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巖土顆粒材料的連續(xù)離散耦合數(shù)值模擬 版權(quán)信息
- ISBN：9787030688446
- 條形碼：9787030688446 ; 978-7-03-068844-6
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊(cè)數(shù)：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
巖土顆粒材料的連續(xù)離散耦合數(shù)值模擬 內(nèi)容簡(jiǎn)介
看似簡(jiǎn)單的顆粒材料，卻能夠表現(xiàn)出遠(yuǎn)比固體、流體更復(fù)雜的物理力學(xué)特性，如壓硬性、剪脹性、各向異性、路徑相關(guān)性等。這些復(fù)雜的物理力學(xué)特性與其離散性、多尺度和能量耗散機(jī)制有關(guān)。巖土工程、水利工程、道路橋梁工程等的附存環(huán)境或建筑材料中相當(dāng)大一部分是由離散形式的顆粒材料組成，如砂土、碎石、粗粒土等，可統(tǒng)稱為巖土顆粒材料。巖土顆粒材料的力學(xué)特性直接影響堆石壩、堤防、地（路）基等工程的設(shè)計(jì)、施工和運(yùn)行，因此受到廣泛關(guān)注。本書以水利工程、巖土工程中的巖土顆粒材料為研究對(duì)象，針對(duì)其形狀不規(guī)則、易破碎的特點(diǎn)，建立基于連續(xù)離散耦合分析方法的巖土顆粒材料細(xì)觀數(shù)值模擬方法，系統(tǒng)開展顆粒動(dòng)靜態(tài)破碎、顆粒形狀表征和集合體細(xì)觀數(shù)值試驗(yàn)研究。
巖土顆粒材料的連續(xù)離散耦合數(shù)值模擬 目錄
目錄
第1章 連續(xù)離散耦合分析方法 1
1.1 接觸力模型 2
1.1.1 接觸問題的一般描述 2
1.1.2 二維情況下的接觸力計(jì)算 3
1.1.3 三維情況下的接觸力計(jì)算 6
1.1.4 線性接觸模型 9
1.2 接觸檢索 10
1.3 顆粒變形 13
1.3.1 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 13
1.3.2 動(dòng)力平衡方程 17
1.3.3 顯式時(shí)域積分 20
1.4 本章小結(jié) 20
參考文獻(xiàn) 21
第2章 顆粒形狀和顆粒破碎 23
2.1 隨機(jī)多面體顆粒 24
2.2 三維激光掃描顆粒 25
2.3 顆粒形狀表征 27
2.4 內(nèi)聚力開裂模型 30
2.4.1 裂紋起裂準(zhǔn)則 32
2.4.2 裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則 34
2.5 本章小結(jié) 36
參考文獻(xiàn) 36
第3章 單顆粒的破碎特性 39
3.1 真實(shí)形狀顆粒破碎模擬 40
3.1.1 顆粒形狀數(shù)據(jù)庫 40
3.1.2 單顆粒壓縮試驗(yàn) 42
3.1.3 開裂和破碎模式 43
3.1.4 顆粒破碎強(qiáng)度統(tǒng)計(jì) 46
3.1.5 顆粒碎片質(zhì)量分布 48
3.2 顆粒破碎強(qiáng)度的尺寸效應(yīng) 49
3.2.1 尺寸效應(yīng)研究進(jìn)展 49
3.2.2 顆粒壓縮試驗(yàn) 50
3.2.3 界面強(qiáng)度的敏感性 51
3.2.4 破碎強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)分析 53
3.3 局部約束模式對(duì)顆粒破碎的影響 54
3.3.1 顆粒局部約束模式 54
3.3.2 多約束顆粒壓縮試驗(yàn) 56
3.3.3 破碎模式和破碎強(qiáng)度 60
3.4 本章小結(jié) 63
參考文獻(xiàn) 64
第4章 單顆粒的沖擊破碎特性 71
4.1 沖擊碎片形狀與分形特性 72
4.1.1 沖擊破碎研究進(jìn)展 72
4.1.2 單顆粒沖擊試驗(yàn) 73
4.1.3 破碎模式和碎片統(tǒng)計(jì) 77
4.2 不同斷裂機(jī)制對(duì)沖擊破碎的影響 85
4.2.1 沖擊破碎模擬 85
4.2.2 損傷-碎裂相變 88
4.2.3 開裂模式 89
4.2.4 碎片統(tǒng)計(jì)分布 92
4.3 無序性對(duì)脆性材料沖擊破碎的影響 95
4.3.1 顆粒無序性 95
4.3.2 顆粒沖擊試驗(yàn) 96
4.3.3 破碎模式與碎片統(tǒng)計(jì) 96
4.3.4 無序性影響機(jī)制 100
4.4 本章小結(jié) 102
參考文獻(xiàn) 103
第5章 考慮顆粒破碎的巖土顆粒材料宏細(xì)觀力學(xué)特性 111
5.1 顆粒破碎的力學(xué)機(jī)制 112
5.2 三軸壓縮數(shù)值試驗(yàn) 112
5.3 顆粒破碎對(duì)宏細(xì)觀力學(xué)特性的影響 113
5.3.1 宏觀力學(xué)特性 113
5.3.2 圍壓影響 116
5.3.3 破碎強(qiáng)度影響 119
5.3.4 能量耗散 120
5.4 本章小結(jié) 122
參考文獻(xiàn) 123
第6章 復(fù)雜加載路徑下的堆石體宏細(xì)觀力學(xué)特性 125
6.1 真三軸數(shù)值試驗(yàn) 126
6.1.1 數(shù)值試樣 126
6.1.2 細(xì)觀參數(shù) 128
6.1.3 應(yīng)力應(yīng)變不變量 129
6.2 數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證 130
6.2.1 常規(guī)三軸應(yīng)力路徑試驗(yàn) 130
6.2.2 常規(guī)加卸載應(yīng)力路徑試驗(yàn) 131
6.3 等靜水壓力等中主應(yīng)力系數(shù)的應(yīng)力路徑的三軸試驗(yàn) 132
6.3.1 加載路徑 132
6.3.2 宏觀力學(xué)響應(yīng) 133
6.3.3 剪脹特性 138
6.3.4 三維強(qiáng)度準(zhǔn)則 140
6.3.5 細(xì)觀組構(gòu)信息 147
6.4 等比例應(yīng)變路徑試驗(yàn) 156
6.4.1 材料失穩(wěn) 156
6.4.2 加載路徑 158
6.4.3 宏觀力學(xué)響應(yīng) 160
6.4.4 細(xì)觀組構(gòu)信息 164
6.5 本章小結(jié) 176
參考文獻(xiàn) 177
第7章 考慮顆粒延遲破碎的堆石體流變特性 181
7.1 堆石體流變機(jī)理 182
7.2 顆粒的延遲破碎 183
7.2.1 亞臨界裂紋擴(kuò)展理論 183
7.2.2 顆粒強(qiáng)度劣化模型 184
7.2.3 流變時(shí)間策略 188
7.3 堆石體流變數(shù)值試驗(yàn) 189
7.3.1 雙軸流變數(shù)值試驗(yàn) 189
7.3.2 顆粒強(qiáng)度劣化模型驗(yàn)證 190
7.3.3 參數(shù)敏感性分析 192
7.3.4 細(xì)觀組構(gòu)信息 194
7.4 堆石體的流變特性 196
7.4.1 風(fēng)化侵蝕和循環(huán)加載的影響 196
7.4.2 堆石體流變的應(yīng)力歷史依賴性 198
7.5 本章小結(jié) 200
參考文獻(xiàn) 201
第8章 基于分形理論的堆石料級(jí)配優(yōu)化 203
8.1 分形理論及其在巖土工程中的應(yīng)用 204
8.2 顆粒粒徑-質(zhì)量分形模型 204
8.3 堆石料的級(jí)配分形特性 206
8.3.1 原型級(jí)配分形 206
8.3.2 室內(nèi)試驗(yàn)級(jí)配分形 208
8.3.3 單顆粒破碎分形 211
8.4 堆石料壓實(shí)度試驗(yàn) 212
8.5 三軸剪切數(shù)值試驗(yàn) 214
8.5.1 常規(guī)三軸數(shù)值試驗(yàn) 214
8.5.2 宏觀力學(xué)特性 215
8.5.3 細(xì)觀組構(gòu)信息 217
8.6 級(jí)配評(píng)價(jià)指標(biāo) 222
8.7 本章小結(jié) 223
參考文獻(xiàn) 224
第1章 連續(xù)離散耦合分析方法 1
1.1 接觸力模型 2
1.1.1 接觸問題的一般描述 2
1.1.2 二維情況下的接觸力計(jì)算 3
1.1.3 三維情況下的接觸力計(jì)算 6
1.1.4 線性接觸模型 9
1.2 接觸檢索 10
1.3 顆粒變形 13
1.3.1 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 13
1.3.2 動(dòng)力平衡方程 17
1.3.3 顯式時(shí)域積分 20
1.4 本章小結(jié) 20
參考文獻(xiàn) 21
第2章 顆粒形狀和顆粒破碎 23
2.1 隨機(jī)多面體顆粒 24
2.2 三維激光掃描顆粒 25
2.3 顆粒形狀表征 27
2.4 內(nèi)聚力開裂模型 30
2.4.1 裂紋起裂準(zhǔn)則 32
2.4.2 裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則 34
2.5 本章小結(jié) 36
參考文獻(xiàn) 36
第3章 單顆粒的破碎特性 39
3.1 真實(shí)形狀顆粒破碎模擬 40
3.1.1 顆粒形狀數(shù)據(jù)庫 40
3.1.2 單顆粒壓縮試驗(yàn) 42
3.1.3 開裂和破碎模式 43
3.1.4 顆粒破碎強(qiáng)度統(tǒng)計(jì) 46
3.1.5 顆粒碎片質(zhì)量分布 48
3.2 顆粒破碎強(qiáng)度的尺寸效應(yīng) 49
3.2.1 尺寸效應(yīng)研究進(jìn)展 49
3.2.2 顆粒壓縮試驗(yàn) 50
3.2.3 界面強(qiáng)度的敏感性 51
3.2.4 破碎強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)分析 53
3.3 局部約束模式對(duì)顆粒破碎的影響 54
3.3.1 顆粒局部約束模式 54
3.3.2 多約束顆粒壓縮試驗(yàn) 56
3.3.3 破碎模式和破碎強(qiáng)度 60
3.4 本章小結(jié) 63
參考文獻(xiàn) 64
第4章 單顆粒的沖擊破碎特性 71
4.1 沖擊碎片形狀與分形特性 72
4.1.1 沖擊破碎研究進(jìn)展 72
4.1.2 單顆粒沖擊試驗(yàn) 73
4.1.3 破碎模式和碎片統(tǒng)計(jì) 77
4.2 不同斷裂機(jī)制對(duì)沖擊破碎的影響 85
4.2.1 沖擊破碎模擬 85
4.2.2 損傷-碎裂相變 88
4.2.3 開裂模式 89
4.2.4 碎片統(tǒng)計(jì)分布 92
4.3 無序性對(duì)脆性材料沖擊破碎的影響 95
4.3.1 顆粒無序性 95
4.3.2 顆粒沖擊試驗(yàn) 96
4.3.3 破碎模式與碎片統(tǒng)計(jì) 96
4.3.4 無序性影響機(jī)制 100
4.4 本章小結(jié) 102
參考文獻(xiàn) 103
第5章 考慮顆粒破碎的巖土顆粒材料宏細(xì)觀力學(xué)特性 111
5.1 顆粒破碎的力學(xué)機(jī)制 112
5.2 三軸壓縮數(shù)值試驗(yàn) 112
5.3 顆粒破碎對(duì)宏細(xì)觀力學(xué)特性的影響 113
5.3.1 宏觀力學(xué)特性 113
5.3.2 圍壓影響 116
5.3.3 破碎強(qiáng)度影響 119
5.3.4 能量耗散 120
5.4 本章小結(jié) 122
參考文獻(xiàn) 123
第6章 復(fù)雜加載路徑下的堆石體宏細(xì)觀力學(xué)特性 125
6.1 真三軸數(shù)值試驗(yàn) 126
6.1.1 數(shù)值試樣 126
6.1.2 細(xì)觀參數(shù) 128
6.1.3 應(yīng)力應(yīng)變不變量 129
6.2 數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證 130
6.2.1 常規(guī)三軸應(yīng)力路徑試驗(yàn) 130
6.2.2 常規(guī)加卸載應(yīng)力路徑試驗(yàn) 131
6.3 等靜水壓力等中主應(yīng)力系數(shù)的應(yīng)力路徑的三軸試驗(yàn) 132
6.3.1 加載路徑 132
6.3.2 宏觀力學(xué)響應(yīng) 133
6.3.3 剪脹特性 138
6.3.4 三維強(qiáng)度準(zhǔn)則 140
6.3.5 細(xì)觀組構(gòu)信息 147
6.4 等比例應(yīng)變路徑試驗(yàn) 156
6.4.1 材料失穩(wěn) 156
6.4.2 加載路徑 158
6.4.3 宏觀力學(xué)響應(yīng) 160
6.4.4 細(xì)觀組構(gòu)信息 164
6.5 本章小結(jié) 176
參考文獻(xiàn) 177
第7章 考慮顆粒延遲破碎的堆石體流變特性 181
7.1 堆石體流變機(jī)理 182
7.2 顆粒的延遲破碎 183
7.2.1 亞臨界裂紋擴(kuò)展理論 183
7.2.2 顆粒強(qiáng)度劣化模型 184
7.2.3 流變時(shí)間策略 188
7.3 堆石體流變數(shù)值試驗(yàn) 189
7.3.1 雙軸流變數(shù)值試驗(yàn) 189
7.3.2 顆粒強(qiáng)度劣化模型驗(yàn)證 190
7.3.3 參數(shù)敏感性分析 192
7.3.4 細(xì)觀組構(gòu)信息 194
7.4 堆石體的流變特性 196
7.4.1 風(fēng)化侵蝕和循環(huán)加載的影響 196
7.4.2 堆石體流變的應(yīng)力歷史依賴性 198
7.5 本章小結(jié) 200
參考文獻(xiàn) 201
第8章 基于分形理論的堆石料級(jí)配優(yōu)化 203
8.1 分形理論及其在巖土工程中的應(yīng)用 204
8.2 顆粒粒徑-質(zhì)量分形模型 204
8.3 堆石料的級(jí)配分形特性 206
8.3.1 原型級(jí)配分形 206
8.3.2 室內(nèi)試驗(yàn)級(jí)配分形 208
8.3.3 單顆粒破碎分形 211
8.4 堆石料壓實(shí)度試驗(yàn) 212
8.5 三軸剪切數(shù)值試驗(yàn) 214
8.5.1 常規(guī)三軸數(shù)值試驗(yàn) 214
8.5.2 宏觀力學(xué)特性 215
8.5.3 細(xì)觀組構(gòu)信息 217
8.6 級(jí)配評(píng)價(jià)指標(biāo) 222
8.7 本章小結(jié) 223
參考文獻(xiàn) 224
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巖土顆粒材料的連續(xù)離散耦合數(shù)值模擬 節(jié)選
第1章連續(xù)離散耦合分析方法 連續(xù)離散耦合分析方法結(jié)合了有限單元法和離散單元法，將基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的有限單元法與基于接觸檢索、接觸力計(jì)算和顯式動(dòng)力學(xué)求解的離散單元法結(jié)合在一起。一個(gè)典型的連續(xù)離散耦合分析可能包含數(shù)以千計(jì)的離散顆粒，每個(gè)顆粒被離散為單獨(dú)的有限元網(wǎng)格。顆粒集合體的能量耗散包括：彈性滯后能、塑性應(yīng)變能、顆粒破碎耗散能和顆粒間摩擦耗散能。顆粒在接觸力和邊界約束下的變形包括兩個(gè)部分：轉(zhuǎn)動(dòng)和有限應(yīng)變。有限應(yīng)變與顆粒材料的力學(xué)性質(zhì)有關(guān)，此外考慮材料的非線性，如斷裂、破碎和磨損。顆粒材料由連續(xù)狀態(tài)向非連續(xù)狀態(tài)轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致顆粒形狀逐漸變化、顆粒數(shù)目逐漸增多。 1.1 接觸力模型 1.1.1 接觸問題的一般描述 在連續(xù)離散耦合分析方法中，顆粒間的接觸滿足互不侵入條件并傳遞法向和切向接觸力，如何處理顆粒間的接觸是關(guān)鍵問題之一。從算法的角度來看，可以將與顆粒接觸有關(guān)的問題分為兩個(gè)方面：接觸檢索和接觸力模型。接觸檢索是在顆粒集合體中找出發(fā)生接觸的顆粒對(duì)，避免在相距較遠(yuǎn)的顆粒間進(jìn)行接觸力分析。一旦接觸的顆粒對(duì)被檢索到，就采用接觸力模型計(jì)算顆粒間傳遞的接觸力。顆粒間的接觸通常是面接觸，而非點(diǎn)接觸，接觸面的形狀往往是不規(guī)則的，顆粒通過接觸面上的節(jié)點(diǎn)傳遞法向和切向接觸力。當(dāng)顆粒間的法向接觸力較小時(shí)，接觸面的面積較小，而隨著法向接觸力的增加，顆粒表面粗糙的起伏發(fā)生彈塑性變形，導(dǎo)致接觸面的面積逐漸增大。基于對(duì)顆粒形狀、分布和表面粗糙度的假定，學(xué)者提出了顆粒間接觸的理論模型或者微觀力學(xué)模型。在計(jì)算力學(xué)中，通過變分形式進(jìn)一步簡(jiǎn)化顆粒間接觸的理論假定，并且認(rèn)為法向接觸力是法向侵入量的函數(shù)，而切向接觸力是法向接觸力和接觸狀態(tài)的函數(shù)。 將接觸的邊界值問題轉(zhuǎn)化為在接觸邊界域Γ構(gòu)造泛函Π及其變分形式，在接觸邊界域Γ，接觸顆粒的位移場(chǎng)滿足：C()u=0（1.1.1）式中：C是位移函數(shù)；u是接觸邊界域內(nèi)的坐標(biāo)。 接觸問題的變分形式需要在接觸邊界域Γ上構(gòu)造一個(gè)泛函，通過尋找泛函的駐值來滿足不可貫入條件。根據(jù)構(gòu)造泛函的形式不同，可分為*小二乘法、拉格朗日乘子法和罰函數(shù)法。為了接觸邊界域Γ上滿足接觸約束條件，*小二乘法定義泛函Π為 （1.1.2） 可以看出，當(dāng)接觸約束條件不能完全滿足時(shí)，泛函始終為正值。當(dāng)泛函Π取極小值時(shí)，即可得 （1.1.3） 拉格朗日乘子法引入接觸約束條件的附加泛函Π1，與式（1.1.2）中的泛函相加，可得 （1.1.4） 式中：λ 是接觸邊界域Γ 上的獨(dú)立函數(shù)，也稱為拉格朗日乘子。 在有限元逼近中，通常采用基函數(shù)構(gòu)造拉格朗日乘子，但會(huì)產(chǎn)生額外的未知變量，其物理意義是接觸力的大小。在拉格朗日乘子法中，通過增加未知變量的個(gè)數(shù)來執(zhí)行接觸約束條件。在靜態(tài)和隱式動(dòng)力學(xué)問題中，通過求解線性代數(shù)方程組來求解未知變量，使接觸約束條件可以嚴(yán)格滿足。而在瞬時(shí)動(dòng)力學(xué)問題中，由于沒有形成和求解代數(shù)方程組，拉格朗日乘子法只能近似地滿足。 為了消除和彌補(bǔ)拉格朗日乘子法的缺陷和不足，罰函數(shù)法引入接觸約束條件的附加泛函Π2 ：（1.1.5） 式中：p是懲罰項(xiàng)。將附加泛函Π與式（1.1.2）中的泛函Π相加，得 （1.1.6） 由于 （1.1.7） 如果泛函Π在接觸邊界域Γ上為*小值，則p必須為正值。通過求解式（1.1.6）中修正泛函的極小值，近似滿足接觸約束條件。p越大，接觸約束條件的滿足程度越好，當(dāng)p 無窮大時(shí)，接觸約束條件能夠精確滿足。在靜態(tài)或隱式動(dòng)力學(xué)問題中，通過迭代求解的方法來精確滿足不可貫入條件。而在瞬時(shí)動(dòng)力學(xué)問題中，放棄完全不可貫入條件，而采用足夠大的罰函數(shù)，使接觸的侵入量相對(duì)于顆粒尺寸來說可以忽略不計(jì)。 在連續(xù)離散耦合分析方法中，基于顆粒的有限元網(wǎng)格離散并結(jié)合接觸勢(shì)的概念進(jìn)行接觸力分析。由于每個(gè)顆粒都被離散為單獨(dú)的有限元網(wǎng)格，在接觸力分析中，可以方便地使用有限元節(jié)點(diǎn)的幾何坐標(biāo)來描述接觸顆粒的幾何形狀，并且接觸面上接觸力的分布更加真實(shí)。更重要的是，接觸邊界附近的局部應(yīng)變場(chǎng)的數(shù)值畸變性大為改善，當(dāng)考慮顆粒材料的斷裂和破碎時(shí)，這一點(diǎn)尤為重要。 1.1.2 二維情況下的接觸力計(jì)算 罰函數(shù)法認(rèn)為接觸的兩個(gè)顆粒可以相互侵入，并通過侵入產(chǎn)生接觸力。罰函數(shù)法中，接觸泛函的標(biāo)準(zhǔn)形式為 （1.1.8） 式中：rt 和rc 分別是目標(biāo)顆粒和接觸顆粒位于接觸面上點(diǎn)的位置矢量；Uc 是接觸泛函；Γc 是接觸區(qū)域。當(dāng)p趨近于無窮大時(shí)，顆粒間幾乎不會(huì)產(chǎn)生侵入： （1.1.9） 但在顯式時(shí)步積分時(shí)，過大的懲罰項(xiàng)會(huì)大大減小*大穩(wěn)定時(shí)間步長(zhǎng)Δtmax ，因此在實(shí)際應(yīng)用中，罰函數(shù)法通常采用足夠大的懲罰項(xiàng)使顆粒間能產(chǎn)生一定的重疊量，而重疊量相對(duì)于顆粒尺寸來說又可以忽略不計(jì)。當(dāng)采用罰函數(shù)法求解顆粒間的接觸力時(shí)，根據(jù)接觸力的計(jì)算策略不同，可以分為集中式接觸力和分布式接觸力，如圖1.1.1 所示。集中式接觸力認(rèn)為節(jié)點(diǎn)的接觸力是節(jié)點(diǎn)侵入目標(biāo)顆粒的侵入量的函數(shù)，而分布式接觸力則與接觸顆粒和目標(biāo)顆粒間重疊區(qū)域的形狀及大小有關(guān)。 圖1.1.1 分布式和集中式接觸力 在本書的研究中，采用分布式接觸力的定義，接觸的兩個(gè)顆粒分別表示為接觸（contactor）顆粒和目標(biāo)（target ）顆粒。當(dāng)發(fā)生接觸時(shí)，目標(biāo)顆粒和接觸顆粒相互重疊，被邊界Γ圍成的重疊區(qū)域面積為A，如圖1.1.2 所示。 圖1.1.2 重疊的微元面積dA所產(chǎn)生的接觸力df[1] 當(dāng)接觸顆粒侵入目標(biāo)顆粒的微元面積為dA時(shí)，其所產(chǎn)生微小的接觸力df為 （1.1.10）式中：P是重疊區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)；.是相應(yīng)的勢(shì)函數(shù)，下標(biāo)c 和t 分別表示接觸顆粒和目標(biāo)顆粒。 式（1.1.10）定義的接觸力可以看作接觸顆粒的微元先侵入目標(biāo)顆粒，而目標(biāo)顆粒的微元隨后侵入接觸顆粒。對(duì)于接觸中的顆粒，通過接觸顆粒的勢(shì)函數(shù)梯度來計(jì)算其接觸力，因此接觸力場(chǎng)是一個(gè)守恒場(chǎng)。如果接觸顆粒上的點(diǎn)Pc 以任意路徑AG B 侵入目標(biāo)顆粒，在此 過程中由勢(shì)函數(shù)梯度產(chǎn)生的接觸力所做的功與路徑AB無關(guān)，而只與起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置有關(guān)。如果A點(diǎn)和B點(diǎn)都在目標(biāo)顆粒的邊界上，接觸顆粒的點(diǎn)從目標(biāo)顆粒的A點(diǎn)開始接觸，運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)結(jié)束接觸。為了保證系統(tǒng)在A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)的總能量相同，接觸顆粒的點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，接觸力所做的功為零，此時(shí)目標(biāo)顆粒邊界上的A點(diǎn)和B點(diǎn)處的勢(shì)函數(shù)滿足： （1.1.11） 反之，對(duì)于接觸顆粒邊界上的A點(diǎn)和B點(diǎn)有 （1.1.12） 將式（1.1.10）中微元dA產(chǎn)生的接觸力df在重疊區(qū)域S上積分，即可得到總接觸力： （1.1.13） 或是在重疊區(qū)域S的邊界Γ上積分也可得到總接觸力： （1.1.14） 式中：nΓ是邊界Γ上的外向單位法向矢量。 在連續(xù)離散耦合分析中，每個(gè)顆粒都被離散為獨(dú)立的有限元網(wǎng)格，因此顆？梢员硎緸槠渌x散的有限單元組成的集合： （1.1.15） 式中：βc 和βt 分別是接觸顆粒和目標(biāo)顆粒；m和n分別是接觸顆粒和目標(biāo)顆粒的有限單元個(gè)數(shù)。 此時(shí)，顆粒的勢(shì)函數(shù)可以表示為其所離散的所有單元的勢(shì)函數(shù)之和： （1.1.16） 此時(shí)，接觸力在重疊區(qū)域S上的積分表達(dá)式可以表示為 （1.1.17） 將有限單元域上的積分等價(jià)為單元邊界上的積分，可得接觸力為 （1.1.18） 將在重疊區(qū)域S的邊界Γ上的積分轉(zhuǎn)化為在有限單元邊界上的積分之和，也就是說通過對(duì)重合區(qū)域內(nèi)有限單元邊界上的積分求和來計(jì)算顆粒間的接觸力。在二維情況下，采用*簡(jiǎn)單的三角形常應(yīng)變單元離散顆粒集合體，單元的邊界是直線并且其幾何信息可由三個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)表示，如圖1.1.3 所示。 如本節(jié)所述，顆粒邊界上的勢(shì)函數(shù)φ應(yīng)為常數(shù)以保證能量平衡，這里定義三角形單元中一點(diǎn)P的勢(shì)函數(shù)φ為P （1.1.19） 式中：A(i=1，2，3)是如圖1.1.3 所示的子三角形的面積，當(dāng)點(diǎn)P位于三角形的形心時(shí)，φ(P)= 1 當(dāng)點(diǎn)P位于三角形的邊上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P位于三角形以外時(shí)。 可以看出，勢(shì)函數(shù)無條件滿足顆粒邊界上勢(shì)函數(shù)為常數(shù)的條件。根據(jù)式（1.1.18），將兩個(gè)三角形單元的接觸問題轉(zhuǎn)化為接觸三角形與目標(biāo)三角形的邊之間的接觸，以及目標(biāo)三角形與接觸三角形的邊之間的接觸，如圖1.1.4所示。 圖1.1.3 三角形常應(yīng)變單元中一點(diǎn)P的勢(shì)函數(shù)φ 圖1.1.4 接觸三角形與目標(biāo)三角形的接觸 圖1.1.5 為目標(biāo)三角形與接觸三角形的邊AB之間的接觸，為了便于分析，定義局部坐標(biāo)系(u， v)，通過式（1.1.20）將整體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化到局部坐標(biāo)系中： （1.1.20）式中：ri和rA是點(diǎn)i和點(diǎn)A在整體坐標(biāo)系中的位置矢量；pi是點(diǎn)i在局部坐標(biāo)系中的位置矢量。 圖1.1.5 目標(biāo)三角形與接觸三角形的邊AB接觸所產(chǎn)生的分布式接觸力 在局部坐標(biāo)系中，確定邊AB與目標(biāo)三角形的特性交點(diǎn)并計(jì)算相應(yīng)的勢(shì)函數(shù)值。目標(biāo)三角形施加在邊AB上的總接觸力為 （1.1.21） 式中：v是沿接觸邊界L上的積分操作；由于局部坐標(biāo)系中矢量u和v不是單位矢量，故在式（1.1.21）中有u2。 如圖1.1.5所示，在特征點(diǎn)之間勢(shì)函數(shù).線性變化，因此在邊AB上的積分簡(jiǎn)化為求解邊AB上勢(shì)函數(shù)值圍成的陰影部分的面積。將計(jì)算得到的總接觸力轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)A和B上的等效節(jié)點(diǎn)力，采用相同的方法計(jì)算接觸顆粒的其余邊上的接觸力？紤]由于目標(biāo)顆粒侵入接觸顆粒所產(chǎn)生的接觸力，按照上面的方法依次計(jì)算接觸顆粒施加在目標(biāo)顆粒邊上的接觸力。*后更新接觸顆粒和目標(biāo)顆粒節(jié)點(diǎn)上的接觸力。 1.1.3 三維情況下的接觸力計(jì)算 在三維問題中，顆粒間接觸力的計(jì)算與二維情況類似，通過將每個(gè)顆粒離散為獨(dú)立的有限元網(wǎng)格，進(jìn)而將顆粒內(nèi)的勢(shì)函數(shù)按有限單元分片。在連續(xù)離散耦合分析方法中，顆粒的形狀不局限于規(guī)則的圓球，而可以是更接近真實(shí)顆粒的任意形狀，如不規(guī)則多面體。為了減小算法實(shí)現(xiàn)的難度和提高計(jì)算效率，采用線性四面體單元（圖1.1.6）離散顆粒。 基于接觸力勢(shì)概念的接觸力模型能夠保證顆粒接觸處在有限侵入量時(shí)能保持能量和動(dòng)量平衡。如本節(jié)所述，通過有限元離散網(wǎng)格可以方便地定義顆粒上的勢(shì)函數(shù).。本節(jié)給出了基于四面體單元離散網(wǎng)格的接觸力模型，為了簡(jiǎn)化幾何和數(shù)值計(jì)算上的困難，在每個(gè)四面體有限單元上定義勢(shì)函數(shù)：
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