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連桿機構非整周期設計要求尺度綜合的小波特征參數法 版權信息
- ISBN：9787030713568
- 條形碼：9787030713568 ; 978-7-03-071356-8
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
連桿機構非整周期設計要求尺度綜合的小波特征參數法 內容簡介
本書借助小波分解理論，提出利用一維小波系數和二維小波系數描述連桿機構輸出曲線（包括輸出函數曲線和連桿軌跡曲線）的方法，同時給出連桿機構輸出曲線小波系數的幾何意義。在此基礎上，重點分析連桿機構輸出曲線與對應小波系數的關系，建立連桿機構輸出小波特征參數的級數選取機制。以典型的平面四桿機構、平面五桿機構、平面六桿機構，以及球面四桿機構、空間RCCC機構和空間RRSS機構為應用對象，詳細討論多位置、非整周期設計要求的函數綜合、軌跡綜合和剛體導引綜合方法，并進行設計，給出相應的綜合公式、步驟、算例。 本書可供從事機械設計、機構學研究的研究人員和工程技術人員參考學習，也可作為高等院校相關專業的研究生教材。
連桿機構非整周期設計要求尺度綜合的小波特征參數法 目錄
目錄
前言
**章 緒論 1
1.1 機構尺度綜合簡介 1
1.2 連桿機構尺度綜合的研究現狀 2
1.2.1 解析法進行連桿機構尺度綜合研究現狀 3
1.2.2 圖譜法進行連桿機構尺度綜合研究現狀 5
1.3 本書的研究方法 9
參考文獻 11
第二章 連桿機構輸出的小波系數描述及特征參數提取 18
2.1 概述 18
2.2 Daubechies小波變換理論簡介 18
2.3 連桿機構輸出特征的參數化描述方法 21
2.3.1 連桿機構輸出曲線的小波系數 21
2.3.2 連桿機構輸出曲線的小波特征參數 24
2.4 小波級數描述連桿機構非整周期輸出的幾何意義 28
2.4.1 一維小波系數描述連桿機構輸出曲線的幾何意義 28
2.4.2 二維小波系數描述連桿機構輸出曲線的幾何意義 29
2.5 連桿機構非整周期輸出特征參數提取 33
參考文獻 36
第三章 平面四桿機構非整周期設計要求尺度綜合 37
3.1 概述 37
3.2 平面四桿機構非整周期設計要求函數綜合 37
3.2.1 平面四桿機構輸出函數的數學模型 37
3.2.2 平面四桿機構輸出函數的小波分析 39
3.2.3 平面四桿機構輸出函數曲線的動態自適應圖譜庫建立 42
3.2.4 平面四桿機構函數綜合步驟 44
3.2.5 平面四桿機構函數綜合算例 46
3.3 平面四桿機構非整周期設計要求軌跡綜合 47
3.3.1 平面四桿機構輸出軌跡曲線的數學模型 47
3.3.2 平面四桿機構軌跡曲線的輸出小波特征參數 50
3.3.3 平面四桿機構輸出軌跡曲線動態自適應圖譜庫建立 53
3.3.4 平面四桿機構軌跡綜合步驟 55
3.3.5 平面四桿機構軌跡綜合算例 57
3.4 平面四桿機構非整周期設計要求剛體導引綜合 59
3.4.1 平面四桿機構連桿轉角函數與剛體轉角函數的關系 59
3.4.2 平面四桿機構剛體轉角輸出的小波分析 60
3.4.3 平面四桿機構非整周期剛體導引綜合步驟 62
3.4.4 平面四桿機構剛體導引綜合算例 64
參考文獻 75
第四章 平面五桿機構和平面六桿機構非整周期設計要求尺度綜合 76
4.1 概述 76
4.2 平面五桿機構非整周期設計要求軌跡綜合 77
4.2.1 平面五桿機構輸出軌跡曲線的數學模型 77
4.2.2 平面五桿機構輸出曲線的小波分析 79
4.2.3 平面五桿機構軌跡綜合步驟 82
4.2.4 目標機構實際尺寸的計算 85
4.2.5 平面五桿機構軌跡綜合算例 87
4.3 平面六桿機構非整周期設計要求剛體導引綜合 93
4.3.1 平面六桿機構連桿轉角函數與剛體轉角函數的關系 93
4.3.2 平面六桿機構剛體轉角輸出的小波分析 94
4.3.3 平面六桿機構非整周期剛體導引綜合步驟 95
4.3.4 平面六桿機構剛體導引綜合算例 98
參考文獻 102
第五章 球面四桿機構非整周期設計要求尺度綜合 104
5.1 概述 104
5.2 球面四桿機構非整周期設計要求函數綜合 104
5.2.1 球面四桿機構輸出函數曲線的特征參數提取 104
5.2.2 球面四桿機構輸出函數曲線的動態自適應圖譜庫建立 106
5.2.3 球面四桿機構函數綜合步驟 107
5.2.4 球面四桿機構函數綜合算例 109
5.3 球面四桿機構非整周期設計要求軌跡綜合 112
5.3.1 球面四桿機構輸出軌跡曲線的數學模型 112
5.3.2 球面四桿機構輸出軌跡曲線的小波分析 116
5.3.3 球面四桿機構軌跡曲線的動態自適應數值圖譜庫建立 117
5.3.4 綜合步驟及目標機構的機架安裝角度參數計算 118
5.3.5 球面四桿機構軌跡綜合算例 122
參考文獻 130
第六章 空間連桿機構非整周期設計要求尺度綜合 132
6.1 概述 132
6.2 空間RCCC機構非整周期函數綜合 132
6.2.1 RCCC機構輸出函數的數學模型 132
6.2.2 RCCC機構輸出函數的小波分析 133
6.2.3 RCCC機構輸出函數曲線的動態自適應圖譜庫建立 136
6.2.4 RCCC機構函數綜合步驟 137
6.2.5 RCCC機構函數綜合算例 139
6.3 空間RSSR機構非整周期函數綜合 144
6.3.1 RSSR機構輸出函數的數學模型 144
6.3.2 RSSR機構輸出函數的小波分析 145
6.3.3 RSSR機構函數綜合步驟 147
6.3.4 RSSR機構函數綜合算例 149
6.4 空間RRSS機構非整周期設計要求軌跡綜合 152
6.4.1 RRSS機構輸出軌跡曲線的數學模型 152
6.4.2 RRSS機構輸出軌跡曲線的特征橢圓參數 154
6.4.3 RRSS機構輸出軌跡曲線的動態自適應圖譜庫建立 161
6.4.4 RRSS機構軌跡綜合步驟 166
6.4.5 RRSS機構軌跡綜合算例 169
參考文獻 174
第七章 尺度綜合的輸出小波特征參數法的應用 176
7.1 概述 176
7.2 連桿機構尺度綜合的CAD系統開發 176
7.3 滾壓包邊滾輪進給機構的設計 183
7.4 可調座椅的設計 186
參考文獻 193
前言
**章 緒論 1
1.1 機構尺度綜合簡介 1
1.2 連桿機構尺度綜合的研究現狀 2
1.2.1 解析法進行連桿機構尺度綜合研究現狀 3
1.2.2 圖譜法進行連桿機構尺度綜合研究現狀 5
1.3 本書的研究方法 9
參考文獻 11
第二章 連桿機構輸出的小波系數描述及特征參數提取 18
2.1 概述 18
2.2 Daubechies小波變換理論簡介 18
2.3 連桿機構輸出特征的參數化描述方法 21
2.3.1 連桿機構輸出曲線的小波系數 21
2.3.2 連桿機構輸出曲線的小波特征參數 24
2.4 小波級數描述連桿機構非整周期輸出的幾何意義 28
2.4.1 一維小波系數描述連桿機構輸出曲線的幾何意義 28
2.4.2 二維小波系數描述連桿機構輸出曲線的幾何意義 29
2.5 連桿機構非整周期輸出特征參數提取 33
參考文獻 36
第三章 平面四桿機構非整周期設計要求尺度綜合 37
3.1 概述 37
3.2 平面四桿機構非整周期設計要求函數綜合 37
3.2.1 平面四桿機構輸出函數的數學模型 37
3.2.2 平面四桿機構輸出函數的小波分析 39
3.2.3 平面四桿機構輸出函數曲線的動態自適應圖譜庫建立 42
3.2.4 平面四桿機構函數綜合步驟 44
3.2.5 平面四桿機構函數綜合算例 46
3.3 平面四桿機構非整周期設計要求軌跡綜合 47
3.3.1 平面四桿機構輸出軌跡曲線的數學模型 47
3.3.2 平面四桿機構軌跡曲線的輸出小波特征參數 50
3.3.3 平面四桿機構輸出軌跡曲線動態自適應圖譜庫建立 53
3.3.4 平面四桿機構軌跡綜合步驟 55
3.3.5 平面四桿機構軌跡綜合算例 57
3.4 平面四桿機構非整周期設計要求剛體導引綜合 59
3.4.1 平面四桿機構連桿轉角函數與剛體轉角函數的關系 59
3.4.2 平面四桿機構剛體轉角輸出的小波分析 60
3.4.3 平面四桿機構非整周期剛體導引綜合步驟 62
3.4.4 平面四桿機構剛體導引綜合算例 64
參考文獻 75
第四章 平面五桿機構和平面六桿機構非整周期設計要求尺度綜合 76
4.1 概述 76
4.2 平面五桿機構非整周期設計要求軌跡綜合 77
4.2.1 平面五桿機構輸出軌跡曲線的數學模型 77
4.2.2 平面五桿機構輸出曲線的小波分析 79
4.2.3 平面五桿機構軌跡綜合步驟 82
4.2.4 目標機構實際尺寸的計算 85
4.2.5 平面五桿機構軌跡綜合算例 87
4.3 平面六桿機構非整周期設計要求剛體導引綜合 93
4.3.1 平面六桿機構連桿轉角函數與剛體轉角函數的關系 93
4.3.2 平面六桿機構剛體轉角輸出的小波分析 94
4.3.3 平面六桿機構非整周期剛體導引綜合步驟 95
4.3.4 平面六桿機構剛體導引綜合算例 98
參考文獻 102
第五章 球面四桿機構非整周期設計要求尺度綜合 104
5.1 概述 104
5.2 球面四桿機構非整周期設計要求函數綜合 104
5.2.1 球面四桿機構輸出函數曲線的特征參數提取 104
5.2.2 球面四桿機構輸出函數曲線的動態自適應圖譜庫建立 106
5.2.3 球面四桿機構函數綜合步驟 107
5.2.4 球面四桿機構函數綜合算例 109
5.3 球面四桿機構非整周期設計要求軌跡綜合 112
5.3.1 球面四桿機構輸出軌跡曲線的數學模型 112
5.3.2 球面四桿機構輸出軌跡曲線的小波分析 116
5.3.3 球面四桿機構軌跡曲線的動態自適應數值圖譜庫建立 117
5.3.4 綜合步驟及目標機構的機架安裝角度參數計算 118
5.3.5 球面四桿機構軌跡綜合算例 122
參考文獻 130
第六章 空間連桿機構非整周期設計要求尺度綜合 132
6.1 概述 132
6.2 空間RCCC機構非整周期函數綜合 132
6.2.1 RCCC機構輸出函數的數學模型 132
6.2.2 RCCC機構輸出函數的小波分析 133
6.2.3 RCCC機構輸出函數曲線的動態自適應圖譜庫建立 136
6.2.4 RCCC機構函數綜合步驟 137
6.2.5 RCCC機構函數綜合算例 139
6.3 空間RSSR機構非整周期函數綜合 144
6.3.1 RSSR機構輸出函數的數學模型 144
6.3.2 RSSR機構輸出函數的小波分析 145
6.3.3 RSSR機構函數綜合步驟 147
6.3.4 RSSR機構函數綜合算例 149
6.4 空間RRSS機構非整周期設計要求軌跡綜合 152
6.4.1 RRSS機構輸出軌跡曲線的數學模型 152
6.4.2 RRSS機構輸出軌跡曲線的特征橢圓參數 154
6.4.3 RRSS機構輸出軌跡曲線的動態自適應圖譜庫建立 161
6.4.4 RRSS機構軌跡綜合步驟 166
6.4.5 RRSS機構軌跡綜合算例 169
參考文獻 174
第七章 尺度綜合的輸出小波特征參數法的應用 176
7.1 概述 176
7.2 連桿機構尺度綜合的CAD系統開發 176
7.3 滾壓包邊滾輪進給機構的設計 183
7.4 可調座椅的設計 186
參考文獻 193
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連桿機構非整周期設計要求尺度綜合的小波特征參數法 節選
**章 緒論 1.1 機構尺度綜合簡介 機構學是機械設計的基礎理論學科之一。其主要研究內容可分為機構分析和機構綜合兩大類。機構綜合是在給定機構運動學、動力學基礎上，根據已有機械理論及力學理論設計出滿足預定設計要求的機構類型及尺寸。機構是機械的核心，機構設計是機械產品的基礎，因此機構綜合方法的完善和創新是提高機械產品創新能力的關鍵，也是提高機械產品競爭力的重要手段。目前，我國正在由機械制造大國向機械制造強國轉變，先進的設計方法將在此過程中發揮重要的作用。正如鄒慧君和高峰指出的：“對中國來說，機械設計及理論的研究是當務之急，機械工程學界需要設計理論、方法和技術”[1]。 連桿機構制造成本低廉，可以傳遞較大的動力，在重型機械、航空機械、農業機械、機器人等諸多領域有著廣泛應用[2-15]。因此，對連桿機構設計方法的研究一直是機構學研究的熱點問題之一。連桿機構綜合包括數綜合、型綜合及尺度綜合。傳統意義上機構綜合即尺度綜合，根據從動件的輸出特點，可分為函數綜合、軌跡綜合及剛體導引綜合[16-19]。對于連桿機構少位置給定設計要求(9 個給定位置以下)的尺度綜合問題，在早期的研究中，主要的解決方法有試湊法、幾何作圖法和解析法[20-23]。這些方法對早期的工業發展起到極大的推動作用。但這些方法的綜合結果對設計者的設計經驗依賴性較大，并且綜合精度較低，可重復性較差。目前代數法是求解少位置給定精確點設計要求連桿機構尺度綜合問題的主流方法。通過對非線性方程組的求解可以得到滿足設計要求的機構參數[24]。對于多位置給定設計要求尺度綜合問題，處理的主要方法可分為近似綜合法和圖譜法兩大類。與近似綜合法相比，圖譜法更加直觀，可以把握機構大體的運動趨勢和形狀，避免近似綜合法存在的非線性方程組求解、優化初值選取，以及解的穩定性等問題[25，26]。很多學者通過繪制多種常用連桿機構輸出曲線(包括輸出函數曲線和連桿軌跡曲線)的圖譜，為設計者進行機構設計和機構創新提供了極大的便利。但此方法僅能提供部分機構輸出曲線的圖譜，且效率和精度較低[27]。數值圖譜法能在一定程度上彌補曲線圖譜法的不足，但只能對整周期設計要求的尺度綜合問題進行求解。在實際尺度綜合問題中，往往只要求完成某一特定區間上的尺度綜合，如雷達俯仰搜索機構和自卸車液壓舉升機構等。當該區間較小時，可以用少量的采樣點對設計要求進行較為準確地描述，然后通過解析法進行求解。但當區間較大時，僅依靠有限的幾個采樣點很難準確地描述給定函數曲線或連桿軌跡曲線的特點。利用多位置、整周期給定設計要求的尺度綜合方法進行求解時，需要對給定區間補充若干采樣點，將設計要求拓展成為周期函數曲線，再運用數值圖譜法進行求解。然而，該方法只能使設計結果對拓展后的整周期輸出曲線整體進行逼近，無法保證對特定的相對轉動區間(即輸入構件相對起始角的轉動區間)進行逼近[28]。對此類問題，目前還缺乏有效的方法，因此給出一個適用于多位置，任意給定相對轉動區間的連桿機構尺度綜合方法有重要的理論意義和實用價值。 隨著經濟全球化進程的推進，市場對產品的要求也發生了巨大變化。產品用戶化定制、生命周期縮短、產品復雜度不斷提高等都對產品設計提出更高的要求，機械產品設計也不例外。機械產品設計是個復雜的過程，然而競爭激烈的市場卻要求在不斷縮短的設計周期內開發出性能更加優異的產品，并且要求設計具有更大的創新性。因此，要實現短周期的復雜機構創新設計，就必須借助計算機輔助實現機構創新設計過程的自動化和智能化。鄒慧君等指出：機械系統的概念設計理論和方法雖然得到一定程度的深入研究，但對機械系統自動化設計的理論、方法及其輔助軟件仍有待進一步的研究和開發[29]。王國彪等指出：在機構創新設計領域，對工程化的軟件設計工具需求越發強烈[30]。同樣，劉辛軍等指出：工業4.0 及智能制造是工業發展的必然趨勢[31]。因此，建立一個能夠實現連桿機構任意給定相對轉動區間的尺度綜合計算機輔助設計(computer aided design，CAD)系統，不僅可以實現連桿機構設計的快速化、智能化和自動化，還可以幫助企業降低開發成本、縮短開發時間、提高產品質量，產生良好的經濟效益和社會效益。 1.2 連桿機構尺度綜合的研究現狀 連桿機構在理論上富于變化，機構與運動副之間的不同搭配能形成多種性能不同的機構。連桿上的點可再現復雜代數曲線-連桿曲線。主動桿件的輸入與從動桿件的輸出之間能夠形成各種函數關系。連桿機構的綜合以給定的運動要求或動力要求按機構類型決定機構的各桿尺寸。根據要實現的從動件的運動規律，一般將其分為三個基本問題。 (1) 剛體導引機構綜合(位置綜合)。該綜合要求連桿機構能夠導引某剛體按規定次序精確地經過若干個給定的位置。其中既包括對連桿軌跡的要求，又包括對剛體轉角的要求。 (2) 函數生成機構綜合。該綜合要求連桿機構的輸入和輸出構件間的位移關系滿足預先給定的函數關系，即對于任意給定的函數，綜合出能夠實現該函數的一個連桿機構。 (3) 軌跡生成機構綜合。該綜合要求連桿上的某點沿給定的軌跡運動。 機構綜合的理論發展已歷經近1個多世紀，總體可以分為解析法和圖譜法。 1.2.1 解析法進行連桿機構尺度綜合研究現狀 對于連桿機構的尺度綜合問題，國內外學者已進行了大量的工作，至今仍是機構學研究的難點之一。近年來，國內外眾多學者對該問題進行了深入研究，取得很多重要成果，其中以解析法的研究*為廣泛和系統。解析法可分為精確點法和近似綜合法兩大類。 1. 精確點法 精確點法進行連桿機構尺度綜合有兩個關鍵問題：一是根據給定精確位置建立方程組或目標函數；二是對建立的方程組進行求解或根據目標函數選用合適的優化算法進行優化。早在1955年，Freudenstein就提出著名的Freudenstein方程，建立了平面四桿機構輸入與輸出函數關系表達式[32]。隨后，眾多學者利用精確點法對連桿機構尺度綜合問題進行了深入研究[33-36]。其中，以平面四桿機構的研究*為廣泛；贕alerkin法，Akcali等提出5位置設計要求的平面四桿機構函數綜合方法[37]。Mirmahdi等將機構的桿長、起始角，以及連桿轉角作為設計變量，利用多種優化算法對5位置給定設計要求的平面四桿機構函數綜合問題進行求解，并討論了不同優化算法對綜合結果的影響[38]。在此基礎上，Kim等將Taguchi法與隨機坐標搜索算法相結合，提出平面四桿機構少位置點軌跡綜合的混合優化方法[39]。Li等提出利用傅里葉級數描述平面四桿機構輸出函數曲線的方法，結合平面四桿機構閉環矢量方程，建立優化目標函數，實現了平面四桿機構函數綜合[40]。Wang等提出5位置剛體導引綜合的旋轉標線法，并開發了適用于少位置剛體導引綜合的CAD軟件，據此設計出滿足給定設計要求的多種平面四桿機構(包括曲柄搖桿機構、雙搖桿機構和雙曲柄機構)[41]。Brake等提出5位置設計要求的平面四桿機構剛體導引綜合方法[42]。對于球面連桿機構尺度綜合問題，Zimmerman根據球面四桿機構各構件之間的幾何關系，建立了球面四桿機構輸出函數的數學模型，對球面四桿機構4位置函數綜合問題進行了研究[43]。Alizade等將球面四桿機構各構件對應劣弧的圓心角，以及輸出角參考平面作為設計條件建立了優化目標函數，通過求解三次多項式，實現球面四桿機構5位置函數綜合問題的求解[44]。Shirazi利用工程技術軟件Maple建立了球面四桿機構輸出剛體轉角的數學模型，基于Burmester理論，提出球面四桿機構4位置剛體導引綜合方法[45，46]。與平面四桿機構和球面四桿機構相比，空間連桿機構的結構更加復雜，因此空間連桿機構可以實現更加復雜的設計需求。Jimemez等建立了機構輸出函數曲線和軌跡曲線的約束方程，利用擬牛頓迭代法實現了空間連桿機構的尺度綜合[47]。Rao等建立了一個轉動副和三個圓柱副(revolute cylindric cylindric cylindric，RCCC)機構，二個轉動副、一個圓柱副及和一個移動副(revolute cylindric revolute prismatic，RCRP)機構，二個轉動副和二個球面副(revolute spherical spherical revolute，RSSR)機構的輸出函數的數學模型，結合Freudenstein方程，對空間連桿機構函數綜合問題進行了深入研究，提出空間連桿機構5位置設計要求的函數綜合方法[48]。Zhao等基于奇異值分解算法，將5位置剛體導引綜合問題轉化為4次方程的求解問題，為多環機構(Watt I、II型機構，Stephenson I、II、III型六桿機構)剛體導引綜合問題的求解提供了一個有效的方法[49]。Cervantes-Sánchez等對空間四個轉動副和一個圓柱副(revolute revolute revolute cylindric revolute，RRRCR)機構6位置函數綜合問題進行了研究，并建立求解目標機構尺寸參數的非線性方程組[50]。Maaroof等建立了雙球面六桿機構輸出函數的數學模型，利用插值法確定機構的尺寸參數，從而化簡目標函數，實現了過約束雙球面六桿機構4位置設計要求的函數綜合[51]。曹惟慶系統介紹了采用精確點法進行平面連桿機構尺度綜合的步驟和方法，并給出大量的算例和程序[52]。韓建友等深入闡述了少位置平面及空間連桿機構尺度綜合的現代綜合理論與方法，并開發了相應的機構綜合CAD軟件[53]。 上述精確點法可以很好地對少位置給定設計要求連桿機構尺度綜合問題進行求解，但由于受給定設計要求的位置數不能超過建立方程數目的限制，給定設計要求的精確位置數一般不超過9個。因此，對于實際工程中多位置、大范圍及多工況等情況，使用精確點法求解往往難以實現。 2. 近似綜合法 近似綜合法的總體思路是在給定的設計要求下，按照建立的目標函數，改變設計變量，尋求*佳的設計方案。因此，目標函數、設計變量和約束條件就構成近似綜合法的三個基本問題。眾多學者基于不同的數學理論，提出多種方法來求解平面、球面和空間連桿機構的多位置設計要求尺度綜合問題[54-64]。對于平面四桿機構多位置設計要求尺度綜合問題，Bulatovi*等建立了平面四桿機構連桿軌跡的數學模型，用一系列直線段和圓弧代替采樣點描述平面四桿機構連桿軌跡曲線，進而利用差分進化法實現平面四桿機構軌跡綜合問題的求解[65]。在此基礎上，Matekar等改進尺度綜合的差分進化方法，建立誤差函數和連桿機構尺寸參數的優化目標函數，實現了連桿機構多位置軌跡綜合問題的求解[66]。通過分析平面四桿機構連桿軌跡曲線的特點，Cabrera等對平面四桿機構連桿軌跡曲線進行分類，建立對應的優化目標函數，利用遺傳算法對四桿機構軌跡綜合問題進行求解[67]。Luo等提出一種全局優化的尺度綜合方法，實現了18個優化設計變量的連桿機構尺度綜合問題的求解[68]。Zhao等利用貪心搜索算法對多位置設計要求的平面四桿機構剛體導引綜合問題進行研究，并利用提出的尺度綜合方法對醫療康復座椅進行設計[69]。Lin將遺傳算法與差分進化算法相結合，利用差分進化算法中的交叉算子代替遺傳算法中的交叉算子實現平面四桿機構的軌跡綜合[70]；谶B桿運動映像曲線的傅里葉描述，謝進等提出利用連桿運動映像曲線和BP神經網絡實現連桿機構多位置設計要求軌跡綜合的方法[71]。Liu等提出平面四桿機構連桿軌跡曲線的精確參數描述方法，結合人工免疫的多峰函數優化算法，實現平面四桿機構軌跡綜合的求解，為平面四桿機構軌跡綜合提供了一個有效的方法[72]。Farhang等對小曲柄球面四桿機構輸出函數的數學模型進行分析，發現了曲柄輸入角與機構輸出角之間的關系，進而提出球面四桿機構輸出函數曲線的近似描述方法，并討論了機構的運動可行域和誤差范圍[73
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