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多元統計分析 版權信息
- ISBN：9787030697295
- 條形碼：9787030697295 ; 978-7-03-069729-5
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>>
多元統計分析 內容簡介
本書介紹了多元統計分析的方法和理論，以及R語言計算，涵蓋了經典多元統計分析的全部內容，包括：矩陣運算知識、數據可視化與R語言、多元正態分布、多元正態總體的抽樣分布、多元正態分布的參數估計、置信域和假設檢驗、線性回歸模型、多元多重回歸分析、主成分分析、因子分析、判別分析、聚類分析和典型相關分析等內容，以及R語言的應用。本書除了重點介紹各種多元統計分析的思想、方法和理論外，使用R語言進行計算和數據可視化也是本書的特色，對書中所有的多元統計分析方法和理論都給出了R語言程序和應用，有大量翔實的應用案例可供參考，并配有相當數量的習題可供練習。 本書取材新穎、內容豐富、闡述嚴謹、推導詳盡、重點突出、思路清晰、深入淺出、富有啟發性，便于教學與自學。 本書可作為統計學、數學、金融學和經濟學等專業的本科生和研究生多元統計分析課程的教材或參考書，也可作為數據分析相關科技人員和工作者使用多元統計分析方法與R語言的參考手冊。
多元統計分析 目錄
目錄
“統計與數據科學叢書”序
前言
第1章 緒論和預備知識 1
1.1 緒論 1
1.1.1 多元統計分析概述 1
1.1.2 關于本書 2
1.1.3 適用對象 3
1.2 矩陣運算知識 4
1.2.1 線性空間 4
1.2.2 Kronecker乘積與拉直運算 6
1.2.3 矩陣的幾種重要分解 7
1.2.4 矩陣的廣義逆 11
1.2.5 對稱冪等陣 14
1.2.6 分塊矩陣 16
1.2.7 矩陣微商和變換的雅可比 18
習題1 22
第2章 數據可視化與R語言 24
2.1 數據可視化概述 24
2.2 R語言介紹 25
2.3 R語言繪圖基礎 29
2.3.1 R基礎的數據可視化 29
2.3.2 ggplot2系列程序包的可視化 36
2.4 多元統計數據的可視化 39
2.4.1 輪廓圖 39
2.4.2 雷達圖 40
2.4.3 星圖 41
2.4.4 臉譜圖 42
2.4.5 散點圖 44
習題2 47
第3章 多元正態分布 49
3.1 隨機向量 49
3.1.1 隨機向量及其分布表示 49
3.1.2 隨機向量的數字特征 51
3.1.3 變量變換 56
3.2 多元正態分布的定義、性質與獨立性 56
3.2.1 多元正態分布的定義及性質 58
3.2.2 多元正態分布的R語言計算 62
3.2.3 條件分布和獨立性 65
3.3 偏相關系數* 68
3.4 矩陣多元正態分布 72
習題3 75
第4章 多元正態總體的抽樣分布 79
4.1 二次型分布 79
4.2 Wishart分布 84
4.2.1 Wishart分布的定義及其性質 84
4.2.2 非中心Wishart分布 93
4.3 HotellingT 2分布 94
4.4 Wilks分布 97
習題4 99
第5章 多元正態分布的參數估計 102
5.1 多元正態分布樣本統計量和極大似然估計 102
5.1.1 多元正態分布樣本統計量 102
5.1.2 極大似然估計 105
5.2 多元正態分布的參數估計的性質 107
5.2.1 無偏性 107
5.2.2 充分性 107
5.2.3 相合性 108
5.2.4 完備性 111
5.2.5 有效性 111
5.2.6 Bayes與minimax估計* 112
5.3 均值向量的改進估計* 113
5.3.1 協方差矩陣已知時，均值向量的改進估計 114
5.3.2 協方差矩陣未知時，均值向量的改進估計 120
5.4 相關系數的估計與應用* 120
5.4.1 樣本相關系數的精確分布 121
5.4.2 樣本相關系數的漸近正態分布 132
5.4.3 樣本偏相關系數 135
習題5 137
第6章 多元正態分布的置信域和假設檢驗 140
6.1 總體均值向量的置信域估計 140
6.1.1 單個多元正態總體 140
6.1.2 同時置信區間 144
6.1.3 Bonferroni同時置信區間 146
6.1.4 大樣本置信區間 149
6.1.5 兩個多元正態總體 150
6.2 p值與似然比統計量 154
6.2.1 p值法 154
6.2.2 似然比原理 155
6.3 總體均值向量的檢驗與R語言計算 157
6.3.1 總體均值向量的檢驗 157
6.3.2 案例與R語言計算 160
6.4 多總體均值向量的檢驗 161
6.4.1 兩正態總體均值向量比較的檢驗 161
6.4.2 案例與R語言計算 164
6.4.3 多個正態總體均值向量的檢驗——多元方差分析 165
6.4.4 案例與R語言計算 169
6.5 協方差矩陣的檢驗 170
6.5.1 單個多元正態總體協方差矩陣的檢驗 170
6.5.2 球形檢驗問題 172
6.5.3 均值向量和協方差矩陣的聯合檢驗問題 175
6.5.4 多總體協方差矩陣的檢驗問題 176
6.5.5 多正態總體均值向量和協方差矩陣的同時檢驗問題 179
6.6 獨立性檢驗 181
習題6 184
第7章 線性回歸模型 189
7.1 多元線性回歸分析 189
7.1.1 模型介紹 189
7.1.2 *小二乘估計 194
7.1.3 σ2的估計 195
7.1.4 假設檢驗 198
7.1.5 預測區間與置信區間 200
7.1.6 R語言函數及應用 201
7.2 回歸診斷 205
7.2.1 什么是回歸診斷？ 205
7.2.2 殘差 206
7.2.3 殘差圖 208
7.2.4 影響分析 210
7.2.5 多重共線性 214
7.3 子集選擇 218
7.3.1 *優子集選擇 218
7.3.2 逐步選擇方法 219
7.3.3 *優模型選擇 220
7.3.4 案例與R語言計算 223
7.4 壓縮估計方法 230
7.4.1 嶺回歸 231
7.4.2 橋回歸 234
7.4.3 懲罰變量選擇方法 235
7.5 Lasso:線性回歸模型應用 240
7.5.1 Lasso方法 240
7.5.2 自由度 242
7.5.3 調節參數λ的選擇 243
7.5.4 案例與R語言計算 243
7.6 SCAD:線性回歸模型應用 245
7.6.1 理論結果 245
7.6.2 算法 247
7.6.3 調節參數λ的選擇 251
7.6.4 案例與R語言計算 252
7.7 自適應Lasso 254
7.8 高維回歸模型:Lasso應用 261
習題7 268
第8章 多元多重回歸分析 273
8.1 多元方差分析模型 273
8.1.1 單因子多元方差分析 273
8.1.2 雙因子多元方差分析 280
8.2 多元多重回歸 284
8.2.1 多響應變量的多元多重回歸模型 284
8.2.2 模型參數的估計 286
8.2.3 模型參數的檢驗 291
8.2.4 多元多重線性回歸模型的預測 296
8.2.5 案例分析 297
8.3 多元生長曲線模型 302
習題8 305
第9章 主成分分析 307
9.1 總體主成分分析 307
9.1.1 主成分的定義與導出 307
9.1.2 主成分分析的幾何意義 309
9.2 主成分的推導和性質 311
9.2.1 主成分的計算和性質 311
9.2.2 基于標準化的主成分 318
9.3 樣本主成分分析 320
9.3.1 基于樣本協方差矩陣S的主成分 321
9.3.2 樣本主成分的解釋 323
9.3.3 標準化的樣本主成分 324
9.4 大樣本性質 329
9.4.1 特征值和特征向量估計的大樣本性質 329
9.4.2 等相關結構的檢驗 332
9.4.3 主成分的充分性檢驗 332
9.5 主成分分析在圖像處理中的應用 333
9.5.1 圖像壓縮 333
9.5.2 人臉識別 335
習題9 338
第10章 因子分析 341
10.1 因子分析模型 341
10.2 因子載荷矩陣的估計方法 345
10.2.1 主成分法 345
10.2.2 主因子法 349
10.2.3 極大似然法 353
10.3 因子旋轉 358
10.4 因子分析模型的擬合優度檢驗 364
10.5 因子得分 367
10.5.1 Thomson因子得分 367
10.5.2 Bartlett因子得分 368
10.5.3 Thomson因子得分和Bartlett因子得分比較 371
10.5.4 案例與R語言計算 372
10.6 因子分析與主成分分析的關系 379
習題10 380
第11章 判別分析 383
11.1 判別準則 383
11.1.1 判別準則簡介 383
11.1.2 兩個總體的情形 384
11.2 兩個總體的判別方法 386
11.2.1 先驗概率已知的情形 386
11.2.2 先驗概率未知的情形 388
11.3 兩個已知多元正態分布的判別 389
11.3.1 先驗概率已知的情形 389
11.3.2 先驗概率不存在的情形 391
11.4 參數未知時兩個正態總體的判別 394
11.4.1 判別準則 394
11.4.2 判別準則的分布 395
11.4.3 判別準則的漸近分布 396
11.4.4 極大似然比準則 397
11.5 錯判概率 399
11.5.1 基于W錯判概率的漸近展開 399
11.5.2 基于Z錯判概率的漸近展開 402
11.6 多個總體的判別 404
11.7 多個多元正態分布的判別 407
11.8 案例及R語言計算 410
習題11 423
第12章 聚類分析 428
12.1 距離和相似系數 429
12.1.1 數據預處理 429
12.1.2 樣本間的距離 431
12.1.3 相似系數 434
12.1.4 定性變量樣本的距離和相似系數 438
12.1.5 定性變量間的相似系數 442
12.2 K均值聚類 445
12.2.1 K均值聚類算法 445
12.2.2 K均值聚類中類個數的確定和應用 448
12.2.3 圖像色彩的K均值聚類 451
12.2.4 密度聚類 453
12.3 系統聚類法 457
12.3.1 系統聚類法的思想和算法 457
12.3.2 類間距離和系統聚類法 458
12.3.3 系統聚類法的統一 464
12.3.4 系統聚類法的性質和類的確定 465
12.3.5 系統聚類的R語言計算和應用 470
12.3.6 新的聚類方法 475
12.4 基于統計模型的聚類*475
習題12 480
第13章 典型相關分析 483
13.1 相關系數的定義 483
13.2 總體的典型相關分析 486
13.2.1 總體的典型相關的定義 486
13.2.2 典型相關系數的性質 487
13.3 樣本典型相關分析 491
13.3.1 樣本典型相關 491
13.3.2 典型相關系數個數的檢驗 495
13.4 典型相關分析的R語言應用 497
13.4.1 典型相關分析的程序 497
13.4.2 案例分析 500
習題13 504
參考文獻 506
“統計與數據科學叢書”已出版書目 512
“統計與數據科學叢書”序
前言
第1章 緒論和預備知識 1
1.1 緒論 1
1.1.1 多元統計分析概述 1
1.1.2 關于本書 2
1.1.3 適用對象 3
1.2 矩陣運算知識 4
1.2.1 線性空間 4
1.2.2 Kronecker乘積與拉直運算 6
1.2.3 矩陣的幾種重要分解 7
1.2.4 矩陣的廣義逆 11
1.2.5 對稱冪等陣 14
1.2.6 分塊矩陣 16
1.2.7 矩陣微商和變換的雅可比 18
習題1 22
第2章 數據可視化與R語言 24
2.1 數據可視化概述 24
2.2 R語言介紹 25
2.3 R語言繪圖基礎 29
2.3.1 R基礎的數據可視化 29
2.3.2 ggplot2系列程序包的可視化 36
2.4 多元統計數據的可視化 39
2.4.1 輪廓圖 39
2.4.2 雷達圖 40
2.4.3 星圖 41
2.4.4 臉譜圖 42
2.4.5 散點圖 44
習題2 47
第3章 多元正態分布 49
3.1 隨機向量 49
3.1.1 隨機向量及其分布表示 49
3.1.2 隨機向量的數字特征 51
3.1.3 變量變換 56
3.2 多元正態分布的定義、性質與獨立性 56
3.2.1 多元正態分布的定義及性質 58
3.2.2 多元正態分布的R語言計算 62
3.2.3 條件分布和獨立性 65
3.3 偏相關系數* 68
3.4 矩陣多元正態分布 72
習題3 75
第4章 多元正態總體的抽樣分布 79
4.1 二次型分布 79
4.2 Wishart分布 84
4.2.1 Wishart分布的定義及其性質 84
4.2.2 非中心Wishart分布 93
4.3 HotellingT 2分布 94
4.4 Wilks分布 97
習題4 99
第5章 多元正態分布的參數估計 102
5.1 多元正態分布樣本統計量和極大似然估計 102
5.1.1 多元正態分布樣本統計量 102
5.1.2 極大似然估計 105
5.2 多元正態分布的參數估計的性質 107
5.2.1 無偏性 107
5.2.2 充分性 107
5.2.3 相合性 108
5.2.4 完備性 111
5.2.5 有效性 111
5.2.6 Bayes與minimax估計* 112
5.3 均值向量的改進估計* 113
5.3.1 協方差矩陣已知時，均值向量的改進估計 114
5.3.2 協方差矩陣未知時，均值向量的改進估計 120
5.4 相關系數的估計與應用* 120
5.4.1 樣本相關系數的精確分布 121
5.4.2 樣本相關系數的漸近正態分布 132
5.4.3 樣本偏相關系數 135
習題5 137
第6章 多元正態分布的置信域和假設檢驗 140
6.1 總體均值向量的置信域估計 140
6.1.1 單個多元正態總體 140
6.1.2 同時置信區間 144
6.1.3 Bonferroni同時置信區間 146
6.1.4 大樣本置信區間 149
6.1.5 兩個多元正態總體 150
6.2 p值與似然比統計量 154
6.2.1 p值法 154
6.2.2 似然比原理 155
6.3 總體均值向量的檢驗與R語言計算 157
6.3.1 總體均值向量的檢驗 157
6.3.2 案例與R語言計算 160
6.4 多總體均值向量的檢驗 161
6.4.1 兩正態總體均值向量比較的檢驗 161
6.4.2 案例與R語言計算 164
6.4.3 多個正態總體均值向量的檢驗——多元方差分析 165
6.4.4 案例與R語言計算 169
6.5 協方差矩陣的檢驗 170
6.5.1 單個多元正態總體協方差矩陣的檢驗 170
6.5.2 球形檢驗問題 172
6.5.3 均值向量和協方差矩陣的聯合檢驗問題 175
6.5.4 多總體協方差矩陣的檢驗問題 176
6.5.5 多正態總體均值向量和協方差矩陣的同時檢驗問題 179
6.6 獨立性檢驗 181
習題6 184
第7章 線性回歸模型 189
7.1 多元線性回歸分析 189
7.1.1 模型介紹 189
7.1.2 *小二乘估計 194
7.1.3 σ2的估計 195
7.1.4 假設檢驗 198
7.1.5 預測區間與置信區間 200
7.1.6 R語言函數及應用 201
7.2 回歸診斷 205
7.2.1 什么是回歸診斷？ 205
7.2.2 殘差 206
7.2.3 殘差圖 208
7.2.4 影響分析 210
7.2.5 多重共線性 214
7.3 子集選擇 218
7.3.1 *優子集選擇 218
7.3.2 逐步選擇方法 219
7.3.3 *優模型選擇 220
7.3.4 案例與R語言計算 223
7.4 壓縮估計方法 230
7.4.1 嶺回歸 231
7.4.2 橋回歸 234
7.4.3 懲罰變量選擇方法 235
7.5 Lasso:線性回歸模型應用 240
7.5.1 Lasso方法 240
7.5.2 自由度 242
7.5.3 調節參數λ的選擇 243
7.5.4 案例與R語言計算 243
7.6 SCAD:線性回歸模型應用 245
7.6.1 理論結果 245
7.6.2 算法 247
7.6.3 調節參數λ的選擇 251
7.6.4 案例與R語言計算 252
7.7 自適應Lasso 254
7.8 高維回歸模型:Lasso應用 261
習題7 268
第8章 多元多重回歸分析 273
8.1 多元方差分析模型 273
8.1.1 單因子多元方差分析 273
8.1.2 雙因子多元方差分析 280
8.2 多元多重回歸 284
8.2.1 多響應變量的多元多重回歸模型 284
8.2.2 模型參數的估計 286
8.2.3 模型參數的檢驗 291
8.2.4 多元多重線性回歸模型的預測 296
8.2.5 案例分析 297
8.3 多元生長曲線模型 302
習題8 305
第9章 主成分分析 307
9.1 總體主成分分析 307
9.1.1 主成分的定義與導出 307
9.1.2 主成分分析的幾何意義 309
9.2 主成分的推導和性質 311
9.2.1 主成分的計算和性質 311
9.2.2 基于標準化的主成分 318
9.3 樣本主成分分析 320
9.3.1 基于樣本協方差矩陣S的主成分 321
9.3.2 樣本主成分的解釋 323
9.3.3 標準化的樣本主成分 324
9.4 大樣本性質 329
9.4.1 特征值和特征向量估計的大樣本性質 329
9.4.2 等相關結構的檢驗 332
9.4.3 主成分的充分性檢驗 332
9.5 主成分分析在圖像處理中的應用 333
9.5.1 圖像壓縮 333
9.5.2 人臉識別 335
習題9 338
第10章 因子分析 341
10.1 因子分析模型 341
10.2 因子載荷矩陣的估計方法 345
10.2.1 主成分法 345
10.2.2 主因子法 349
10.2.3 極大似然法 353
10.3 因子旋轉 358
10.4 因子分析模型的擬合優度檢驗 364
10.5 因子得分 367
10.5.1 Thomson因子得分 367
10.5.2 Bartlett因子得分 368
10.5.3 Thomson因子得分和Bartlett因子得分比較 371
10.5.4 案例與R語言計算 372
10.6 因子分析與主成分分析的關系 379
習題10 380
第11章 判別分析 383
11.1 判別準則 383
11.1.1 判別準則簡介 383
11.1.2 兩個總體的情形 384
11.2 兩個總體的判別方法 386
11.2.1 先驗概率已知的情形 386
11.2.2 先驗概率未知的情形 388
11.3 兩個已知多元正態分布的判別 389
11.3.1 先驗概率已知的情形 389
11.3.2 先驗概率不存在的情形 391
11.4 參數未知時兩個正態總體的判別 394
11.4.1 判別準則 394
11.4.2 判別準則的分布 395
11.4.3 判別準則的漸近分布 396
11.4.4 極大似然比準則 397
11.5 錯判概率 399
11.5.1 基于W錯判概率的漸近展開 399
11.5.2 基于Z錯判概率的漸近展開 402
11.6 多個總體的判別 404
11.7 多個多元正態分布的判別 407
11.8 案例及R語言計算 410
習題11 423
第12章 聚類分析 428
12.1 距離和相似系數 429
12.1.1 數據預處理 429
12.1.2 樣本間的距離 431
12.1.3 相似系數 434
12.1.4 定性變量樣本的距離和相似系數 438
12.1.5 定性變量間的相似系數 442
12.2 K均值聚類 445
12.2.1 K均值聚類算法 445
12.2.2 K均值聚類中類個數的確定和應用 448
12.2.3 圖像色彩的K均值聚類 451
12.2.4 密度聚類 453
12.3 系統聚類法 457
12.3.1 系統聚類法的思想和算法 457
12.3.2 類間距離和系統聚類法 458
12.3.3 系統聚類法的統一 464
12.3.4 系統聚類法的性質和類的確定 465
12.3.5 系統聚類的R語言計算和應用 470
12.3.6 新的聚類方法 475
12.4 基于統計模型的聚類*475
習題12 480
第13章 典型相關分析 483
13.1 相關系數的定義 483
13.2 總體的典型相關分析 486
13.2.1 總體的典型相關的定義 486
13.2.2 典型相關系數的性質 487
13.3 樣本典型相關分析 491
13.3.1 樣本典型相關 491
13.3.2 典型相關系數個數的檢驗 495
13.4 典型相關分析的R語言應用 497
13.4.1 典型相關分析的程序 497
13.4.2 案例分析 500
習題13 504
參考文獻 506
“統計與數據科學叢書”已出版書目 512
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多元統計分析 節選
第1章 緒論和預備知識 學習目標與要求: 1.了解多元統計分析的概述和本書的特點; 2.掌握矩陣的各種性質和運算; 3.結合多元統計分析的內容，掌握矩陣運算在多元統計分析中的重要性. 1.1 緒論 1.1.1 多元統計分析概述 多元統計分析是從經典統計學中發展起來的一個分支，是研究多元數據處理方法的一門科學.多元統計分析能夠在多個對象和多個指標互相關聯的情況下分析它們的統計規律，是一門具有很強應用性的課程，包括了很多非常有用的數據處理方法，在自然科學和社會科學等各個領域中得到了廣泛的應用. 多元統計分析起源于20世紀初，1928年Wishart發表的學術論文《多元正態總體樣本協差陣的精確分布》，可以說是多元統計分析的開端.在20世紀30年代，Fisher、Hotelling、Roy和許寶騄等統計學者作了一系列的奠基性工作，使多元統計分析在理論上得到了迅速發展.20世紀40年代，多元統計分析方法和理論在心理學、教育學、生物學等方面有不少的應用，但計算量大，使多元統計分析的發展受到一定影響，甚至停滯了相當長的時間.在20世紀50年代中期，隨著電子計算機的出現和發展，多元統計分析方法在地質、氣象、醫學和社會學等方面得到廣泛的應用.在20世紀60年代，多元統計分析的理論在應用和實踐中又得到了完善與發展，新的方法和理論不斷涌現，促進和擴大了多元統計分析的應用范圍.20世紀70年代初期，多元統計分析在我國才受到各個領域的極大關注，并在多元統計分析的理論研究和應用上也取得了很多顯著成績，有些研究工作達到了國際水平，并已形成一支科研隊伍，活躍在各條戰線上.在20世紀末與21世紀初，隨著現代技術的快速發展，特別是計算機科學、人工智能、網絡信息、生物工程、醫學技術等的發展，大數據時代正在向我們走來，并滲透到了各個領域.數字化技術的發展也使得更加方便收集和交換數據，并使得數據的存儲成本變得越來越便宜.多元統計分析方法與人工智能和數據庫技術相結合，已在經濟、商業、金融、天文、醫學、生物、環境、地質、農業和工業等領域得到了成功的應用. 在實際應用中，多個指標或變量共同作用或影響的現象大量存在，這時變量之間不可避免存在相關性.例如，在研究地區經濟發展的指標時，需要考察總產值、利潤、效益、勞動生產率、固定資產、物價、信貸、稅收等指標;在醫學診斷研究中，需要考察血壓、血糖、脈搏、白細胞、體溫、甘油三酯和膽固醇等指標.為了研究變量之間的相關關系并揭示變量的內在規律性，需要對p個指標變量X=(X1， ，Xp)′進行n觀測試驗，即收集多重觀測數據，則這n個觀測數據樣本可以看成是p維空間的n個點.多元統計分析的研究對象就是多重觀測數據，基本思想是利用多重觀測之間的潛在相關性來提升推斷效率，為研究變量之間的相關關系和內在規律性提供方法和理論. 在多元統計分析中，可用總體均值向量、各變量的標準差以及各變量之間的相關系數來刻畫總體.相應地可用樣本均值向量、各變量的樣本標準差以及各變量之間的樣本相關系數來概括一組樣本.在研究變量之間相關關系的統計推斷時，精確的統計推斷理論需要對總體X進行正態分布的假設，而漸近的統計推斷也需要多元的極限理論.所以，在多元統計分析中需要引入多元正態分布的概念，而多元正態分布也是多元統計分析的理論基礎.多元統計分析的內容包括:矩陣運算、數據可視化、多元正態分布、多元正態總體的抽樣分布、多元正態分布的參數估計、置信域和假設檢驗、線性回歸模型、多元多重回歸分析、主成分分析、因子分析、判別分析、聚類分析和典型相關分析等內容. 多元統計分析方法在經濟、管理、金融、農業、醫學、教育學、體育科學、生態學、地質學、社會學、考古學、環境科學、軍事科學和文學等方面都有廣泛的應用.因此，學習多元統計分析方法、理論和應用是非常必要的. 1.1.2 關于本書 目前，國內外統計學者已經出版了很多優秀的多元統計分析教材，例如，Anderson(2003)，Johnson和Wichern(2008)，張堯庭和方開泰(1982)，高惠璇(2005)，張潤楚(2006)，王靜龍(2008)，白志東等(2012)，吳密霞和劉春玲(2014)，吳喜之(2019)等.在本書編寫過程中，吸收了這些優秀教材的許多精華和優點，突出了以下幾個特色. (1)為了讓讀者系統掌握多元統計分析內容，本書嚴謹并系統地介紹了多元統計分析的基本思想、方法和理論，還配有大量翔實的應用案例可供參考.此外，本書在第7章的線性回歸模型部分還系統介紹了前沿的懲罰變量選擇方法、算法和應用，如Lasso、SCAD和自適應Lasso等. (2)本書特色是用R語言進行案例分析，做到在理論的學習中體會應用，在應用的分析中加深理論.書中所有的多元統計方法都給出了R語言程序，在應用R語言進行案例分析時，除了介紹每種多元統計分析方法的程序包和核心函數外，更重要的是突出編程思想，培養讀者能應用R語言進行編程和數據分析.通過編程，加深對每種多元統計分析方法的理解和掌握. (3)本書的另一個特色是數據可視化.本書在進行案例分析時，幾乎對所有多元統計分析方法的結果都通過精美的圖形進行數據可視化展示，可以讓讀者更直觀地對多元統計分析方法進行比較和評價. (4)本書有相當數量的習題可供練習，這些習題中一部分可以加強統計理論和方法，另一部分針對實際問題，可培養讀者結合統計方法獨立解決實際問題的能力和素質. (5)本書增加了教學資源的電子教案，教材中涉及的數據、R語言程序和插圖等，供使用本書的師生參考和使用，豐富教與學的過程，提高教與學的效果. (6)本書使用的符號、變量和參數非常多，因此，在撰寫本書的過程中，對數學符號的定義很清楚，做到全書統一，具有可讀性.此外，當符號**次出現時，都會給出清晰的定義.在本書中，用黑正體表示矩陣，黑斜體表示向量.例如，令X表示一個n×p矩陣，表示為 令xi=(xi1，xi2， ，xip)′表示長度為p的列向量，其中X′或x′表示矩陣X或向量x的轉置. 1.1.3 適用對象 本書可作為統計學、數學、金融學和經濟學等專業高年級本科生、研究生多元統計分析課程的教材或參考書，也可作為數據分析相關科技人員和工作者使用多元統計分析方法和R語言的參考手冊.本書的目的是介紹多元統計分析的方法和理論，并通過案例讓讀者理解所學多元統計分析方法，并掌握多元統計分析方法的R語言應用.本書的學習要求具備一些基礎課程，如概率論、數理統計、高等數學、高等代數和矩陣論等. 本書內容已經針對北京師范大學應用統計專業碩士、統計學碩士和博士研究生進行了講授，得到了學生的認可.本書的內容較多，教師在選用本書作為教材時，對于不同培養層次的學生，可靈活選取適當的內容進行講授.例如，對高年級本科生、應用統計專業碩士研究生，以及其他專業學生可重點介紹多元統計分析的思想和方法，并突出應用和數據分析，不建議講授帶“*”的內容.統計學碩士和博士研究生可重點介紹方法和理論，可適當選擇講授教材中帶“*”的內容，注重奠定學生扎實的理論基礎. 1.2 矩陣運算知識 矩陣是多元統計分析一個十分重要的工具，本節主要介紹多元統計分析中有關矩陣論的一些預備知識. 1.2.1 線性空間 記全體n×1實向量組成的集合為Rn. 定義1.1 線性空間 設H為Rn的一個子集，如果它對向量加法和數乘兩種運算具有封閉性， 即 (1)對任意x∈H和y∈H，必有x+y∈H; (2)對一切實數c和任意x∈H，都有cx∈H. 這時，把滿足上面兩種運算的子集H稱為線性空間. 顯然，Rn是一個線性空間.記S0是由Rn中向量組a1， ，ak的一切可能的線性組合構成的集合，即 容易驗證，S0也是線性空間，稱S0為Rn的一個子空間.若將a1， ，ak排成一個n×k矩陣A=(a1， ，ak)，則S0可表示為 它是矩陣A的列向量張成的子空間，記為S0=M(A). 定義1.2 線性相關/線性無關 設a1， ，ak為Rn中的一組向量，若存在不全為零的實數α1， ，αk，使得 則稱向量組a1， ，ak線性相關，否則稱它們是線性無關的. 如果子空間S0由一組線性無關的向量a1， ，ak張成，則稱a1， ，ak為S0的一組基，k稱為S0的維數，記作k=dim(S0).因此，dim(M(A))=rank(A). 對Rn中的任意兩個向量a′=(a1， ，an)和b′=(b1， ，bn)，定義它們的內積為 特別地，稱為向量a的長度或模，記作∥a∥.記則(b，b)=1，并稱b為a的標準化后的向量. 若(a，b)=0，則稱a與b正交，記為a⊥b.若a與子空間S中的每一個向量正交，則稱a正交于S，記為a⊥S. 定義1.3 正交補空間 設S為一子空間，稱子空間S⊥={x:x⊥S}為S的正交補空間. 設A為n×k矩陣，記A⊥為滿足條件A′A⊥=0且具有*大秩的矩陣，則 M(A⊥)=M(A)⊥. 定義1.4 正交矩陣 設P為n×n的矩陣，若P′P=In，則稱P為正交矩陣. 由正交矩陣的定義易證:若A為正交矩陣，則 (1); (2)，即A的所有列向量相互正交，所有行向量也相互正交，各列向量和各行向量的模為1. 對于n×n的方陣A，若A的列向量a1， ，an是相互正交的，即，則對其列向量進行標準化 便得到一個正交矩陣:P=(p1， ，pn)，顯然P′P=In. 定理1.2.1對任意矩陣A，恒有M(A)=M(AA′). 證明顯然M(AA′).M(A)，故只需證M(A).M(AA′).事實上，對任給x⊥M(AA′)，有x′AA′=0.右乘x，得，故A′x=0于是x⊥M(A)，則完成了定理1.2.1的證明.□ 1.2.2 Kronecker乘積與拉直運算 本節介紹矩陣的兩種特殊運算:Kronecker乘積與拉直運算，它們在線性模型和多元統計分析等分支的參數估計理論中有特別重要的應用. 定義1.5 Kronecker乘積 設A=(aij)和B=(bij)分別為m×n和p×q的矩陣，定義mp×nq的矩陣C=(aijB)，稱為矩陣A和B的Kronecker乘積，記為，即 Kronecker乘積具有下列性質: (1)(結合律); (2)(分配律); (3)(數量乘法)對任意實數α和β，有; (4)(矩陣乘法); (5)(矩陣轉置); (6)(逆矩陣); (7)(矩陣的跡); (8)(行列式)若A和B分別為m階和n階方陣，則. 定義1.6 矩陣的拉直運算 設矩陣A=(a1， ，an)是一個m×n矩陣，其中，且i=1， ，n.把矩陣A按列向量a1， ，an依次排成一個mn×1的向量，即則稱Vec(A)為矩陣A的拉直運算.
多元統計分析 作者簡介
李高榮 北京師范大學統計學院教授，博士生導師。2007年在北京工業大學獲得博士學位，2007-2009年在華東師范大學做博士后，2016-2017年在南加利福尼亞大學Marshall商學院做博士后。目前為全國工業統計學教學研究會常務理事、中國數學會概率統計學會第十一屆理事、中國工業互聯網研究院技術專家委員會專家、北京應用統計學會常務理事、中國現場統計研究會高維數據統計分會理事、生存分析分會理事和副秘書長、北京大數據協會理事和美國數學評論評論員。主要研究方向是非參數統計、高維統計、統計學習、縱向\/面板數據分析、測量誤差數據和因果推斷等。迄今為止，在Annals of Statistics、Journal of the AmericanStatistical Association、Journal of Business & Economic Statistics、Statistics and Computing、Statistica Sinica、《中國科學：數學》和《統計研究》等學術期刊上發表學術論文90多篇。在科學出版社出版2部專著：《縱向數據半參數模型》和《現代測量誤差模型》，后者入選“現代數學基礎叢書”系列。
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