數和隱函數求導法 39
2.2.4 對數求導法 42
2.2.5 反函數求導法 43
2.2.6 高階導數 44
2.3 微分 45
2.3.1 微分的定義 45
2.3.2 微分的幾何意義 46
2.3.3 微分的計算 46
2.3.4 微分在誤差估計、近似計算及醫學中的應用 47
2.4 導數的應用 49
2.4.1 拉格朗日中值定理 49
2.4.2 洛必達(L'Hospital)法則 51
2.4.3 函數增減性和函數的極值及醫學應用 53
2.4.4 函數的凹凸性及拐點 61
2.4.5 幾個醫學常用函數圖形的描繪 64
2.4.6* Matlab軟件作平面函數圖形 67
小結 68
習題 68
第三章 一元函數積分學 73
3.1 不定積分 73
3.1.1 不定積分的概念 73
3.1.2 不定積分的基本公式和運算法則 76
3.2 不定積分的計算 78
3.2.1 換元積分法 78
3.2.2 分部積分法 83
3.2.3* 有理函數積分簡介 84
3.2.4 積分表的使用 87
3.3 定積分 87
3.3.1 定積分的概念 87
3.3.2 定積分的性質 91
3.4 定積分的計算 93
3.4.1 微積分基本定理 93
3.4.2 定積分的換元積分法 96
3.4.3 定積分的分部積分法 98
3.4.4 定積分在醫藥學等自然科學中的應用 99
3.5 廣義積分 106
3.5.1 無窮區間上的廣義積分 106
3.5.2* 無界函數的廣義積分 108
小結 110
習題 110
第四章 多元函數微分學 117
4.1 多元函數、極限與連續 117
4.1.1 空間解析幾何簡介 117
4.1.2 多元函數概念 124
4.1.3 二元函數的極限與連續 126
4.2 偏導數與全微分 127
4.2.1 偏導數及其醫藥學應用 127
4.2.2 全微分 130
4.2.3 高階偏導數 132
4.3 多元復合函數的求導法則 133
4.3.1 復合函數的求導法則 133
4.3.2 隱函數的求導法則 136
4.4 多元函數的極值 137
4.4.1 二元函數極值定義 137
4.4.2 二元函數的極值定理 137
4.4.3 求無約束條件極值的方法及其醫藥等方面的應用 138
4.4.4* 求有約束條件的極值方法及其醫藥等方面的應用 140
小結 141
習題 141
第五章 多元函數積分學 145
5.1 二重積分的概念和性質 145
5.1.1 二重積分的概念 145
5.1.2 二重積分的性質 149
5.2 二重積分的計算 150
5.2.1 在直角坐標系下二重積分的計算 150
5.2.2 在極坐標系下二重積分的計算 156
5.3 二重積分的簡單應用 160
5.3.1 幾何和醫藥上的應用 160
5.3.2 物理及力學上的應用 162
小結 165
習題 165
第六章 常微分方程 168
6.1 微分方程的基本概念 168
6.2 一階微分方程及其醫藥學應用 170
6.2.1 可分離變量的微分方程 170
6.2.2 一階線性微分方程 175
6.3 二階微分方程 180
6.3.1 幾種可降階的二階微分方程 180
6.3.2 二階線性常系數齊次方程及其醫學應用 183
6.4* 用Matlab軟件解二階常系數非齊次微分方程 188
小結 188
習題 189
第七章 概率論基礎及其醫藥學應用 192
7.1 隨機事件及其概率 192
7.1.1 隨機事件 192
7.1.2 事件關系及運算 193
7.1.3 隨機事件的概率 195
7.2 概率基本運算法則及其應用 198
7.2.1 概率的加法定理 198
7.2.2 條件概率和乘法公式 199
7.2.3 事件的獨立性 200
7.2.4 全概率公式與貝葉斯公式及其醫學診斷 202
7.3 隨機變量及其概率分布 206
7.3.1 隨機變量 206
7.3.2 離散型隨機變量的概率分布和連續型隨機變量的概率密度函數 206
7.3.3 隨機變量的分布函數 210
7.3.4 五種常見的隨機變量分布 213
7.4 隨機變量的數字特征 219
7.4.1 隨機變量的數學期望及其性質 219
7.4.2 隨機變量的方差及其性質 223
7.5* 大數定律和中心極限定理 226
7.5.1 大數定律 227
7.5.2 中心極限定理 227
小結 228
習題 228
第八章 線性代數初步 233
8.1 行列式及其醫學應用 233
8.1.1 行列式的概念和計算 233
8.1.2 行列式的性質與計算 237
8.1.3* 用克拉默(Cramer)法則解線性方程組及其醫學應用 240
8.2 矩陣 242
8.2.1 矩陣的概念 242
8.2.2 矩陣的運算及其醫學應用 244
8.2.3 矩陣的逆 250
8.3 矩陣的初等變換與線性方程組 252
8.3.1 矩陣的秩和初等變換 252
8.3.2 利用初等變換求逆矩陣 254
8.3.3 矩陣的初等行變換與線性方程組 255
8.3.4* 用Matlab軟件解線性方程組 259
8.4 矩陣的特征值與特征向量 260
8.4.1 矩陣的特征值與特征向量的概念 260
8.4.2 用Matlab軟件求特征值和特征向量 262
小結 263
習題 263
附錄 268
Ⅰ.簡單不定積分表 268
Ⅱ.希臘字母表 275
Ⅲ.泊松分布表 275
Ⅳ.標準正態分布表 281
Ⅴ.常見三角公式提示 282
Ⅵ.Matlab中的運行環境和變量運算簡介 283
習題參考答案 284
第四版前言
**章 函數、極限與連續 1
1.1* 函數 1
1.1.1 函數的概念 1
1.1.2 函數的特性 3
1.1.3 初等函數 5
1.1.4 分段函數和反函數 9
1.2 函數的極限 10
1.2.1 數列極限 10
1.2.2 函數極限 12
1.2.3 無窮小量 14
1.2.4 極限的運算 16
1.2.5 無窮小量的比較 20
1.2.6* 用Matlab軟件觀察極限動態變化趨勢 21
1.3 函數的連續性 21
1.3.1 函數連續性的概念 21
1.3.2 間斷點 23
1.3.3 初等函數的連續性 25
1.3.4 閉區間上連續函數的性質 26
小結 27
習題 28
第二章 一元函數微分學 32
2.1 導數的概念 32
2.1.1 兩個變化率問題 32
2.1.2 導數的定義 33
2.1.3 導數的幾何意義 35
2.1.4 函數的連續性與可導性的關系 36
2.2 導數的運算 36
2.2.1 幾個基本初等函數的導數 37
2.2.2 導數的四則運算法則 38
2.2.3 復合函數和隱函數求導法 39
2.2.4 對數求導法 42
2.2.5 反函數求導法 43
2.2.6 高階導數 44
2.3 微分 45
2.3.1 微分的定義 45
2.3.2 微分的幾何意義 46
2.3.3 微分的計算 46
2.3.4 微分在誤差估計、近似計算及醫學中的應用 47
2.4 導數的應用 49
2.4.1 拉格朗日中值定理 49
2.4.2 洛必達(L'Hospital)法則 51
2.4.3 函數增減性和函數的極值及醫學應用 53
2.4.4 函數的凹凸性及拐點 61
2.4.5 幾個醫學常用函數圖形的描繪 64
2.4.6* Matlab軟件作平面函數圖形 67
小結 68
習題 68
第三章 一元函數積分學 73
3.1 不定積分 73
3.1.1 不定積分的概念 73
3.1.2 不定積分的基本公式和運算法則 76
3.2 不定積分的計算 78
3.2.1 換元積分法 78
3.2.2 分部積分法 83
3.2.3* 有理函數積分簡介 84
3.2.4 積分表的使用 87
3.3 定積分 87
3.3.1 定積分的概念 87
3.3.2 定積分的性質 91
3.4 定積分的計算 93
3.4.1 微積分基本定理 93
3.4.2 定積分的換元積分法 96
3.4.3 定積分的分部積分法 98
3.4.4 定積分在醫藥學等自然科學中的應用 99
3.5 廣義積分 106
3.5.1 無窮區間上的廣義積分 106
3.5.2* 無界函數的廣義積分 108
小結 110
習題 110
第四章 多元函數微分學 117
4.1 多元函數、極限與連續 117
4.1.1 空間解析幾何簡介 117
4.1.2 多元函數概念 124
4.1.3 二元函數的極限與連續 126
4.2 偏導數與全微分 127
4.2.1 偏導數及其醫藥學應用 127
4.2.2 全微分 130
4.2.3 高階偏導數 132
4.3 多元復合函數的求導法則 133
4.3.1 復合函數的求導法則 133
4.3.2 隱函數的求導法則 136
4.4 多元函數的極值 137
4.4.1 二元函數極值定義 137
4.4.2 二元函數的極值定理 137
4.4.3 求無約束條件極值的方法及其醫藥等方面的應用 138
4.4.4* 求有約束條件的極值方法及其醫藥等方面的應用 140
小結 141
習題 141
第五章 多元函數積分學 145
5.1 二重積分的概念和性質 145
5.1.1 二重積分的概念 145
5.1.2 二重積分的性質 149
5.2 二重積分的計算 150
5.2.1 在直角坐標系下二重積分的計算 150
5.2.2 在極坐標系下二重積分的計算 156
5.3 二重積分的簡單應用 160
5.3.1 幾何和醫藥上的應用 160
5.3.2 物理及力學上的應用 162
小結 165
習題 165
第六章 常微分方程 168
6.1 微分方程的基本概念 168
6.2 一階微分方程及其醫藥學應用 170
6.2.1 可分離變量的微分方程 170
6.2.2 一階線性微分方程 175
6.3 二階微分方程 180
6.3.1 幾種可降階的二階微分方程 180
6.3.2 二階線性常系數齊次方程及其醫學應用 183
6.4* 用Matlab軟件解二階常系數非齊次微分方程 188
小結 188
習題 189
第七章 概率論基礎及其醫藥學應用 192
7.1 隨機事件及其概率 192
7.1.1 隨機事件 192
7.1.2 事件關系及運算 193
7.1.3 隨機事件的概率 195
7.2 概率基本運算法則及其應用 198
7.2.1 概率的加法定理 198
7.2.2 條件概率和乘法公式 199
7.2.3 事件的獨立性 200
7.2.4 全概率公式與貝葉斯公式及其醫學診斷 202
7.3 隨機變量及其概率分布 206
7.3.1 隨機變量 206
7.3.2 離散型隨機變量的概率分布和連續型隨機變量的概率密度函數 206
7.3.3 隨機變量的分布函數 210
7.3.4 五種常見的隨機變量分布 213
7.4 隨機變量的數字特征 219
7.4.1 隨機變量的數學期望及其性質 219
7.4.2 隨機變量的方差及其性質 223
7.5* 大數定律和中心極限定理 226
7.5.1 大數定律 227
7.5.2 中心極限定理 227
小結 228
習題 228
第八章 線性代數初步 233
8.1 行列式及其醫學應用 233
8.1.1 行列式的概念和計算 233
8.1.2 行列式的性質與計算 237
8.1.3* 用克拉默(Cramer)法則解線性方程組及其醫學應用 240
8.2 矩陣 242
8.2.1 矩陣的概念 242
8.2.2 矩陣的運算及其醫學應用 244
8.2.3 矩陣的逆 250
8.3 矩陣的初等變換與線性方程組 252
8.3.1 矩陣的秩和初等變換 252
8.3.2 利用初等變換求逆矩陣 254
8.3.3 矩陣的初等行變換與線性方程組 255
8.3.4* 用Matlab軟件解線性方程組 259
8.4 矩陣的特征值與特征向量 260
8.4.1 矩陣的特征值與特征向量的概念 260
8.4.2 用Matlab軟件求特征值和特征向量 262
小結 263
習題 263
附錄 268
Ⅰ.簡單不定積分表 268
Ⅱ.希臘字母表 275
Ⅲ.泊松分布表 275
Ⅳ.標準正態分布表 281
Ⅴ.常見三角公式提示 282
Ⅵ.Matlab中的運行環境和變量運算簡介 283
習題參考答案 284
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醫學高等數學(第四版) 節選
**章 函數、極限與連續 函數是高等數學研究的主要對象之一，它刻畫了變量之間的相互制約關系.本章從函數出發，用運動和變化的觀點來研究函數極限和連續.函數極限刻畫了變量的變化趨勢，高等數學中的許多概念和理論都是以極限為基礎的，極限使高等數學與初等數學有了本質的差異.函數的連續性是函數可微的必要條件，又是函數可積的充分條件，所以連續函數是高等數學研究的主要函數.由此，本章主要介紹函數、函數極限和函數的連續性，為后續章節奠定基礎. 1.1* 函數 1.1.1 函數的概念 一、常量與變量在某一變化過程中始終保持相對靜止狀態的量稱為常量(constant quantity)；時時處于變化著的量稱為變量( variable).前者記為a，b，c等，后者記為x，y，t等.如在一般情況下，人體器官的個數為常量，而人的身高、體重隨年齡而變化，因此它們均為變量. 常量與變量的區分不是絕對的，而是相對的.這由當時所考慮問題的條件而定.如人的身高，在1天內就可認為是常量，而在1年內它就是變量；又如在圓的半徑增加過程中，其周長和面積都是變量，而周長與直徑之比卻是常量(即為π). 二、函數的概念 在某一變化過程中，變量之間的關系往往不是孤立存在的，而是相互影響和相互制約的，它們彼此之間存在著一種確定的對應關系，這種關系在數學上概括為函數關系. 【定義1】設在某個變化過程中存在兩個變量x、y，若對于某一非空數集中的每一個x值，按照某一確定的關系f都有唯一一個實數y與之對應，則稱變量y是變量x的函數(function)，記為y=f(x).其中x稱為自變量(independent variable)，y稱為因變量(dependent variable).使函數有意義的x的取值范圍稱為函數的定義域(domain of definition)，通常用D表示；y的取值范圍稱為函數的值域(domain of functional value)，通常記為R，即R=｛ｙ｜y=f(x)，x∈D｝. 函數的定義有兩個要素：一是自變量x必須有明確的定義域D；二是在定義域范圍內，變量x與y有確定的對應關系，這兩個要素決定值域R.如果兩個函數相等，這兩個要素必須完全相同. 考查函數y=2(x+1)與函數是否相等.它們的定義域不同，前者的定義域是(-∞，+∞)，后者的定義域是(-∞，1)∪(1，+∞)，從而決定了它們的值域也不同，所以這兩個函數不相等. 函數概念中兩個變量之間的對應關系通常用三種表達方式：解析法、表格法和圖表法.醫學高等數學重點研究的是解析法. 在解析法中，如果函數f(x)在定義域內有定義，且x0∈D，則稱y(x0）、f(x0）或為函數在x0處的函數值.解析法表示的函數f(x)在平面直角坐標系中表示平面曲線. 在研究函數時，經常用到一點的鄰域概念.所謂鄰域是指如果x0是實數軸上一點，δ為正實數，則適合開區間x0-δ＜x＜x0+δ的x的全體稱為點x0的鄰域(neighborhood)，記為U(x0，δ)=｛x‖x-x0｜＜δ｝. 1.1.2 函數的特性 一、單調性 設函數f(x)的定義域為D，如果在D中某一個子區間I中任意取兩個值x1和x2，當x1＜x2時，有f(x１)＜f(x2)［或f(x１)＞f(x2)］，則稱函數f(x)在區間I上是單調增加的，見圖1-1（a）［或單調減少的，見圖1-1（b）］.單調增加函數和單調減少函數統稱為單調函數(monotone function). 如y=x3在區間(-∞，+∞)上是單調增加的；而上是單調增加的，在上是單調減少的. 從圖1-1可知，單調函數圖像的特點是：單調增加函數對應的曲線隨自變量x的逐漸增大而上升；單調減少函數對應的曲線隨自變量x逐漸增大而下降. 圖1-1 二、奇偶性 設函數y=f(x)的定義域為D，對D內任意一點x，也有-x∈D，如果都滿足f(-x)=f(x)，則稱函數f(x)在D內是偶函數(even function)；如果都滿足f(-x)=-f(x)，則稱函數f(x)在D內是奇函數(oddf unction). 如y=x2在其定義域(-∞，+∞)上是偶函數；y=sinx在其定義域(-∞，+∞)上是奇函數；y=sinx+cosx在其定義域(-∞，+∞)上非奇非偶. 偶函數的圖像關于y軸對稱，如圖1-2(a)，其中，A與A′是y軸對稱點，奇函數的圖像關于原點對稱，如圖1-2(b)，其中B與B′是原點對稱點. 圖1-2 三、有界性 設函數y=f(x)的定義域為D，如果存在一個正數M，使得對于D中某一個子區間I內任意一點x，總有｜f(x)｜≤M(即-M≤f(x)≤M)，則稱函數f(x)在I上是有界的函數(bounded function)，否則是無界的函數(unbounded function). 如sinx、cosx對區間(-∞，+∞)上任意一點x，存在M=1，使得｜sinx｜≤M，｜cosx｜≤M，所以它們在區間(-∞，+∞)上都是有界函數.lgx在區間(0，+∞)上為無界函數，因為找不到那樣一個正數M，使｜lgx｜≤M成立. 一個函數有界還是無界，必須指明所考慮的區間，因為同一個函數在某個區間上可能是有界的，但在另一個區間上卻可能是無界的.如在開區間(0，1)上是無界函數，但在閉區間［1，2］上卻是有界函數，因為在此區間上能找到M≥1，使當x∈［1，2］時，1x≤M成立. 四、周期性 設函數y=f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數T，使得對于任意一點x∈D，f(x+T)=f(x)恒成立，則稱f(x)在D上為周期函數(periodic function)，T稱為f(x)的周期.通常所說的周期是指*小正周期. 如sinx、cosx均為周期函數，它們的*小正周期為2π；tanx、cotx也是周期函數，它們的*小正周期為π. 周期函數的圖像特點是在這函數的定義域內，每個長度為周期T的區間上，函數所對應的曲線有相同的形狀，如圖1-3所示. 圖1-3 1.1.3 初等函數 一、基本初等函數基本初等函數(basic elementary function)通常是指冪函數(power function)、指數函數(exponential function)、對數函數(logarithmic function)、三角函數(trigonometric function)和反三角函數(anti-trigonometric function). 它們的表達式、定義域、圖像及主要性質見表1-1. 二、復合函數 自由落體運動的動能，其中m為質點的質量，v為質點的速度，而v=gt，其中g為重力加速度，我們稱是由兩個函數復合而成的t的復合函數.v稱為中間變量，t為自變量. 【定義2】設函數y=f(u)和u=φ(x)，且的值域在y=f(u)的定義域內，則稱是由這兩個函數經過中間變量(intermediate variable)u而構成x的復合函數(compound function)，其中x為自變量，簡稱函數是x的復合函數. 如y=lgu，u=x-1在x＞1時復合成的函數為y=lg(x-1). 這樣可將多個函數“合成”為一個表達式.而在后面的很多計算問題中，往往需要把復合函數的中間變量找出來，把它“分解”為若干個基本初等函數或由它們通過四則運算而得到的簡單函數形式，以便于計算。 如復合函數可分解為函數
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